Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * - 24 Bình chọn

Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 104 trả lời

#1 math_galois

math_galois

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:TP HCM

Đã gửi 02-05-2009 - 12:37

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$


(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$


(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$


(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$


(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$


(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$


(7) $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$


(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$


(9) $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$


(10) $ (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$


(11) $ ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} $


(12)$ ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$


(13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$


(14) Với n lẻ:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$


(15) Nhị thức Newton:
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$


Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (12) xem như là bài tập :)
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên mình sẽ thêm vào.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 22:36


#2 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 02-05-2009 - 13:48

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$
(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$
(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$
(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$
(7) $ (a + b + c)^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$
(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$
(9) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$
(10) Với n lẻ:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$
(11) Nhị thức Newton:
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$
Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (8) xem như là bài tập :)
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên mình sẽ thêm vào.


Thêm mấy cái :D
$(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2$

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{3}{2}=\sum _{sym} \dfrac{(a-b)^2}{2(c+a)(b+c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 08-07-2011 - 14:27

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh Tu,University of Engineering & Technology- http://vuthanhtu.com/

#3 sieuthamtu_sieudaochit

sieuthamtu_sieudaochit

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-05-2009 - 14:16

Thêm mấy cái :)
$(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2$

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{3}{2}=\sum _{sym} \dfrac{(a-b)^2}{2(c+a)(b+c)}$


Còn nữa $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 08-07-2011 - 14:27

[TEX] [/TEX]
Cái này là gì thế nhỉ

#4 Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 314 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FU
  • Sở thích:Math

Đã gửi 02-05-2009 - 14:33

Còn rất nhiều nữa,ví dụ này:
${a^2}b + {b^2}c + {c^2}a - a{b^2} - {b^2}c - {c^2}a = -(\dfrac{{{{(a - b)}^3} + {{(b - c)}^3} + {{(c - a)}^3}}}{3})$
${a^3} + {b^3} + {c^3} - {a^2}b - {b^2}c - {c^2}a = \dfrac{{(2a + b){{(a - b)}^2} + (2b + c){{(b - c)}^2} + (2c + a){{(a - c)}^2}}}{3}$
${a^4} + {b^4} + {c^4} - {a^3}b - {b^3}c - {c^3}a = \dfrac{{(3{a^2} + 2ab + {b^2}){{(a - b)}^2} + (3{b^2} + 2bc + {c^2}){{(b - c)}^2} + (3{c^2} + 2ac + {a^2}){{(a - c)}^2}}}{4}$
${a^3}b + {b^3}c + {c^3}a - a{b^3} - b{c^3} - {a^3}c = -(\dfrac{{a + b + c}}{3}\left( {{{(a - b)}^3} + {{(b - c)}^3} + {{(c - a)}^3}} \right))$
:)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 08-07-2011 - 14:28

=.=


#5 math_galois

math_galois

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:TP HCM

Đã gửi 03-05-2009 - 03:53

Cám ơn mấy bạn giúp, nhưng tớ chỉ thêm vào mấy cái đơn giản. Còn những cái phức tạp để các bạn tự làm và chứng minh :)
@Toanlc_gift: Mấy công thức của cậu bị sai dấu đấy :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 22:33


#6 muctieu-5

muctieu-5

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Russia Federation
  • Sở thích:Toán học + Vật lý

Đã gửi 03-05-2009 - 05:39

Mình sửa lại cho Toanlc_gift này:

$ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=\dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3}$
$ab^3+bc^3+ca^3-a^3b-b^3c-c^3a=\dfrac{a+b+c}{3}((a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 08-07-2011 - 14:28


#7 thihoa_94

thihoa_94

    thành viên chuyên cần

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Quảng Ngãi

Đã gửi 03-05-2009 - 06:37

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$
(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$

$(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2+2a_1.a_2+....+2a_{n-1}.a_n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 22:33

BTH10T2LK


#8 L_Euler

L_Euler

    Leonhard Euler

  • Hiệp sỹ
  • 935 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Galaxy

Đã gửi 03-05-2009 - 10:11

$\dfrac{{1 + ab}}{{a - b}}.\dfrac{{1 + bc}}{{b - c}} + \dfrac{{1 + bc}}{{b - c}}.\dfrac{{1 + ca}}{{c - a}} + \dfrac{{1 + ca}}{{c - a}}.\dfrac{{1 + ab}}{{a - b}} = 1$

$\dfrac{{ab}}{{(c - a)(c - b)}} + \dfrac{{bc}}{{(b - a)(b - a)}} + \dfrac{{ca}}{{(c - b)(c - a)}} = 1$

$\dfrac{{a + b}}{{a - b}}.\dfrac{{b + c}}{{b - c}} + \dfrac{{b + c}}{{b - c}}.\dfrac{{c + a}}{{c - a}} + \dfrac{{c + a}}{{c - a}}.\dfrac{{a + b}}{{a - b}} = - 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L_Euler: 03-05-2009 - 10:11


#9 huyen95_HD

huyen95_HD

    DBSK

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:10T-CBG

Đã gửi 19-11-2009 - 08:09

cái hằng đẳng thức (a+b+c)^{3}-3abc=(a+b+c)( a^{2} + b^{2}+ c^{2} -ab-ac-bc) sai ben bét rồi

Đúng rồi đấy,phải như bạn Cường mới là đúng kia.Có thể chứng minh cái đó dễ dàng mà.:(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyen95_HD: 19-11-2009 - 08:12

OFFLINE TO LEARN !!!

#10 Nguyễn Thái Vũ

Nguyễn Thái Vũ

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 684 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:High school for gifted student-HUS

Đã gửi 15-12-2009 - 20:27

Thêm mấy cái nữa nhé:
$1^3+2^3+3^3+.....n^3=(1+2+3+...+n)^2$
$1.2+2.3+3.4+4.5+....+n(n+1)= \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \dfrac{n( n + 1 )( 2n + 1 )}{6}$
$1.n+2(n-1)+3(n-2)+.....+n.1=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 22:38

Can't you see that I'm the one who understands you
Been here all along
So why can't you see
You belong with me
Standing by and waiting at your back door
All this time
How could you not know
Baby you belong with me
You belong with me....

#11 Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 19-01-2010 - 12:45

Ai nêu zùm em quy luật của tam giác pascal đi

Sao lại vô đây hỏi?

Trong tam giác Pascal, hệ số nhị thức $C_n^{k}$ là số thứ $(k + 1)$ trong dòng $(n + 1)$. Các số ngoài cùng của tam giác là $1$. Để có một số bên trong, ta chỉ cần lấy tổng hai số ở hàng trên ở về hai phía của vị trí đang xét.

Ta có các số nhị thức xuất hiện trong định lí nhị thức sau đây:

Giả sử $x, y$ là các biến và $n$ là số nguyên dương. Khi đó:
$(x + y)^{n} = \sum\limits_{k = 0}^{n} C_n^{k}x^{n - k}y^{k}$

"God made the integers, all else is the work of men"


#12 terenceTAO

terenceTAO

    mathematics...

  • Thành viên
  • 195 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THANH HÓA
  • Sở thích:toan ,bong da ..

Đã gửi 20-03-2010 - 16:25

Bài 1.
$x=\dfrac{a}{b+c}$

$y=\dfrac{b}{c+a}$

$z=\dfrac{c}{a+b}$

thì xy+yz+zx+2xyz=1

Bài 2.
$x=\dfrac{b+c}{a}$

$y=\dfrac{a+b}{c}$

$z=\dfrac{c+a}{b}$

thì xyz=x+y+z+2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 03-09-2011 - 22:42

Stay hungry,stay foolish


#13 haiyen96

haiyen96

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ: Hải Phòng

Đã gửi 03-10-2010 - 10:28

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$
(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$
(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$
(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$
(7) $ (a + b + c)^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$
(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$
(9) $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$
(10) $ (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
(11) $ ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} $
(12)$ ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$
(13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$
(14) Với n lẻ:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$
(15) Nhị thức Newton:
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$
Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (12) xem như là bài tập :beta
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên mình sẽ thêm vào.

Ngoài ra còn có cái này cũng thông dụng nè:
Với n chẵn thì$ a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}.b+a^{n-3}.b^2-...-b^{n-1})#$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 10-09-2011 - 19:25

http://mp3.zing.vn/m...hi.1835287.html
Dưới góc độ toán học, tình yêu là phép chia của túi tiền, phép trừ của trái tim, phép nhân của mệt mỏi, phép cộng của mọi sự rắc rối.
=> hok nên yêu( nhân danh hội trưởng hội độc thân ^_^)

#14 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1458 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A0 K46 Tổng hợp

Đã gửi 25-10-2010 - 18:20

them vai cai nay nua:
$a^{3} + b^[3} + c^{3} - 3abc = \dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$
$a^2 + b^2 + c^2 - \dfrac{1}{3}(a+b+c)^{2} = \dfrac{1}{3}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


94e8dcf4f558448c8c8e808278c0c65e.0.gif


#15 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1350 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Kỳ Lâm
  • Sở thích:Vietnam idol!

Đã gửi 07-07-2011 - 15:57

(7) $ (a + b + c)^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$
Hằng đẳng thức này sai, HĐT đúng phải là :
$ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = ( a + b + c )( a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc )$
Tham khảo thêm tại đây : Wolframalpha
Không biết đúng không nhưng hôm trước mình không biết cách chứng minh BĐT Cauchy cho 3 số không âm bằng PP thông thường nên đã sử dụng hằng đẳng thức này ( với a, b, c không âm ) để chứng minh...

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#16 hieu_pct

hieu_pct

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-08-2011 - 21:23

Hình như cái này không phải là hằng đẳng thức nhỉ:
$x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}...+x+1)$

#17 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3718 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The Dark Side.Blood Mage of the Old.
  • Sở thích:To revenge my people.Prepeare to face the Rage of the Invoker !

Đã gửi 27-08-2011 - 21:29

Hình như cái này không phải là hằng đẳng thức nhỉ:
$x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}...+x+1)$

Cái này được xem là một hằng đẳng thức đấy bạn(một hệ quả của Nhị Thức Newton ) :(
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#18 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3315 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 04-09-2011 - 08:48

Thêm mấy cái nữa nhé:
$1^3+2^3+3^3+.....n^3=(1+2+3+...+n)^2$
$1.2+2.3+3.4+4.5+....+n(n+1)= \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \dfrac{n( n + 1 )( 2n + 1 )}{6}$
$1.n+2(n-1)+3(n-2)+.....+n.1=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Thêm vài cái nữa
$1.1!+2.2!+...+n.n!=(n+1)!-1$
$1.2^0+2.2^1+3.2^2+...+n.2^{n-1}=(n-1).2^n+1$
$1^3+3^3+...+(2n+1)^3=(n+1)^2(2n^2+4n+1)$
$1^2+2^2+...+n^2= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
"God made the integers, and else is the work of man."

#19 pythagoras

pythagoras

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-11-2011 - 23:37

cho em hỏi với mấy bác ơi
trong cái nhị thứ niuton (!) là cái gì vậy
Đừng thấy cái bóng to của mình trên vách tường mà tưởng mình vĩ đại

#20 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:THPT Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam

Đã gửi 04-01-2012 - 00:01

cho em hỏi với mấy bác ơi
trong cái nhị thứ niuton (!) là cái gì vậy

Giai thừa bạn

15749449247_9b6f2a71cc_o.jpg





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh