Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Mục lục các bài toán về ma trận


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-08-2013 - 12:02

Mục lục này được lập ra với muốn giúp các bạn có cái nhìn tổng thể hơn về các bài toán, các vấn đề đã và đang thảo luận trên diễn đàn. Vì tính đa gạng của các bài toán nên việc phân loại là không dễ nên trong quá trình sắp xếp có gì sai sót mong các bạn thông cảm mà bỏ qua cho. 

 

Mục lục được chia nhỏ như sau:

1. Các phép toán cơ bản của ma trận

2. Ma trận nghịch đảo

3. Hạng của ma trận

4. Các bài toán tổng hợp

Lưu ý:

 

1) Các bạn hãy click vào ô đánh số thứ tự của bài toán để đến đến chủ đề chứa bài toàn và cùng thảo luận.

 

2) Quy ước về ý nghĩa màu của ô thứ tự của bài toán

 

$\boxed{\text{Bài ...}}$ Bài toán đã được thảo luận khá trọn vẹn

$\boxed{\text{Bài ...}}$ Bài toán đã được thảo luận nhưng chưa giải quyết trọn vẹn

$\boxed{\text{Bài ...}}$ Bài toán chưa được thảo luận, đang chờ bạn giải quyết.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-08-2013 - 09:49

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-08-2013 - 12:14

Các phép toán cơ bản của ma trận

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$

Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ a & b \end{pmatrix}$. Tìm $a,b$ sao cho $A^3=A$

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$

Cho ma trận $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. Tính $A^n$ với $n\in \mathbb{N}$

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$

Cho ma trận A vuông cấp 2 và số $m\in \mathbb{N},n>2$. Chứng minh rằng $A^m=O$ nếu và chỉ nếu $A^2=O$

 

$\boxed{\text{Bài 4}}$

Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$. Tính $A^{n}$ với $n\geq 1$

 

$\boxed{\text{Bài 5}}$

a) Tồn tại hay không tồn tại một ma trận vuông thực cấp 2 thỏa mãn $A^{2010}=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
trong đó e là một hằng số dương.

b) Tồn tại hay không một ma trân thực A vuông cấp hai sao cho $A^{2010}=\begin{bmatrix} -2008 &2010 \\ 0& -2009 \end{bmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 6}}$

Xác định tất cà các ma trận vuông cấp 3 giao hoán với ma trận $A=\begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 7}}$

Cho A là ma trận phức cấp 2. $A \neq \lambda I$. Chứng minh rằng với mọi ma trận phức cấp 2 $X$ sao cho $AX=XA$ thì $ X = \alpha I+ \beta A$ với $\alpha , \beta \in C$

 

$\boxed{\text{Bài 8}}$

Cho ma trận cấp 3 $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 &0 \\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Chứng minh rằng mọi ma trận cấp 3 thỏa mãn $AB=BA$ khi và chỉ khi $B=aI+bA+cA^{2}$ với $a, b, c \in R$

 

$\boxed{\text{Bài 9}}$

Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa $A^{25}=A^{10}=I$. Tìm $A$.

 

$\boxed{\text{Bài 10}}$ Cho ma trận vuông thực A mà $A^2=A$. Tìm dạng của ma trận X giao hoán với A.

 

$\boxed{\text{Bài 11}}$ Cho ma trận $A=(1\;\; 0\;\; 1, 0\;\; 1\;\; 2, 0\;\; 0\;\; 1)$. Tìm ma trận vuông $B$ cấp 3 sao cho $AB+BA=0$

 

$\boxed{\text{Bài 12}}$ Cho A và B là ma trận vuông thực cấp n sao cho: $X^{T}AY=X^TBY$ cho tất cả $X,Y\in M_{n\times 1}\left ( \mathbb{R} \right )$. Chứng minh A = B

 

$\boxed{\text{Bài 13}}$ Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} a & 1 & 0\\ 0 & a & 1\\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}$. Tìm $A^{100}$

 

$\boxed{\text{Bài 14}}$ Một ma trận A được gọi là đối xứng nếu $A^{T}=A$ và phản đối xứng nếu $A^{T}=-A$

 

Chứng minh rằng: Nếu B là một ma trận vuông thì:


a) $BB^{T}$ và $B+B^{T}$ đối xứng

b) $B-B^{T}$ phản đối xứng

 

$\boxed{\text{Bài 15}}$ Chứng minh rằng: Tích của hai ma trận phản đối xứng A và B là một ma trận phản đối xứng khi và chỉ khi $AB = - BA$

