Đến nội dung


Hình ảnh

thảo luận bài toán con bướm


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • ĐHV Tổng hợp
  • 3554 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐN
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 15-11-2010 - 12:17

Bài toán con bướm là bài toán quen thuộc đối với HSG lớp 9. Mình mới học nên post lên cho mọi người xem và đóng góp ý kiến. Mình cũng post lên một trường hợp đặc biệt của bài toán con bướm và cách giải. Có ai có cách giải nào khác hoặc trường hợp đặc biệt của bài toán con bướm khác thì post lên (kèm theo hình luôn :vdots).
=========================================================
Bài toán con bướm:
Cho (O) và dây AB không qua tâm. I là trung đỉểm của AB. Qua I vẽ 2 dây CD, EF sao cho C thuộc cung AE; C,E thuộc cung AB nhỏ. CF và ED cắt AB lần lượt tại M,N. CMR: IM=IN.

Cách 1: Hạ OH, OK thứ tự vuông góc với CF, ED nên H, K là trung đỉểm của CF, ED.
Hình đã gửi
I là trung đỉểm của AB nên OI :vdots AB.
Do đó, OHMI, OKNI là tứ giác nội tiếp. Nên
$\angle ION = \angle IKN$

$\angle IOM = \angle IHM$

$\Rightarrow \vartriangle IFC \sim \vartriangle IDE$

$\dfrac{{IF}}{{FC}} = \dfrac{{ID}}{{DE}} \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{2.FH}} = \dfrac{{ID}}{{2.DK}}$

$ \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{FH}} = \dfrac{{ID}}{{DK}}$

$ \Rightarrow \vartriangle HFI \sim \vartriangle KDI$

$ \Rightarrow \angle FHI = \angle DKI$

$ \Leftrightarrow \angle IHC = \angle IKE$

$ \Leftrightarrow \angle IOM = \angle ION$

$ \Rightarrow \vartriangle OIM = \vartriangle OIN \Rightarrow IM = IN$

==========================================================
Cách 2: Vẽ dây DK của (O) sao cho DK//AB. OI :in AB => OI :in DK => IO là trung trực của DK

Hình đã gửi

Dễ chứng minh $IK = ID;\angle KIO = \angle DIO$

Nên $\angle DIM = \angle DIN$

$\angle KFC = \angle KDC = \angle DIB = \angle KIA$

Nên MIFK là tứ giác nội tiếp.

$ \Rightarrow \angle MKI = \angle MFI = \angle IDN$

$ \Rightarrow \vartriangle KIM = \vartriangle DIN \Rightarrow IM = IN$
=============================================================

Mình trình bày luôn trường hợp đặt biệt của bài toán và cách giải độc đáo của bài này (theo mình nghĩ).
Bài toán: Cho tứ giác BCEF nội tiếp (O), đường kính BC. I là giao điểm 2 đường chéo. Đường thẳng qua I vuông góc với OI tại I cắt c đoạn BF, CE, lần lượt tại N, P. CMR: IN=IM.

Giải: Gọi A là giao điểm của BF, CE.
Dễ chứng minh OI :leq NP.

Hình đã gửi

$\angle BFC = \angle BEC = 90^ \circ $

Nên I là trực tâm tam giác ABC. Do đó, AI :leq BC.
Tam giác AIP và BOI có:
$\angle IBC = \angle IAC$ (cùng phụ với góc BCE)

$\angle PIE = \angle BIO$ (cùng phụ góc EIP)

$ \Rightarrow \vartriangle AIP \sim \vartriangle BOI$

$ \Rightarrow \dfrac{{IP}}{{IO}} = \dfrac{{AI}}{{OB}}(1)$

Tương tự, $ \Rightarrow \vartriangle AIN \sim \vartriangle COI$

$ \Rightarrow \dfrac{{IN}}{{IO}} = \dfrac{{AI}}{{OB}}(2)$

Mà OB=OC nên từ (1), (2) suy ra $\dfrac{{IN}}{{IO}} = \dfrac{{IP}}{{IO}}$
=> đpcm.
=============================================================
Thấy hay thì thank nhá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-11-2010 - 12:19

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$

 

 

 

 

I'm still there everywhere.


#2 nhantd97

nhantd97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-05-2012 - 10:27

Thế thì cho em một vài ứng dụng của bài toán con bướm luôn có được không. Cảm ơn anh!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 27-05-2012 - 10:42


#3 L Lawliet

L Lawliet

    Ngọa Long

  • Thành viên
  • 1252 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-05-2012 - 10:40

Một số bài tập có ứng dụng của bài toán con bướm (trích trong tạp chí THTT)
Bài toán 1:
Cho $\Delta ABC$ nhọn có trực tâm $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $MH$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $\Delta MPQ$ cân.
Bài toán 2:
Cho $\Delta ABC$ có đường cao $AD$; $O$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm. Đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $OD$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh rằng $\widehat{DHK}+\widehat{AHC}=180^o$.
Bài toán 3:
Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có $H$ là trực tâm và $tgB.tgC=3$. $BH$ và $CH$ theo thứ tự cắt $(O)$ tại $B'$, $C'$; $B'C'$ cắt $AH$ tại $P$. Chứng minh rằng $P$ là trung điểm của $AH$.
Bài toán 4:
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $I$ khác $O$. Một đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ cắt cạnh $AB$ và $CD$ tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng $AB=CD\Leftrightarrow BM=CN$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-05-2012 - 10:41

The woman

#4 hhhntt

hhhntt

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 29-05-2012 - 21:37

lời giải của bạn
perfectstrong thiếu ở cách 1 đó, phải xét cả trường hợp CD hoặc EF đi qua điểm O thì không thể kẻ đường vuông góc từ O. Nên cách giải thứ 2 giá trị hơn cách 1 :icon6:

#5 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 882 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 29-05-2012 - 23:06

Mình xin góp vui một bài:
cho tam giác ABC (BC>CA) nội tiếp (O), trực tâm H, đường cao CF. Đường thẳng qua F và vuông góc với OF cắt AC tại P. c/m $\widehat{FHP}=\widehat{CAB}$

#6 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 30-05-2012 - 22:17

Mình xin góp vui một bài:
cho tam giác ABC (BC>CA) nội tiếp (O), trực tâm H, đường cao CF. Đường thẳng qua F và vuông góc với OF cắt AC tại P. c/m $\widehat{FHP}=\widehat{CAB}$

http://diendantoanho...showtopic=70563

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh