Đến nội dung


Hình ảnh

Vẻ đẹp của tư duy trực quan


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 BOM2005

BOM2005

    Vẻ đẹp Toán học

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 30-07-2005 - 17:09

Vẻ đẹp của Tư Duy Trực Quan

Toán học là gì? Không nhất thiết phải biết chính xác, có điều sản phẩm của toán học chắc chắn sẽ là những công thức, những định lý, những giả thuyết, và những tư tưởng đẹp nhất, tương xứng nhất với với trực quan của con người. Và vẻ đẹp của toán học, cuối cùng sẽ là vẻ đẹp của trực quan.....

Con người đã tồn tại và phát triển qua hàng triệu năm lịch sử. Vậy còn toán học ? Có ý kiến cho rằng toán học chỉ mới thực sự phát triển với 1 trình độ cao trong khoảng vài thế kỷ gần đây. Lại có ý kiến cho rằng lịch sử toán học gần như đồng hành cùng với lịch sử thế giới. Cũng chưa biết chắc ai đúng ai sai, riêng bản thân tôi thì cho rằng toán học là thứ vốn đã tồn tại trước khi xuất hiện loài người. Vấn đề là ở chỗ con người đã nhận ra sự tồn tại của toán học vào thời điểm nào, và đã phát trỉển nó ra sao mà thôi

Sau những nỗ lực đi tìm bản chất của toán học, dường như vẫn chưa có câu trả lời thỏa đáng cho nỗi băn khoăn: " toán học là gì". Vả chăng, một câu hỏi như vậy liệu có nhất thiết phải trả lời hay không?!

Tôi còn nhớ, nhiều lần mình đã bị những bài toán nhỏ làm cho bứt rứt không yên. Nhiều đêm trằn trọc với hi vọng và quyết tâm nhất định phải tìm ra cho bằng được lời giải của chúng . Sẽ tuyệt vời biết bao khi lời giải đó đã có trong đầu, đã nắm đựơc trong tay. Những lúc như vậy, cái cảm giác sung sướng, hạnh phúc của chiến thắng, hiểu biết và sáng tạo khiến tôi như muốn nhấy cẫng lên, chạy bay đi đê gặp tất cả mọi người, để nói với họ 1 câu thôi: " này anh bạn, anh biết không, tôi đã giải được câu đố đó rồi, vâng, chính xác là câu đố đó đã có lời giải rồi- một lời giải tuyệt vời- và lời giải đó là của tôi đấy, vâng, chính xác là của tôi đấy".

Hình đã gửi


Con người sinh ra vốn đã có cái tính ham hiểu biết, ưa khám phá và yêu cái đẹp như vậy. Và như thế thì hẳn các bạn đều đồng ý với tôi rằng những câu hỏi kiểu như:" toán học là gì, tại sao chúng ta lại phải học và làm toán, bản chất của toán học là như thế nào, toán học có đẹp không, vẻ đẹp của toán học trông ra sao...." đều được sinh ra từ tính hiếu kì của con người, và chính chúng đáp ứng tính hiếu kì đó. Vì vậy không hẳn là buộc phải có câu trả lời tuyệt đối chính xác, và thực ra cũng chưa chắc đã có câu trả lời tuyệt đối chính xác.

Nhưng dù là như vậy, tôi vẫn muốn đưa ra 1 cách nhìn về bản chất toán học và qua đó hi vọng chúng ta: bạn, và tôi có thể hiểu được phần nào vẻ đẹp đích thực của toán học.

Người ta thường nói toán học là tư duy trừu tượng, điều này đúng quá, nhưng có đúng hoàn toàn không?! Theo quan niệm của tôi con người vốn nhìn nhận thế giới bởi tư duy trực quan, và cái cách mà chúng ta tiếp cận toán học cũng là từ trực quan, từ trực quan mới sinh ra trừu tượng, do vậy toán học, thực chất cũng chính là 1 hình thái cao của tư duy trực quan

Ắt hẳn ai trong chúng ta cũng từng nghĩ hoặc từng nghe :"con người sở dĩ khác loài vật ở chỗ chúng ta có tư duy cao cấp hơn". Các bạn nhớ chú ý từ "cao cấp". Nếu nói như vậy phải chăng lòai vật cũng có tư duy? Có, tất nhiên là có. Tôi còn nhớ mãi câu chuyện vui giữa các nhà toán học: chuyện về chú lừa Buplerop. Chuyện là thế này: có 1 chú lừa, tên chú là Buplerop (tất nhiên!), chú đang đói meo và đang đứng giữa 2 bó cỏ thơm ngon giống hệt nhau. Cuối cùng, chú đã...chết vì ...đói !?!. " Tội nghiệp chú lừa đáng thương, nó đã trở thành vật thí mạng của nguyên lí thiếu cơ sở đủ"- các nhà toán học ngậm ngùi nói. Tại sao chú lại chết đói? Vâng, có lẽ chỉ có một nguyên nhân thôi, đó chính là vì chú không biết ăn bó cỏ nào trước. Nếu quả có thế thì dẫu sao chú lừa cũng còn biết tư duy, dù có hơi "ngu như..lừa".

Dĩ nhiên ai cũng biết câu truyện này hư cấu là chủ yếu, thậm chí đã lý tưởng hóa vấn đề, vì làm sao có thể có hai bó cỏ giống hệt nhau, chuyện đó thậm chí còn chưa vô lý bằng chuyện có một chú lừa có hàm răng đều chằn chặn !! Tuy nhiên tôi cũng không thấy cần thiêt phải lấy ra một dẫn chứng thuyêt phục hơn, vì lẽ các bạn đọc giả của tôi, với "tư duy cao cấp" chắc chắn sẽ có những cách đánh giá thỏa đáng của riêng mình.

Trong buổi hồng hoang nhân loại, tư duy của loài người thực ra không cao hơn loài vật là mấy. Nhưng thời gian dài trôi qua, toán học và các môn khoa học khác phát triển manh mẽ, dĩ nhiên sự phát triển đó song hành với sự đột biến trong tư duy của con người. Đến nay, tư duy dương như là một quyền năng được con người sử dụng đê kiểm soát cuộc sống, thiên nhiên và vũ trụ.

Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau làm một cuộc thám hiểm nhỏ, để thấy đuợc tư duy trực quan của con người và tư duy toán học khi kết hợp với nhau đã tạo nên nhưng tri thức đẹp đẽ nhường nào. Trong cuộc thám hỉểm này, tôi-với vai trò 1 người hướng dẫn viên- sẽ cùng các bạn độc giả tìm đến với 2 bảo vật của "lâu đài lượng giác". Cũng nên nói trước, vì đây là 1 cuộc thám hiểm chứ không phải tham quan nên có thể có nhiều bất trắc, mong các bạn vì thế mà có đề phòng trước vẫn hơn.

Thế kỉ 6 trước công nguyên, xứ Xamos, biển Aege, Hy lạp - quê hương của nhà toán học trứ danh Pithagore, và cũng là quê hương của định lý Pithagore nổi tiếng.

"Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông"

Chúng ta hãy lấy 1 tam giác vuông ABC (vuông tại A) và dựng trên 3 cạnh của nó các hình vuông như hình vẽ. Nội dung của định lý Pithagore bây giờ là: diện tích hình vuông lớn bằng tổng diện tích 2 hình vuông nhỏ. Để chứng minh định lý này, có rất nhiều cách, trong đó cách cắt ghép hình sau, nói chung là rất thú vị, mời các bạn thưởng thức.

Hình đã gửi


Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với những khái niệm cơ bản của lượng giác học: đối với 1 góc, chẳng hạn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{ABC} ta định nghĩa các giá trị lượng giác của nó như sau: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sin{\widehat{ABC}}=\dfrac{AC}{BC},\cos{\widehat{ABC}}=\dfrac{AB}{BC}, thế thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sin^2{\widehat{ABC}}+\cos^2{\widehat{ABC}}=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1, như vậy đối với góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha bất kì ta có hệ thức: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

Một đẳng thức quá đẹp, nhưng từ từ, chắc lẽ các bạn cũng đã nhận ra sơ hở của những điều tôi vừa trình bày. Vâng, đúng như vậy, bởi vì góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{ABC} không thể bằng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?0^0 hay http://dientuvietnam...imetex.cgi?90^0, và như thế thì hệ thức nói trên chưa chắc đã đúng với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha. Không sao, các bạn sẽ yên tâm tuyệt đối với cách định nghĩa chuẩn mực sau cho các hàm số lượng giác:

http://pic1.picturetrail.com/VOL1123/3850833/7955351/105192077.jpg


Cho hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn tâm O, bán kính 1, gọi là đuờng tròn lượng giác, xét 1 tia Oz bất kì tạo với Ox 1 góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha, tia này cắt đường tròn lượng giác tại A, khi đó tung độ và hoành độ của A lần lượt là giá trị của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sin{\alpha},\cos{\alpha}. Bây giờ thì có thể thấy hệ thức nêu trên đã hoàn toàn đúng với mọi giá trị của góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha. Ta gọi đó là hệ thức cơ bản của lượng giác.

Bây giờ ta sẽ tiếp tục cuộc hành trình, trong nửa sau của chặng đường tôi sẽ cùng với các bạn tìm hiểu về 1 công thức tối quan trọng của lượng giác: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\cos{(\beta-\alpha)}=\cos{\alpha}\cdot{\cos{\beta}}+\sin{\alpha}\cdot{\sin{\beta}}. Để có thể chứng minh công thức này, có lẽ chúng ta nên tới với 1 hệ quả của định lý Pithagore:

Công thức khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng: trong mặt phẳng xét hệ trục tọa độ Oxy và 2 điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B(b_1,b_2),C(c_1,c_2), khi đó ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BC^2=(c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2.

Công thức này có thể dễ dàng kiểm chứng, trên hình vẽ ta có tam giác vuông ABC với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?AC=c_1-b_1,AB=c_2-b_2, và do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?BC^2=AC^2+AB^2=(c_1-b_1)^2+(c_2-b_2)^2

http://pic1.picturetrail.com/VOL1123/3850833/7955351/105191932.jpg


Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh công thức nêu trên. Xét vòng tròn lượng giác với 2 góc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha,\beta như hình vẽ. Khi đó A,B có tọa độ là: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A(\cos{\alpha},\sin{\alpha}),B(\cos{\beta},\sin{\beta}). Áp dụng công thức khoảng cách ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?AB^2=(\cos{\beta}-\cos{\alpha})^2+(\sin{\beta}-\sin{\alpha})^2=(\cos^2{\beta}+\sin^2{\beta})+(\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha})-2(\cos{\alpha}\cdot{\cos{\beta}}+\sin{\alpha}\cdot{\sin{\beta}})=2-2(\cos{\alpha}\cdot{\cos{\beta}}+\sin{\alpha}\cdot{\sin{\beta}}):(.

Bây giờ thực hiện phép đổi trục tọa độ zOz'. Khi đó tọa độ của A,B sẽ là: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A(1,0),B(\cos{(\beta-\alpha)},\sin{(\beta-\alpha)}). Lại áp dụng công thức khoảng cách, ta có:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?AB^2=[\cos{(\beta-\alpha)}-1]^2+\sin^2{(\beta-\alpha)}=[\cos^2{(\beta-\alpha)}+\sin^2{(\beta-\alpha)}]+1-2\cos{(\beta-\alpha)}=2-2\cos{(\beta-\alpha)}(**)

So sánh :( và (**) quả thực công thức nêu trên đã được chứng minh hoàn toàn.

http://pic1.picturetrail.com/VOL1123/3850833/7955351/105191782.jpg


Như vậy, để chứng minh công thức này ta đã tính AB theo hai cách, và thực chất đã sử dụng 1 bất biến trong phép đổi trục tọa độ, đây chính là nguyên nhân khiến cho công thức này trở nên tối quan trọng đối với lượng giác. Cũng nên nói thêm rằng: công thức này tự bản thân nó đã đã rất đẹp, rất hài hòa và rất hoàn hảo. Nhưng không chỉ thế, tư tưởng để chứng minh nó cũng thật là vô cùng độc đáo. Sẽ rất bất ngờ và thú vị nếu 1 ai đó trong số các bạn độc giả có thể tìm ra một tư tưởng đẹp đẽ hơn để dẫn tới 1 chứng minh tuyệt vời hơn nữa cho công thức này.Công thức đã được chứng minh, nhưng mọi chuyện chưa phải đã hết, có cách khác để chứng minh nó không, công thức đó có thể dẫn ta tới với những vẻ đẹp nào khác của toán học. Những trăn trở này, dĩ nhiên không chỉ chúng ta đang có được mà cả các nhà toán học chắc lẽ cũng đã từng đi qua. Hơn nữa không thể giải quyết được những câu hỏi này trong 1 sớm 1 chiều, công việc đầy khó khăn những cũng rất ý nghĩa này xin phép được dành cho các bạn độc giả của tôi.

