Chủ đề này có 8 trả lời

[hdt4151]

Thấy chủ đề "Dựng hình = compa và thước kẻ" được nhìu người wan tâm nên HDT đâng thêm 1 bài khá hay nữa đó là vẽ ngôi sao 5 cánh =compa và thước kẻ sao cho 5 đỉnh của ngôi sao là đỉnh của hình ngũ giác đều ^ ^

[Alligator]

Bài này thuộc dạng "kinh điển," chắc nhiều người biết hoặc có nghe tới rồi. Cá sấu nhớ lần đầu tiên thấy bài này là ở ngay những trang đầu cuốn sách "Dựng Hình" của Hứa Thuần Phỏng.

Loại bài "kinh điển" này chắc ít ai chịu vắt óc nghĩ lời giải nên cá sấu đưa lời giải lên luôn, coi như để tham khảo khi cần (thật ra vì trước đây đã vẽ hình bài này rồi nên vội vàng đưa lên kẻo... uổng công vẽ )

Dựng hình ngôi sao 5 cánh (hay ngũ giác đều)
- Dựng đường tròn tâm M.
- Qua M dựng hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau, tương ứng cắt đường tròn tại B và D, A và C.
- Dựng trung điểm E của đoạn thẳng MC
- Dựng cung tròn tâm E và bán kính EB, cắt đoạn thẳng AM tại F.
- Đoạn thẳng BF chính là cạnh của ngũ giác đều nội tiếp đường tròn tâm M (hay dây cung chắn cung 72°)



Mời các bạn bàn luận thêm những khía cạnh liên quan của bài toán này, hy vọng có thêm những điều lý thú.
Cá sấu thử đặt ra vài câu hỏi:
- những đa giác đều với số cạnh bao nhiêu thì dựng được bằng thước thẳng và com-pa?
- những đa giác đều với số cạnh khác nếu không thể dựng được bằng thước thẳng và com-pa thì có thể dùng thêm dụng cụ gì và như thế nào?

[nguyen_hung]

Đa giác 7 cạnh và bội của nó, đa giác 13 cạnh, 17 cạnh là ko dựng được bằng compa và thước thẳng. Dụng cụ dễ nhất để dựng mấy hình này là thước đo góc.
@Cá sấu Bác vẽ bằng gì vậy, nhìn có vẻ giống bằng AutoCAD thì phải.

[Alligator]

Đa giác 7 cạnh và bội của nó, đa giác 13 cạnh, 17 cạnh là ko dựng được bằng compa và thước thẳng. Dụng cụ dễ nhất để dựng mấy hình này là thước đo góc.
@Cá sấu Bác vẽ bằng gì vậy, nhìn có vẻ giống bằng AutoCAD thì phải.

Hình đó đúng là mình vẽ bằng AutoCad

Vậy là những hình đa giác đều khác (ngoài số cạnh nêu trên) đều dựng được bằng compa và thước thẳng thật sao?

Thử điểm lại một lượt coi thử cần dùng những phép dựng hình gì. Ở đây để dễ so sánh các trường hợp, ta đặt lại bài toán là:

"Cho một đường tròn tâm O, hãy dựng đa giác đều n cạnh nội tiếp bằng thước thẳng và compa"

1. n = 2, n = 4 và
- Hình... 2 cạnh đều thì không có rồi
- Hình tứ giác đều (hình vuông, n = 4) là dựng được ứng dụng phép dựng các đường thẳng vuông góc, giao điểm của hai đường thẳng vuông góc tại tâm với đường tròn chính là các đỉnh của hình vuông nội tiếp.
- Các đa giác đều có 8, 16, 32... cạnh () được dựng dựa trên đa giác đều cạnh, chỉ cần dùng thêm phép dựng đường phân giác của góc ở tâm đường tròn ngoại tiếp chắn cạnh đa giác đều.

2. n = 3, n = 6, và
- Hình lục giác đều (n = 6) là hình dễ dựng nhất vì có cạnh bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp
- Hình tam giác đều (n = 3) được dựng dựa trên hình lục giác đều bằng cách bỏ bớt ba đỉnh không kế nhau
- Các đa giác đều có (k > 2) được dựng dựa trên đa giác đều , dùng thêm phép dựng đường phân giác của góc ở tâm đường tròn ngoại tiếp chắn cạnh đa giác đều.

3. n = 5 và
- Hình ngũ giác đều (n = 5) dựng như đã trình bày phía trên (và đã bắt đầu rắc rối )
- Các đa giác đều có (k > 0) được dựng dựa trên đa giác đều , dùng thêm phép dựng đường phân giác của góc ở tâm đường tròn ngoại tiếp chắn cạnh đa giác đều.

Nhận xét: các đa giác đều dựng được đơn giản nhất tương ứng với n = 4 và n = 6 chứ không phải n = 2 (vì... hoàn cảnh, do nó không tồn tại) và n = 3 (tại sao lại như vậy?)

Hình 9 cạnh đều thì sao? Các bạn cho ý kiến thêm nhé

[queensland]

Đa giác 7 cạnh và bội của nó, đa giác 13 cạnh, 17 cạnh là ko dựng được bằng compa và thước thẳng.

Hình 17 cạnh đều dựng được đấy chứ bạn.

Người đầu tiên chỉ ra cách dựng là C. F. Gauss (1796). So với những công trình khác của ông thì có lẽ bài toán này thật là nhỏ bé nhưng ông đắc ý với nó nhất, đến mức đã muốn khắc hình đa giác đều 17 cạnh lên bia mộ của mình.

Còn đây là cách dựng ngắn nhất, của Richmond (1893):

Thứ tự dựng là: V; A; B (OB = OA/4); C (góc OBC = góc OBV/4); D (góc DBC = 45 độ); đường tròn đường kính DV; E ; đường tròn (C, CE); G; V3. Từ V và V3 dựng được các đỉnh còn lại. Nếu chỉ cần dựng góc 2pi/17 thì dựng F; V5; chia đôi cung V3 V5.


Xem demo cách dựng ở đây: http://www.showmath....on/rpoly17.html

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi queensland: 21-07-2005 - 07:42

[Alligator]

Cách dựng đa giác 17 cạnh đều này tuyệt quá. Có được bài như vậy mà khắc lên bia mộ thì chết cũng không tiếc.

[nguyen_hung]

Đúng là mình không biết có thể dựng được đa giác 17 cạnh đều.
Trang bác Queensland post hay thật, thanks bác.
Những hình mình nói chỉ là dự đoán thôi, chưa chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen_hung: 21-07-2005 - 17:19

[leolas]

Chào bạn Alligator. Mình có phương pháp vẽ gần đúng bằng compa và thước thẳng sau đây để chia đường tròn làm 7,9,11,13,... phần (số phần là lẽ) bằng nhau, ví dụ chia đường tròn làm 7 phần, cách vẽ như sau :
* Dựng 02 đường kính AB và CD vuông góc với nhau.
* Dựng cung tròn tâm D với bán kính CD, cung này cắt AB kéo dài ờ E & F
* Chia đường kính CD làm 7 phần bằng nhau bằng các điểm 1,2,3...,7 .
* Nối E rồi F với các điểm chia chẳn 2,4,6 (hoặc các điểm chia lẽ 1,3,5). kéo dài các đường thẳng đó chúng sẽ cắt đường tròn tại các điểm. Các điểm này là đỉnh của hình 7 cạch đều

Tương tự ta có thể vẽ hình 17 cạnh đều như bạn Queensland như sau :


Còn có một phương pháp tồng quát gần đúng đề chia đường tròn thành n phần bằng nhau (chẳn hoặc lẽ). Ví dụ như mình chia đường tròn làm 9 phần :
* Trên đường tròn kẽ đường kính AB, ta dựng 01 tam giác đều ACB, và chia đường kính AB bằng một điểm D theo tỉ số AD/AB = 2/9 (trong trườg hợp tổng quát thì AD/AB = 2/n) .
* Ta nối các điểm CD bằng một đoạn thẳng và kéo dài cho đến khi cắt đường tròn tại điểm E . Khi đó dây cung AE sẽ là cạnh của đa giác đều 9 cạnh (hay n cạnh) nội tiếp đường tròn (sai số 0,8%) .