 

$\boxed{\text{Bài 16}}$ 

1. Cho A là ma trận vuông cấp 100 mà phần tử ở dòng i là i. Tìm phần tử ở dòng 5 cột 3 của ma trận $A^{2}$
2. Cho A là ma trận vuông cấp 10, trong đó phần tử ở dòng i là $2^{i-1}$ Tìm phần tử ở dòng 1 cột 4 của ma trận $A^{2}$

 

$\boxed{\text{Bài 17}}$ Cho ma trận $A=\begin{bmatrix} 3 & -5\\ 1 & -1 \end{bmatrix}$. Tính $A^{n}$ với $n\in N$

 

$\boxed{\text{Bài 18}}$

a) Cho $A $ là ma trận vuông thỏa mãn $A^3 =0$.Tính $(I+A)^{2010}$ với $I$ là ma trận đơn vị
b) Cho $A$ là ma trận vuông thỏa mãn $A^2 = A$.Tính $(I+A)^{2010}$ với $I$ là ma trận đơn vị

 

$\boxed{\text{Bài 19}}$ 

a) Chứng minh rằng nếu $a\neq b$ thì

$a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+...+ab^{n-1}+b^{n}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$

b) Áp dụng câu 1 để tìm $A^{n}$ biết

$A=\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 1 & 0 & c \end{bmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 20}}$ 

Cho $A^n=\begin{bmatrix} a11 & a12 &a13\\ a21&a22 &a23 \\ a31&a32 &a33 \end{bmatrix}$
Tính $lim (a_{ij})$ khi $n\rightarrow +\infty$ và i,j =1,2,3 . Biết ma trận A =$\begin{bmatrix} 1/2 & 1 &1 \\ 0&1/3 &1 \\ 0& 0 & 1/6 \end{bmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 21}}$ Tìm tất cả các số thực a,b sao cho: $$\begin{bmatrix} a & -b\\ b& a \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} \sqrt{3} & -1\\ 1 & \sqrt{3} \end{bmatrix}$$

 

$\boxed{\text{Bài 22}}$ Cho ma trận vuông A cấp n có dạng $$A=\begin{bmatrix} a & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & a & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & a & 1\\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a \end{bmatrix}$$ Và $A^{n}=\left ( a_{ij} \right )_{n}$


Tính $\sum_{j=1}^{n}a_{1j}$

 

$\boxed{\text{Bài 22}}$ Tính $\begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & \\ sin\alpha & cos\alpha & \end{pmatrix} ^{n}$

 

$\boxed{\text{Bài 23}}$ Tính $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & -3 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}^{2012}$

 

$\boxed{\text{Bài 24}}$ Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} a\cos ^{2}t+b\sin^{2}t & (b-a)\sin t\cos t\\ (b-a)\sin t\cos t & a\sin ^{2}t+b\cos ^{2}t \end{pmatrix}$


Tính $A^{2012}$

 

$\boxed{\text{Bài 25}}$ Cho ma trận $\begin{pmatrix} 8 & 12 & 0 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$


Tìm ma trận $A$ thỏa mãn $B=A^{3}$

 

$\boxed{\text{Bài 26}}$ Tính $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}^{100}$

 

$\boxed{\text{Bài 27}}$ Cho các ma trận $A,B,C$ là các ma trận vuông cùng cấp với ma trận đơn vị $E$ thỏa $ABC=E$. Trong các đẳng thức $BAC=E$, $ACB=E$, $CAB=E$, $CBA=E$ thì đẳng thức nào luôn luôn đúng, đẳng thức nào chưa chắc đúng? Tại sao?

 

$\boxed{\text{Bài 28}}$ Tìm ma trận vuông cấp 2 $A$ thỏa $A^2=O$

 

$\boxed{\text{Bài 29}}$ Tìm ma trận vuông cấp 2 $A$ thỏa $A^2=I$ với $I$ là ma trận đơn vị cấp 2.

 

$\boxed{\text{Bài 30}}$ Cho hai ma trận vuông cùng cấp $A,B$. Chứng minh nếu $A+B=AB$ thì $AB=BA$.

 

$\boxed{\text{Bài 31}}$ Tính $L=\lim_{n \to +\infty}\begin{pmatrix}1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}^n, \alpha\: \in \: \mathbb{R}$

 

$\boxed{\text{Bài 32}}$ Cho $J=\begin{bmatrix} 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0 \end{bmatrix}$

Xét ma trận $A=\alpha I+\beta J$ , chứng minh rằng $A^{n}$ có dạng: $A^{n}=\alpha _{n}I+\beta _{n}J$ .Tính $\alpha _{n},\beta _{n}$ theo $\alpha ,\beta ,n$

 

 

Bài viết vẫn đang tiếp tục được cập nhật


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 29-11-2013 - 08:52

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#3 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-08-2013 - 22:50

$\boxed{\text{Bài 1}}$


Cho $A$ là ma trận vuông sao cho $A^{10}=O$. Chứng minh rằng $I+A^2+A^5$ là ma trận khả nghịch.


$\boxed{\text{Bài 2}}$


Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Chứng minh rằng nếu ma trận $A$ lũy linh và $B$ là một ma trận giao hoán với $A$ thì $I-AB$ và $I+AB$ là các ma trận khả nghịch.


$\boxed{\text{Bài 3}}$


Cho $A, B$ là 2 ma trận vuông cùng cấp $n$. Với $I_n$ là ma trận đơn vị. CMR : Nếu $I_n + AB$ khả nghịch thì $I_n + BA$ cũng khả nghịch.


$\boxed{\text{Bài 4}}$


Giả sử A là ma trận vuông cấp n thỏa $A^{3}+3A^{2}+2A+5I=0$. Chứng minh rằng: A khả nghịch


$\boxed{\text{Bài 5}}$


Giả sử A, B là các ma trận vuông cấp n, thỏa $A^{2009}=0$ và $B^{2010}=0$ và AB =BA.

Chứng minh ma trận I+A+B khả nghịch.


$\boxed{\text{Bài 6}}$

 

1) Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$, $(n \geq 1)$ thỏa mãn $A^2= 2A$. Chứng minh $E+A$ khả nghịch, với E là ma trận đơn vị cùng cấp.

2) Cho $A,B$ là 2 ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn $A^{2011} = O$ và $A+B = AB$. Chứng minh ma trận B suy biến.

 

$\boxed{\text{Bài 7}}$

Cho ma trận vuông $A$ cấp $n$ có tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng $0$,các phần tử còn lại bằng $1$ hoặc $2009$. Chứng minh rằng nếu $n$ chẵn thì $A$ khả đảo.

 

$\boxed{\text{Bài 8}}$ Cho ma trận A thực phản đối xứng. CMR A + I là ma trận khả nghịch với I là ma trận đơn vị.

 

$\boxed{\text{Bài 9}}$ Cho A và B là các ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng: Nêú A khả nghịch thì $$det(B)=det(A^{-1}BA)$$

 

$\boxed{\text{Bài 10}}$ Chứng minh răng: Một ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi $A^{T}A$ khả nghịch

 

$\boxed{\text{Bài 11}}$ Cho ma trận $J_{n}$ là ma trận vuông có mỗi phần tử là 1.

Chứng minh rằng: Nếu $n> 1$ thì $(I-J_{n})^{-1}=I-\frac{1}{n-1}J_{n}$

 

$\boxed{\text{Bài 12}}$ Cho một ma trận A bất kỳ.Chứng minh rằng:$$r\left(A^{T} \right)=r(A)$$

 

$\boxed{\text{Bài 13}}$ Cho các ma trạn vuông A, B. Chứng minh rằng: Nếu A là ma trận khả nghịch thì hai ma trân $A+B$ và $I+BA^{-1}$ cùng khả nghịch hoặc cùng không khả nghịch

 

$\boxed{\text{Bài 14}}$ Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$. Chứng minh rằng nếu $(a+1)bcd \neq 0$ thì ma trận $A$ khả nghịch.

 

$\boxed{\text{Bài 15}}$ Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho tồn tại số nguyên dương k thỏa:

 

$kA^{k+1}=(k+1)A^{k}$


Chứng minh rằng $A-I_{n}$ khả nghịch và tìm $(A-I_{n})^{-1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 29-11-2013 - 08:54

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#4 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-08-2013 - 07:23

Các bài toàn định tính về hạng của ma trận

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$

Cho $2$ ma trận vuông $A,B$ cùng cấp thõa mãn điều kiện $B^tA=0$. Chứng minh rằng: $r(A+B)=r(A)+r(B)$

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$

Cho ma trận thực $A$ cỡ $m\times n$ với $m,n\in\mathbb{N}^*:m\ge n$ và $rank(A)=n$. Chứng minh rằng tồn tại ma trận thực $B$ cỡ $n\times m$ sao cho $BA=E_m$

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$

Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n$ thỏa mãn $rank(A)=1$, $rank(I_n-A^{2009}) \leq n-1$. Chứng minh rằng $I_n-A$ là ma trận suy biến.

 

$\boxed{\text{Bài 4}}$

Cho các ma trận  $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$, tìm điều kiện để

  1. $r(AB -E)=r(BA-E)$
  2. $r(AB-kE)=r(BA-kE)$ với $k \in \mathbb{R}$

$\boxed{\text{Bài 5}}$

Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn điều kiện $A^{2010}=O$

Chứng minh rằng r(A)=r(A+A2+A3+A4)

 

$\boxed{\text{Bài 6}}$  Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R}):AB+A+B=0$ Chứng minh $rankA=rankB$

 

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Cho A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng $r(A^n) = r(A^{n+1})$.

 

$\boxed{\text{Bài 8}}$ Cho A, B là ma trận vuông cấp n thỏa AB = 0. Cmr có ít nhất một trong 2 ma trận

$A + A^{t}$, $B + B^{t}$ là suy biến.

 

$\boxed{\text{Bài 9}}$ Xét dãy số $$\{a_{n} \}_{1}^{\infty}:\left\{\begin{matrix} a_1=1 \\ a_{n+1}=\frac{1}{a_{n}}+n;\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$$

Ta xếp dãy số trên vào trong 1 ma trận $A$ vuông cấp $n$ theo thứ tự sau:

Dòng 1:$a_1;a_2;...;a_{n}$
Dòng 2:$a_2;a_1;...;a_{n-1}$
Dòng 3:$a_3;a_2;a_1;...;a_{n-2}$
...
Dòng $n$:$a_{n};a_{n-1};...;a_{1}$

Thứ tự cột theo đúng thứ tự dòng ở trên chiếu dọc xuống từ trái sang phải.
Hãy tìm $r(A)$ và $A^{-1}$.

 

$\boxed{\text{Bài 10}}$ Cho K là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện: K2011=0. Hãy tìm hạng của ma trận (E + K + K2) trong đó E là ma trận đơn vị cấp 2011

 

$\boxed{\text{Bài 11}}$ Cho ma trận

\[A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ 1}&3&-2&k\\
1&-1&k&3\\
-2&2&-1&{ - 3}
\end{array}} \right)\]

Hãy thêm một dòng vào ma trận A để nhận được ma trận vuông cấp 4 có hạng bằng 4 khi k khác -1 và bằng 3 khi k=-1

 

$\boxed{\text{Bài 12}}$ Cho A, B,C là các ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng: $$rank(AB)+rank(BC)\leq rankB+rank(ABC)$$

 

$\boxed{\text{Bài 13}}$ Chứng minh rằng: Nếu A là ma trận vuông có $rank(A)\leq 1$ thì $A^{2}=Tr(A).A$

 

$\boxed{\text{Bài 14}}$ Chứng minh rằng với mọi ma trận $A,B$ vuông cấp hai ta có

 

$rank(AB)-rank(BA)\leq 1$


Hãy lấy ví dụ của $A$ và $B$ để xảy ra dấu bằng.

 

$\boxed{\text{Bài 15}}$ Cho số nguyên dương $n\geq 2$.


a) Chứng minh rằng tồn tại hai ma trận $A$ và $B$ vuông cấp $n$ sao cho
 

$rank(AB)-rank(BA)=\begin{bmatrix} \frac{n}{2} \end{bmatrix}$


b) Chứng minh rằng với mọi ma trận $X$ và $Y$ cấp $n$ ta đều có đẳng thức
 

$rank(XY)-rank(YX)\leq \begin{bmatrix} \frac{n}{2} \end{bmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 16}}$ Cho $A,B$ là các ma trận vuông thực cấp $n$. Chứng minh rằng $rank(A)+rank(B) \leq n$ khi và chỉ khi tồn tại ma trận không suy biến $X$ sao cho $AXB=O$

 

$\boxed{\text{Bài 17}}$ Cho A là ma trận vuông cấp n với $rank(A)=r$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên k thỏa mãn $r\leq k\leq n$, ta luôn tìm được một ma trận vuông B hạng $k-r$ sao cho $AB=O$

 

$\boxed{\text{Bài 18}}$ Hạng của hai ma trận vuông A, B cấp n tương ứng là $r_{1}$ và $r_{2}$. Hãy chứng minh rằng hạng của ma trận tích AB không nhỏ hơn $r_{1}+r_{2}-n$

 

$\boxed{\text{Bài 19}}$ Cho ma trận $A=\left ( a_{ij} \right )_{1\leq i,\: j\leq n}\: \epsilon \: M\left ( n,\: \mathbb{R} \right )$ thỏa mãn $\left | a_{ii} \right |_{i=1\to n} > \sum_{i\neq j,\: i=1,\: j=1}^{n}\left | a_{ij} \right |$. CMR: $rank \left ( A \right )=n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-10-2013 - 06:48

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#5 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-08-2013 - 07:24

Các bài toán tổng hợp
 
$\boxed{\text{Bài 1}}$


Cho M là ma trân vuông cấp 3 với các phần tử thuộc $R[x]$ thỏa mãn $M^{3}=xI_{3}$. Đặt $N = M(0)$ (thay x=0 vào các phần tử của M).

Chứng minh rằng N đồng dạng với ma trận $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$


Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n với các phần tử trong trường K, sao cho A giao hoán với mọi ma trận đường chéo cùng cấp n. Ma trận đường chéo là ma trận có mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính bằng 0.

 
$\boxed{\text{Bài 3}}$

Chứng minh rằng ma trận vuông thực M cấp n có vết bằng 0 (i.e tr(M)=0) khi và chỉ khi tồn tại các ma trận vuông thực X,Y cấp n sao cho $M=XY-YX$

 
$\boxed{\text{Bài 4}}$

Cho $A = \begin{bmatrix}2006 & 1 & - 2006 \\2005 & 2 & - 2006 \\2005 & 1 & - 2005\end{bmatrix}$ và $B = I + A + A^{2} + ... + A^{2006}$. Tính $Tr(B)$

 

$\boxed{\text{Bài 5}}$


Phương trình $X^2=A$ có nghiệm hay không với $A$ là ma trận suy biến cấp $n\times n$? Tại sao?

 
$\boxed{\text{Bài 6}}$

Khẳng định hay bác bỏ mệnh đề sau: "Với mọi ma trận suy biến thực A , tồn tại ma trận (thực hoặc phức) thỏa mãn phương trình $XAX=A^2$".

 

$\boxed{\text{Bài 7}}$


Cho ma trận vuông thực A, B cấp 2 thỏa mãn $A^{2}=B^{2}=I, AB+BA=0 $. Chứng minh rằng tồn tại ma trận khả nghịch T sao cho $TAT^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ và $TBT^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

 
$\boxed{\text{Bài 8}}$

a) Cho A là ma trận vuông cấp n có tính chất: mỗi hàng và mỗi cột có đúng 1 số có trị tuyệt đối bằng 1, các số còn lại bằng 0. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên m sao cho $A^m =A^t$ với $A^t$ là ma trận chuyển vị của A.

 

b) Cho A là ma trận vuông cáp n thỏa mãn $A^n =0, A^{n-1} \neq 0 $. Chứng minh răng tồn tại ma tận $P$ sao cho

$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0&0&0&...&0&0\\1&0&0&...&0&0\\ 0&1&0&...&0&0\\...\\\\...\\ 0&0&0&...&1&0\end{pmatrix}$

$\boxed{\text{Bài 9}}$


Cho $A\in M_{n}(\mathbb{Q})$. Chứng minh rằng tồn tại các ma trận $B,C\in M_{n}(\mathbb{Q})$ sao cho $A=B+C$. Với B là ma trận chéo hóa được còn C là ma trận lũy linh.

 

$\boxed{\text{Bài 10}}$ Chứng minh rằng không tồn tại ma trận vuông cấp 2 B,C thỏa: $$\begin{bmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{bmatrix} =B^{2}+C^{2}$$
 
$\boxed{\text{Bài 11}}$ Chứng minh rằng với mọi ma trận thực cấp 2 A, B, C, ta luôn có: $$ (AB-BA)^{2004}C=C(AB-BA)^{2004}$$
 
$\boxed{\text{Bài 12}}$ Cho $A = \left( {{a_{ij}}} \right)$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn ${A^2} = A$, tính tổng $${a_{11}} + {a_{22}} + ... + {a_{nn}}$$
 
$\boxed{\text{Bài 13}}$ Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 =0. Chứng minh rằng Tr(A)=0
 
$\boxed{\text{Bài 14}}$ Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử là các số thực dương thoả mãn tổng tất cả các phần tử trên cùng 1 cột nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng E-A là ma trận khả nghịch
 
$\boxed{\text{Bài 15}}$ Cho A là ma trận vuông cấp 3, khả nghịch, thỏa mãn $DetA=1$ và $Tr(A)=Tr(A^{-1})=0$. Chứng minh rằng $A^{3}=I$
 
$\boxed{\text{Bài 16}}$ Cho n là số nguyên dương, A là ma trận cấp nxn hệ số thực. Giả sử $4A^{4}+I=O$. Chứng minh rằng vết của ma trận A là số nguyên
 
$\boxed{\text{Bài 17}}$ Cho $A$ là ma trận vuông đối xứng. CMR tồn tại ma trận khả nghịch B thỏa mãn  $B-B^{-1} = A$

 

$\boxed{\text{Bài 18}}$

Cho ánh xạ tuyến tính $f:Mat_{n}\left ( \mathbb{R} \right ) \rightarrow \mathbb{R}$.

a) Chứng minh rằng: Tồn tại duy nhất ma trận $C \in Mat_{n}\left ( \mathbb{R} \right )$ thỏa mãn $f(A)=Tr(AC)$ với mọi $A \in Mat_{n} \left ( \mathbb{R} \right )$.

b) Giả sử $f$ thỏa mãn $f(AB)=f(BA)$ với mọi $A,B \in Mat_{n} \left ( \mathbb{R} \right )$. Chứng minh rằng tồn tại $\lambda \in \mathbb{R}$ sao cho $f(A)=\lambda .Tr(A)$, với mọi $A \in Mat_{n}\left ( \mathbb{R} \right )$

 

$\boxed{\text{Bài 19}}$

Giả sử X là một ma trận vuông cấp n khả nghịch, có các cột lần lượt là $X_{1}, X_{2},..,X_{n}$, và Y là ma trận với các cột $X_{2}, X_{3},..,X_{n},0$. Đặt $A=Y.X^{-1}$, $B=X^{-1}.Y$


a) Chứng minh rằng $r(A)=r(B)=n-1$.

b) Chứng minh A, B chỉ có trị riêng là 0

 

$\boxed{\text{Bài 20}}$

Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n, giả sử tồn tại $(n+1)$ số thực $ t_{1}, t_{2},...,t_{n+1}$ sao cho $ C_{i}= A+t_{i}.B$ là lũy linh. Chứng minh A, B lũy linh

 

$\boxed{\text{Bài 21}}$

Một ma trận vuông $M$ được gọi là trực giao nếu $M^{T}M=MM^{T}=I_{n}$.
Chứng minh rằng: mọi ma trận vuông $A$ đều có thể biểu diễn dưới dạng $A=PXQ$, trong đó $P, Q$ là các ma trận trực giao và $X$ là ma trận đối xứng.

 

$\boxed{\text{Bài 22}}$ Cho các ma trận $ A=\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} -7 & 9\\ -6&8 . \end{bmatrix} $. Tìm Ma trận $Y$ sao cho $ A . Y^{10} = B.A $

 

$\boxed{\text{Bài 23}}$ Giả sử A là ma trận vuông thực cấp n khả nghịch, cho biết trong mỗi dòng của A có đúng một số khác 0 và bằng $\pm 1$. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k để $A^{k}=A^{T}$

 

$\boxed{\text{Bài 24}}$ Chứng minh rằng với bất kì số tự nhiên n,ta đều tìm được một ma trận A thỏa mãn

\[{{A}^{n}}=\left( \begin{matrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & 1976 \\
0 & 1 & 2 & \cdots & 1975 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 1974 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{matrix} \right)\]

 

$\boxed{\text{Bài 25}}$ Cho $ A,B\in {{M}_{2}}({R}) $, $ AB=BA $, $ {{A}^{2011}}={{B}^{2011}}=0 $

Chứng minh rằng $ {{(A+B)}^{3}}=0 $

 

$\boxed{\text{Bài 26}}$ Cho $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa $2012A^{3}=2011A+I_{n}$


Chứng minh rằng tồn tại giới hạn $\underset{k\rightarrow \propto }{lim}A^{k}=D$ và $D^{2}=D$

 

$\boxed{\text{Bài 27}}$ Cho A, B là các ma trận vuông thực thỏa $AB=BA$ và tồn tại các số nguyên dương $p, q$ sao cho $$(A-I)^{p}=(B-I)^{q}=O$$


Chứng minh rằng ma trận tích $AB$có các trị riêng đều bằng $1$

 

$\boxed{\text{Bài 28}}$ Cho ma trận vuông thực cấp n khác không thỏa mãn

 

$A=(a_{ij})_{1\leq i,j \leq n},a_{ik}a_{jk}=a_{kk}a_{ij}, \forall i,j,k$


Chứng minh rằng:


a) $Tr(A)=0$

b) A là ma trận đối xứng

c) Đa thức đặc trưng của A bằng $x^{n-1}\left ( x-Tr(A) \right )$.

 

$\boxed{\text{Bài 29}}$ Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$

 

$\boxed{\text{Bài 30}}$ Phương trình nào có nghiệm là một ma trận vuông thực, không cần thiết chỉ ra nghiệm!

$X^{3}=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 &0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 2&3 &0 \end{smallmatrix}\bigr)$
$2X^{5}+X=\bigl(\begin{smallmatrix} 3 & 5&0 \\ 5 & 1 & 9\\ 0 &9 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$
$X^{6}+2X^{4}+10X=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 &-1 \\ 1&0 \end{smallmatrix}\bigr)$
$X^{4}=\bigl(\begin{smallmatrix} 3 &4 & 0\\ 0& 3&0 \\ 0&0 & -3 \end{smallmatrix}\bigr)$

 

$\boxed{\text{Bài 31}}$ Tìm tất cả các ma trận $\in M_{2}(\mathbb{R})$ thỏa

 

$X^{3}-4X^{2}+5X=\begin{pmatrix} 10 & 20 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 32}}$ Cho $A$ là ma trận vuông cấp n thỏa mãn: $AB+BA=O_{n}$ trong đó $B=AX-XA$ với $X$ là ma trận vuông cấp n tùy ý.


Chứng minh rắng $A^{2}$ là ma trận có dạng
 

$\begin{pmatrix} k & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & k \end{pmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 33}}$ Cho $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn $AB=BA$ và tốn tại số $p\in \mathbb{N}$ sao cho $A^{p}=O$. Chứng minh rằng:

 

$\det (A^{2}+AB+B^{2})=(\det (B))^{2}$

 

$\boxed{\text{Bài 34}}$ Nếu A và B là các ma trận vuông cấp 2 có hệ số thực và $A^{2}+B^{2}=AB$. Chứng minh rằng $(AB-BA)^{2}=O_{2}$

 

$\boxed{\text{Bài 35}}$ Cho $ A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ không giao hoán

Các số $ q,p,r\in R^* $ thỏa mãn $ pAB+qBA={{I}_{n}} $ và $A^2=rB^2$
Chứng minh rằng $ p=q $

 

$\boxed{\text{Bài 36}}$

Nếu $u$và $v$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai $x^{2}-px+q=0$ thì ta có $u+v=p$ và $uv=q$


Giả sử $P,Q,U$ và $V$ là các ma trận vuông cấp $2$ sao cho $U$ và $V$ là các ma trận phân biệt thỏa phương trình $X^{2}-PX+Q=O$ ($X$ là ẩn).

Chứng tỏ rằng $Tr(U+V)=Tr(P)$ và $\det (UV)=\det (Q)$ là đúng nếu ta thêm một giả thiết là $U-V$ khả nghịch.

 

$\boxed{\text{Bài 37}}$ 

Đặt $M=\begin{pmatrix} p & q & r \\ r & p & q \\ q & r & p \end{pmatrix}$


Trong đó $p,q,r>0$ và $p+q+r=1$

Chứng minh rằng
 

$\underset{n\rightarrow \propto}{lim}M^{n}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 38}}$ Cho $A,B,C$ là các ma trận vuông thực cấp $n$ thỏa mãn $A^{3}=-I$ và $BA^{2}+BA=C^{6}+C+I$ với $C$ là một ma trận đối xứng. Hỏi $n$ có thể bằng $2005$ không? Tại sao?

 

$\boxed{\text{Bài 39}}$ Cho $A,B \in M_{2010}(\mathbb{R})$ giao hoán và $A^{2010}=B^{2010}=I$. Chứng minh rằng:


Nếu $Tr(AB)=2010$ thì $Tr(A)=Tr(B)$

 

$\boxed{\text{Bài 40}}$

Cho A là ma trận vuông cấp n với $rank(A)=1$. Chứng minh rằng


a) Với mọi ma trận vuông B cấp n thì $ABA=Tr(AB).A$

b) Với $B_{1}, B_{2}, ..., B_{k}$ là các ma trận vuông cấp n tùy ý thì
 

$\prod_{i=1}^{k}(AB_{i})=\left ( \prod_{i=1}^{k-1}Tr(AB_{i}) \right ) AB_{k}$

 

$\boxed{\text{Bài 41}}$ Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$


1) Chứng minh rằng

$A^{n}=\begin{pmatrix} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \end{pmatrix}, \forall n\geq 1$

trong đó $(F_{n})$ là dãy số Fibonacci xác định bởi
 

$\left\{\begin{matrix} F_{0}=0, F_{1}=1 \\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}, n\geq 2 \end{matrix}\right.$

 

2) Từ đó chứng minh

 

a) $F_{n+1}.F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

b) $F_{m+n+1}=F_{n+1}.F_{m+1}+F_{n}.F_{m} \forall m,n\geq 0$

 

$\boxed{\text{Bài 42}}$ Tìm ma trận $A$, cho biết $A$ là ma trận vuông cấp n thỏa mãn $tr(AXY)=tr(AYX)$ với mọi ma trận $X,Y$

 

$\boxed{\text{Bài 43}}$ Cho M là ma trận cấp 3x2 và N là ma trận cấp 2x3 thỏa $$MN=\begin{bmatrix} 8 & 2 & -2\\ 2 & 5 & 4\\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$

Tìm NM?

 

$\boxed{\text{Bài 44}}$

Cho A, B là các ma trận vuông cấp 2 thỏa
 

$AB=BA=A+B+I$

Chứng minh rằng
 

$\det (A+B)-\det (AB)=1+tr(AB)$

 

$\boxed{\text{Bài 45}}$ Cho A ,B là các ma trận vuông cấp 2 sao cho $(AB)^2=0$ .Chứng minh $(BA)^2=0$

 

$\boxed{\text{Bài 46}}$

Cho 2 ma trận vuông cấp $n$ sao cho $AB-BA=B.$

 

a) CMR: $\forall k\:\epsilon \:\mathbb{N},\: AB^k=B^k\left ( A+kI_n \right )$

 

b) CMR: $\det B=0$

 

c) CMR: $B$ lũy linh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-10-2013 - 06:44

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#6 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-08-2013 - 09:48

Các bài toán xác định hạng ma trận

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$

Cho $a\in \mathbb{R}$. Xác đinh hạng của các ma trận sau theo $a$.


$A=\begin{bmatrix} 3 & a& 1& 2\\ 1& 4& 7& 2\\ 1& 10& 17& 4\\ 4& 1& 3& 3 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}-1 &2 &1 &-1 &1 \\1& a& 0& 1& 1\\1& 2& 2& -1& 1\end{bmatrix}$

$C=\begin{bmatrix} 1 & a& -1& 2\\ 2& -1& a& 5\\ 1& 10& -6& 1 \end{bmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm hạng ma trận sau

$$\begin{bmatrix} 1 &2 &-1 &3 \\ 2 &3 &5 & 7\\ 3&6 &-3 & 9\\ 4&2 &-1 & 8 \end{bmatrix}$$

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$ Cho ma trận $$B=\begin{pmatrix} -2 &1 &1 &3 \\ -8&9 &1 &7 \\ 1& -3 & 1& 1 \end{pmatrix}$$

và $C$ là ma trận cuông cấp 3 không suy biến. Tìm hạng của $C^3B$.

 

$\boxed{\text{Bài 4}}$ Tìm hạng các ma trận sau

$$A=\begin{bmatrix} 1 &4 &-1 &8 \\ 0&2 &-1 &3 \\ 1& -2& 2& -1\\ 2&-2 &3 &1 \end{bmatrix}$$

 

$$A'=\begin{bmatrix}1 &4 &-1 &8 &1\\ 0&2 &-1 &3 &0\\ 1& -2& 2& -1&1\\ 2&-2 &3 &1&2 \end{bmatrix}$$

 

$\boxed{\text{Bài 5}}$ Tìm a để ma trận sau có hạng bé nhất

 

$\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & a & -3 & 2 \\ 3 & a & 0 & -1 & 1 \\ 6 & -1 & 4 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

 

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Tìm hạng của ma trận sau

 

$A=\begin{pmatrix} a^{2} & ab & ab & b^{2} \\ ab & a^{2} & b^{2} & ab \\ ab & b^{2} & a^{2} & ab \\ b^{2} & ab & ab & a^{2} \end{pmatrix}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 16-10-2013 - 07:07

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh