).=========================================================
Bài toán con bướm:
Cho (O) và dây AB không qua tâm. I là trung đỉểm của AB. Qua I vẽ 2 dây CD, EF sao cho C thuộc cung AE; C,E thuộc cung AB nhỏ. CF và ED cắt AB lần lượt tại M,N. CMR: IM=IN.
Cách 1: Hạ OH, OK thứ tự vuông góc với CF, ED nên H, K là trung đỉểm của CF, ED.
I là trung đỉểm của AB nên OI
AB.Do đó, OHMI, OKNI là tứ giác nội tiếp. Nên
$\angle ION = \angle IKN$
$\angle IOM = \angle IHM$
$\Rightarrow \vartriangle IFC \sim \vartriangle IDE$
$\dfrac{{IF}}{{FC}} = \dfrac{{ID}}{{DE}} \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{2.FH}} = \dfrac{{ID}}{{2.DK}}$
$ \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{FH}} = \dfrac{{ID}}{{DK}}$
$ \Rightarrow \vartriangle HFI \sim \vartriangle KDI$
$ \Rightarrow \angle FHI = \angle DKI$
$ \Leftrightarrow \angle IHC = \angle IKE$
$ \Leftrightarrow \angle IOM = \angle ION$
$ \Rightarrow \vartriangle OIM = \vartriangle OIN \Rightarrow IM = IN$
==========================================================
Cách 2: Vẽ dây DK của (O) sao cho DK//AB. OI
AB => OI DK => IO là trung trực của DK
Dễ chứng minh $IK = ID;\angle KIO = \angle DIO$
Nên $\angle DIM = \angle DIN$
$\angle KFC = \angle KDC = \angle DIB = \angle KIA$
Nên MIFK là tứ giác nội tiếp.
$ \Rightarrow \angle MKI = \angle MFI = \angle IDN$
$ \Rightarrow \vartriangle KIM = \vartriangle DIN \Rightarrow IM = IN$
=============================================================
Mình trình bày luôn trường hợp đặt biệt của bài toán và cách giải độc đáo của bài này (theo mình nghĩ).
Bài toán: Cho tứ giác BCEF nội tiếp (O), đường kính BC. I là giao điểm 2 đường chéo. Đường thẳng qua I vuông góc với OI tại I cắt c đoạn BF, CE, lần lượt tại N, P. CMR: IN=IM.
Giải: Gọi A là giao điểm của BF, CE.
Dễ chứng minh OI
NP.
$\angle BFC = \angle BEC = 90^ \circ $
Nên I là trực tâm tam giác ABC. Do đó, AI
BC.Tam giác AIP và BOI có:
$\angle IBC = \angle IAC$ (cùng phụ với góc BCE)
$\angle PIE = \angle BIO$ (cùng phụ góc EIP)
$ \Rightarrow \vartriangle AIP \sim \vartriangle BOI$
$ \Rightarrow \dfrac{{IP}}{{IO}} = \dfrac{{AI}}{{OB}}(1)$
Tương tự, $ \Rightarrow \vartriangle AIN \sim \vartriangle COI$
$ \Rightarrow \dfrac{{IN}}{{IO}} = \dfrac{{AI}}{{OB}}(2)$
Mà OB=OC nên từ (1), (2) suy ra $\dfrac{{IN}}{{IO}} = \dfrac{{IP}}{{IO}}$
=> đpcm.
=============================================================
Thấy hay thì thank nhá.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-11-2010 - 12:19