Nếu biểu diễn mối liên hệ phụ thuộc giữ độ lớn của góc ở tâm AOE, được tạo thành trong phép dựng hình vừa nêu, và số phép chia n, thì có được công thức đúng sau đây : tg AOE = (:sqrt{3}/2) * (:sqrt{n^{2} +16n-32-n} /n-4).
Phương pháp này chỉ có thể chia gần đúng một đường tròn làm 5,6,7,8,9,10 phần bằng nhau với sai số từ 0,07 đến 1% . Với n càng lớn thì sai số càng tăng, nhưng theo các kết quả nghiên cứu thì với mọi giá trị n, thì sai số đó không vượt quá 10%

[meyeu]

Dựng hình ngôi sao 5 cánh (hay ngũ giác đều)
- Dựng đường tròn tâm M.
- Qua M dựng hai đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau, tương ứng cắt đường tròn tại B và D, A và C.
- Dựng trung điểm E của đoạn thẳng MC
- Dựng cung tròn tâm E và bán kính EB, cắt đoạn thẳng AM tại F.
- Đoạn thẳng BF chính là cạnh của ngũ giác đều nội tiếp đường tròn tâm M (hay dây cung chắn cung 72°)

Mình có phương pháp vẽ gần đúng bằng compa và thước thẳng sau đây để chia đường tròn làm 7,9,11,13,... phần (số phần là lẽ) bằng nhau, ví dụ chia đường tròn làm 7 phần, cách vẽ như sau :
* Dựng 02 đường kính AB và CD vuông góc với nhau.
* Dựng cung tròn tâm D với bán kính CD, cung này cắt AB kéo dài ờ E & F
* Chia đường kính CD làm 7 phần bằng nhau bằng các điểm 1,2,3...,7 .
* Nối E rồi F với các điểm chia chẳn 2,4,6 (hoặc các điểm chia lẽ 1,3,5). kéo dài các đường thẳng đó chúng sẽ cắt đường tròn tại các điểm. Các điểm này là đỉnh của hình 7 cạch đều

Tương tự ta có thể vẽ hình 17 cạnh đều như bạn Queensland như sau :


Còn có một phương pháp tồng quát gần đúng đề chia đường tròn thành n phần bằng nhau (chẳn hoặc lẽ). Ví dụ như mình chia đường tròn làm 9 phần :
* Trên đường tròn kẽ đường kính AB, ta dựng 01 tam giác đều ACB, và chia đường kính AB bằng một điểm D theo tỉ số AD/AB = 2/9 (trong trườg hợp tổng quát thì AD/AB = 2/n) .
* Ta nối các điểm CD bằng một đoạn thẳng và kéo dài cho đến khi cắt đường tròn tại điểm E . Khi đó dây cung AE sẽ là cạnh của đa giác đều 9 cạnh (hay n cạnh) nội tiếp đường tròn (sai số 0,8%) .

Nếu biểu diễn mối liên hệ phụ thuộc giữ độ lớn của góc ở tâm AOE, được tạo thành trong phép dựng hình vừa nêu, và số phép chia n, thì có được công thức đúng sau đây : tg AOE = (:sqrt{3}/2) * (:sqrt{n^{2} +16n-32-n} /n-4).
Phương pháp này chỉ có thể chia gần đúng một đường tròn làm 5,6,7,8,9,10 phần bằng nhau với sai số từ 0,07 đến 1% . Với n càng lớn thì sai số càng tăng, nhưng theo các kết quả nghiên cứu thì với mọi giá trị n, thì sai số đó không vượt quá 10%

Còn đây là cách dựng ngắn nhất, của Richmond (1893):