Còn bây giờ, sau khi đã chiêm ngưỡng 2 bảo vật của lâu đài lượng giác, chắc lẽ các bạn cũng muốn tiếp tục cuộc hành trình để tới với những vẻ đẹp khác của lâu đài này, và sẽ còn tốt hơn nữa nếu như các bạn có thể góp 1 phần vào công việc xây dựng nên 1 lâu đài tuyệt mĩ. Điều này có thể thực hiện được hay không là hoàn toàn phụ thuộc vào khả năng toán học và tư duy trực quan nhạy bén của bạn. Các bạn cũng nên biết 1 điều: các công thức trên tuy thực sự đơn giản, nhưng để có thể cảm nhận được sự tồn tại của nó và trình bày nó 1 cách cụ thể, ắt không phải việc đơn giản. Để sáng tạo ra nó, các nhà toán học đã phải đổ mồ hôi, thậm chí đổ cả máu và nước mắt của mình. Con đường sáng tạo để tìm tới với vẻ đẹp đích thực của toán học quyết không bằng phẳng, mà đầy chông gai.

Cuối cùng, khi cuộc thám hiểm đã tạm dừng lại, có lẽ chúng ta hãy cứ cùng nhau thưởng thức nhưng nét đẹp của các con số, các hình họa, của những tư tưởng và của những phép chứng minh. Đoán chắc trong cuộc thám hiểm vừa rồi, không ít các bạn độc giả đã khá căng thẳng, bây giờ, ngồi tĩnh tâm lại và suy ngẫm về những gì vừa trải qua, có lẽ bạn sẽ có cảm giác như mình vừa trải qua 1 giấc mơ, một giấc mơ mà bây giờ nhớ lại, các bạn mới thấy vẻ đẹp đích thực của nó, và chính vẻ đẹp đó sẽ làm tan biến đi cái cảm giác căng thẳng vừa rồi. Vẻ đẹp toán học có một công hiệu như một thần dược, có điều trước khi bạn có được nó, nó dày vò bạn, làm cho bạn mệt mỏi,khiến bạn ức chế nhưng cũng chính nó tạo cho bạn cái quyết tâm phải chinh phục bằng được những kiến thức mà chưa ai biết đến, nó như khiêu khích khả năng sáng tạo của bạn, thử thách sự kiên nhẫn và nhẫn nại của bạn. Cuối cùng, nếu như bạn thực sự có đủ khả năng chinh phục được nó, nó sẽ trả cho bạn niềm vui của người chiến thắng, niềm vui của sáng tạo và quan trọng hơn là bạn sẽ có thể cảm nhận được vẻ đẹp toán học 1 cách toàn vẹn nhất. Nếu như lúc trước, với cảm quan toán học sâu sắc và 1 tư duy trực quan nhạy bén, các bạn có thể cảm nhận được sự tồn tại của 1 định lý thì bây giờ các bạn đã có nó trong tay, có thể dùng các giác quan của mình cảm nhận nó 1 cách cụ thể nhất, hoàn thiện nhất. Vẻ đẹp toán học đich thực, chính là vẻ đẹp của sáng tạo, được sinh ra từ tư duy trực quan của con người, đó thực sự là một vẻ đẹp hoàn hảo.

Toán học là gì? Không nhất thiết phải biết chính xác, có điều sản phẩm của toán học chắc chắn sẽ là những công thức, những định lý, những giả thuyết, và những tư tưởng đẹp nhất, tương xứng nhất với với trực quan của con người. Và vẻ đẹp của toán học, cuối cùng sẽ là vẻ đẹp của trực quan!

Tài liệu tham khảo:
1) Sáng tạo toán học - Polya
2) Tạp chí Toán học và tuổi trẻ tháng 11 năm 2000
3) http://www.espritcar...onpythagore.gif

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BOM2005: 30-07-2005 - 17:11


#2 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Quản trị
  • 4047 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-08-2005 - 08:37

Các bạn có thể đọc bài viết ở dạng file.doc:

File gửi kèm



#3 LacLac

LacLac

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 17-08-2005 - 15:26

Toán học là gì? Không nhất thiết phải biết chính xác, có điều sản phẩm của toán học chắc chắn sẽ là những công thức, những định lý, những giả thuyết, và những tư tưởng đẹp nhất, tương xứng nhất với với trực quan của con người. Và vẻ đẹp của toán học, cuối cùng sẽ là vẻ đẹp của trực quan!

Mở đầu và kết thúc với cùng một khẳng định, thấy tác giả hoàn toàn tin tưởng vào ý kiến của mình và đưa ra các ví dụ để minh chứng.

Tôi thật sự rất thích thú với hình ảnh minh họa cách chứng minh định lí Pythagore, nó cho phép người ta cảm nhận được một định toán học một cách trực quan và hết sức thú vị.

Các ví dụ minh họa khác cũng rất hay, nhưng có lẽ vì muốn giới hạn khuôn khổ của bài viết mà tác giả chưa đưa thêm được nhiều ví dụ, điều này chắc là sẽ làm cho người đọc cảm thấy chưa được thỏa mãn một cách đầy đủ.

Để làm cho người đọc thấy rằng trong toán học có những cái đẹp gắn liền với sự vật, hiện tượng cụ thể và gọi đó là cái đẹp của "tư duy trực quan", có lẽ tác giả đã đạt được mục đích đó.

Nhưng với cách khẳng định và một số ý trong bài viết thì tôi tưởng còn phải bàn thêm.

Con người đã tồn tại và phát triển qua hàng triệu năm lịch sử. Vậy còn toán học ? Có ý kiến cho rằng toán học chỉ mới thực sự phát triển với 1 trình độ cao trong khoảng vài thế kỷ gần đây. Lại có ý kiến cho rằng lịch sử toán học gần như đồng hành cùng với lịch sử thế giới. Cũng chưa biết chắc ai đúng ai sai, riêng bản thân tôi thì cho rằng toán học là thứ vốn đã tồn tại trước khi xuất hiện loài người. Vấn đề là ở chỗ con người đã nhận ra sự tồn tại của toán học vào thời điểm nào, và đã phát trỉển nó ra sao mà thôi


Theo tôi chỗ này tác giả nhận xét chưa được chính xác lắm. Các qui luật của tóan học vốn tồn tại một cách khách quan (ta cũng chẳng cần phải quan tâm là nó có trước hay có sau) và con người phát hiện ra nó. Còn "toán học" như một môn khoa học thì nó chỉ là một sản phẩm của con người, không thể có trước.

Người ta thường nói toán học là tư duy trừu tượng, điều này đúng quá, nhưng có đúng hoàn toàn không?! Theo quan niệm của tôi con người vốn nhìn nhận thế giới bởi tư duy trực quan, và cái cách mà chúng ta tiếp cận toán học cũng là từ trực quan, từ trực quan mới sinh ra trừu tượng, do vậy toán học, thực chất cũng chính là 1 hình thái cao của tư duy trực quan

Đúng là từ trực quan mới sinh ra trừu tượng. Khi tiếp xúc với một sự vật, hiện tượng cụ thể, nhà tóan học có thể gạn lọc để lấy một phần những thuộc tính của sự vật để xây dựng ra những đối tượng toán học. Chẳng hạn từ các mảnh ruộng tiến đến các hình hình học phẳng; từ các đàn cừu, đàn dê đến các tập hợp, các con số; ...

Ở một mức độ nào đó, những khái niệm toán học được xuất phát từ trực quan và có liên quan đến cái cụ thể. Nhưng toán học ngày càng phát triển và có những cấp độ mà nó giống như một trò chơi, nhà toán học có thể chỉ cần đưa ra một mô hình và phát triển cái "trò chơi" của mình cho nó hợp lí, không mâu thuẫn.

Trong khi vui thú với các "vẻ đẹp" trong "trò chơi" của mình, nhà toán học có thể cũng chưa phát hiện được các đối tượng của mình giống với một thứ gì đó trong tự nhiên cũng như việc ứng dụng nó.

Tôi muốn nói là trong toán học có những thứ, và sẽ có thêm những thứ hoàn toàn là sản phẩm của tư duy trừu tượng. Nhưng như tác giả đã nói

thực chất cũng chính là 1 hình thái cao của tư duy trực quan


thì tôi cũng thấy khó mà phản bác vì nó liên quan đến việc nhìn nhận lại các khái niệm đó.

#4 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Quản trị
  • 4047 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-08-2005 - 20:23

Có 2 điểm đáng chú ý của bài viết này:
  • Bài viết này có tư tưởng là vẻ đẹp toán học được cảm nhận qua trực quan, dường như bị ảnh hưởng của trường phái toán học trực giác của Browse. Tuy nhiên không đi sâu vào phân tích các lý luận mà chủ yếu dùng các ví dụ kết hợp với cảm nhận của bản thân ==> có lẽ đây là 1 bài viết về suy nghĩ và cảm xúc của bản thân với vẻ đẹp toán học hơn là 1 bài luận
  • Các dẫn chứng lấy ra để minh họa thuộc vào phân môn lượng giác của toán phổ thông, vì vậy nói chung là dễ đọc đối với HSPT, nhưng chưa chắc đã có sức thuyết phục với đối tượng khác
Mà như vậy nghĩa là bài viết này không đi sâu vào triết luận, nên mấy lời bác LacLac nói có vẻ rất đáng suy nghĩ, có thể nhân đó tạo ra 1 bài viết mới trọn vẹn hơn
----------
mấy điều nông cạn, mắt nhìn thấy sao viết vậy, đúng là trực quan, các bác bàn tiếp
P.S: mấy cái hình minh học hình như không xem được nữa, các bạn nên tải file.doc về để đọc.okie!!


#5 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 18-08-2005 - 21:01

Bây giờ ta sẽ tiếp tục cuộc hành trình, trong nửa sau của chặng đường tôi sẽ cùng với các bạn tìm hiểu về 1 công thức tối quan trọng của lượng giác: . Để có thể chứng minh công thức này, có lẽ chúng ta nên tới với 1 hệ quả của định lý Pithagore:

Công thức khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng: trong mặt phẳng xét hệ trục tọa độ Oxy và 2 điểm , khi đó ta có .

Công thức này có thể dễ dàng kiểm chứng, trên hình vẽ ta có tam giác vuông ABC với , và do đó

user posted image


Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh công thức nêu trên. Xét vòng tròn lượng giác với 2 góc như hình vẽ. Khi đó A,B có tọa độ là: . Áp dụng công thức khoảng cách ta có :lol:.

Bây giờ thực hiện phép đổi trục tọa độ zOz'. Khi đó tọa độ của A,B sẽ là: . Lại áp dụng công thức khoảng cách, ta có:in**)

So sánh :in và (**) quả thực công thức nêu trên đã được chứng minh hoàn toàn.


Theo minh cach cm nhu the nay chua phai la Hinh hoc truc quan. Chinh xac hon thi nen dung`
:in

Y kien ca nhan cua minh thi cm nhu the nay rat geometrical.

#6 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Quản trị
  • 4047 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-08-2005 - 09:38

Bây giờ ta sẽ tiếp tục cuộc hành trình, trong nửa sau của chặng đường tôi sẽ cùng với các bạn tìm hiểu về 1 công thức tối quan trọng của lượng giác: . Để có thể chứng minh công thức này, có lẽ chúng ta nên tới với 1 hệ quả của định lý Pithagore:

Công thức khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng: trong mặt phẳng xét hệ trục tọa độ Oxy và 2 điểm , khi đó ta có .

Công thức này có thể dễ dàng kiểm chứng, trên hình vẽ ta có tam giác vuông ABC với , và do đó

user posted image


Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh công thức nêu trên. Xét vòng tròn lượng giác với 2 góc như hình vẽ. Khi đó A,B có tọa độ là: . Áp dụng công thức khoảng cách ta có :lol:.

Bây giờ thực hiện phép đổi trục tọa độ zOz'. Khi đó tọa độ của A,B sẽ là: . Lại áp dụng công thức khoảng cách, ta có:in**)

So sánh :in và (**) quả thực công thức nêu trên đã được chứng minh hoàn toàn.


Theo minh cach cm nhu the nay chua phai la Hinh hoc truc quan. Chinh xac hon thi nen dung`
:in

Y kien ca nhan cua minh thi cm nhu the nay rat geometrical.

Em hoàn toàn không nghĩ như anh quantum, bởi lẽ trực quan ở đây là dựa trên độ dài AB được tính theo 2 cách, còn như cách anh đề xuất có 2 khó khăn:
  • giới hạn kiến thức, không phải ai cũng biết về các công thức euler cho hàm số lượng giác có sự trợ giúp của số phức
  • chứng minh này không phải là thuần hình học mà là sử dụng đại số rồi, đúng là vẫn có yếu tố trực quan nhưng là trực quan của các ký tự, chứ không phải các kiểu mẫu, hình tượng mà bài viết muốn ám chỉ





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh