Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

13 bài vào ngày chủ nhật


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 everlasting

everlasting

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ha Long City

Đã gửi 27-08-2011 - 14:06

1. Tính

$A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{11}{12} + \dfrac{19}{20} +...+ \dfrac{2549}{2550}$

2. Chứng minh rằng: A là lũy thừa của 2 với.

$A= 4+2^2+2^3+2^4+..........+2^n$

3. Với giá trị nào của x thì biểu thức ( Bài này là sao)

$Q = (x-1).(x+2).(x+3).(x+6)$

4. Chứng minh rằng, với mọi n thì:

$n^2 + n = 6 $ $\not \vdots$ $5$

5. Cho $A= 3+3^3+3^5+.............+3^{1991}$
Chứng minh rằng A chia hết cho 13 và A chia hết cho 41.

6. Chứng minh rằng 1111......1 (81 số 1) chia hết cho 81

7. Tìm p nguyên tố sao cho p + 20 và p + 10 cũng là số nguyên tố.

8. Cho 3 số nguyên tố > 3, trong đó số sau lớn hơn số trước d don vi.
Chứng minh rằng: d chia hết cho 6

9. Tìm 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là nguyên tố.

10. Tìm n tự nhiên để: $n^{10} +1$ chia hết cho 10

11. Chứng minh rằng các số sau không phải là chính phương
a. $A = 10^{10}+5$
b. $B=100! + 7$
c. $C = 10^{100}+10650+1$

12. Tìm n để: D = 1! + 2! + 3! + 4!+ ... + n! là số chính phương

13. Chứng minh rằng
a. $942^{60} - 351^{37}$ $\vdots$ $5$
b. $99^5-98^4-97^3-96^2$ $\vdots$ $2; 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-08-2011 - 17:10


#2 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3314 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 27-08-2011 - 15:22

1. Tinh A= 1/2+5/6+11/12+19/20+.............+2549/2550 (1/2 la 1 phan 2)
2. Chung minh rang: A la luy thua cua 2 voi:
A= 4+2^2+2^3+2^4+..........+2^n
3.Voi gia tri nao cua x thi bieu thuc: Q=(x-1)X(x+2)X(x+3)X(x+6) (bai nay minh nghi ket qua x=0, cha biet co dung khong nua, moi nguoi kiem chung ho minh nha)
4.Chung minh rang, voi moi n thi: n^2+n+6 khong chia het cho 5
5. Cho A= 3+3^3+3^5+.............+3^1991
Chung minh rang A chia het cho 13 va A chia het cho 41
6.Chung minh rang 1111......1(81 so 1) chia het cho 81
7. Tim p nguyen to sao cho p+20 va p+10 cung la so nguyen to
8. Cho 3 so nguyen to >3, trong so so sau lon hon so truoc d don vi. Chung minh rang: d chia het cho 6
9. Tim 3 so tu nhien le lien tiep deu la nguyen to ( cha biet bai nay co j kho nua: 3,5,7)
10. Tim n tu nhien de: n^10 +1 chia hiet cho 10
11. Chung minh rang cac so sau khong phai la chinh phuong
a. A=10^10+5
b. B=100! + 7
c. C= 10^100+10650+1
12.Tim n de: D= 1!+2!+3!+4!+........................+n! la so chinh phuong
13.Chung minh rang
a. (942^60-351^37) chia het cho 5
b. (99^5-98^4-97^3-96^2) chia het cho 2 va 5


Bài dài mà bạn không gõ công thức toán, hãy chú ý trước khi post bài.
Bài 5. Cho $A=3+3^3+3^5+...+3^{1991}$.
Chứng minh $A \vdots 13$ và $A \vdots 41$.

Giải.
$A= (3+3^3+3^5)+...+(3^{1987}+3^{1989}+ 3^{1991}) = 3(1+3^2+3^4)+...+3^{1987}(1+3^2+3^4)$
$= 3.91+...+3^{1987}.91= 3.13.7+...+3^{1987}.13.7 \vdots 13$.

$A= (3+3^3+3^5+3^7)+...+(3^{1985}+3^{1987}+3^{1989}+3^{1991}) = 3(1+3^2+3^4+3^6)+...+3^{1985}(1+3^2+3^4+3^6)$
$= 3.820+...+3^{1985}.820= 3.41.20+...+3^{1985}.41.20 \vdots 41$.

Bài 7. Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p+10$ và $p+20$ cũng là số nguyên tố.

Giải. $k \ge 1, k \in \mathbb{N}$.
+ Nếu $p=3k$ thì $p=3$ (thử lại thấy thỏa mãn).
+ Nếu $p=3k+1$ thì $p+20=3k+21=3(k+7) \vdots 3$, loại.
+ Nếu $p=3k+2$ thì $p+10=3k+12=3(k+4) \vdots 3$, loại.

Như vậy $\boxed{p=3}$ thỏa mãn.

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi $n$ thì $n^2+n+6 \not{\vdots 5}$.

Giải. $A=n^2+n+6=n(n+1)+6$
+ Nếu $n=5k$ thì $n(n+1) \vdots 5$ nên $A$ chia $5$ dư $1$.
+ Nếu $n=5k \pm 1$ thì $n(n+1) \vdots 5$ nên $A$ cũng chia $5$ dư $1$.
+ Nếu $n=5k \pm 2$ thì $n(n+1) \equiv 3,4 \pmod{5}$ nên $A \equiv 3,4 \pmod{5}$.

Như vậy với mọi $n$ thì $A \not{\vdots 5}$.


P/s: Bài 3 hình như ghi thiếu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 27-08-2011 - 15:30

"God made the integers, and else is the work of man."

#3 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 27-08-2011 - 16:17

Bài 2 khá đơn giản chỉ dùng quy nạp là ra
Đặt
$A_n =4+2^{2}+2^{3}+2^{4}+.....................2^{n}(n \ge 2)$
$ A_{2}=8=2^{3}$
Giả sử $ A_k=2^{k+1}$
Bây giờ chứng minh $ A_{k+1}=2^{k+2}$
Theo giả thiết $ A_{k}=2^{k+1}$
$ \Leftrightarrow A_{k}+2^{k+1}=2^{k+2}$
$ \Leftrightarrow A_{k+1}=2^{k+2}$
Vậy $A_n $ là lũy thừa của 2
tiếp bài 12 nhé
$ 1!+2!+3!+4!+5!=153 \equiv 3(mod 5)$
$ \Rightarrow 1!+2!+3!+4!+5!+............n! \equiv 3 (mod 5)$
Mà một số chính phương không $ \equiv 3(mod 5)$
Vậy n<5
Đó thay vô là xong thôi
Bài 9 nếu 3 số nguyên lẻ liên tiếp là số nguyên tố (x,y,z) Giả sử cả 3 số >3 trong x,y,z thể nào cũng có số $ \vdots 3$
Suy ra nó ko thể là số nguyên tố vậy số nguyên tố đầu tiên trong dãy 3 số ấy phải là 3.

Anh sẽ nghĩ sao nếu một ngày nọ con anh hỏi: Bố ơi, sao bố không viết hoa đầu dòng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-08-2011 - 16:57


#4 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1350 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Kỳ Lâm
  • Sở thích:Vietnam idol!

Đã gửi 27-08-2011 - 16:55

2. Chứng minh rằng: A là lũy thừa của 2 với.

$A= 4+2^2+2^3+2^4+..........+2^n$

Giải

Anh Didier đâu cần phải làm dài như thế nhỉ.
Ta có : $2A = 8 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + … + 2^{n + 1}$

$\Rightarrow 2A - A = 8 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + … + 2^{n + 1} - (4+2^2+2^3+2^4+..........+2^n)$

$\Leftrightarrow A = 2^{n + 1}$

3. Với giá trị nào của x thì biểu thức ( Bài này là sao)

$Q = (x-1).(x+2).(x+3).(x+6)$

Giải

Ta có:
$Q = (x - 1)( x + 2 )( x + 3 )( x + 6) = [( x - 1 )( x + 6 )].[( x + 2 )( x + 3)]$

$Q = (x^2 + 5x - 6)(x^2 + 5x + 6) = ( x^2 + 5x)^2 - 36 \geq -36$

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là - 36.
Dấu "=" xảy ra khi $x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x = 0; -5$

12. Tìm n để: D = 1! + 2! + 3! + 4! + .... + n! là số chính phương

Giải

Lần lượt thử từng trường hợp n = 1; n = 2; n = 3; n = 4.
Ta thấy với n = 1 và n = 3, 1! + 2! + .. + n! là số chính phương

Với $n \geq 5 \Rightarrow 1! + 2! + 3! + …. + n! = 33 + 5! + 6! + … + n!$

Ta thấy: $5! + 6! + … + n! $ $\vdots$ $5$

Do đó 1! + 2! + … + n! có dạng 5k + 3.

Ta đã biết, số chính phương chỉ có dạng 5k; 5k + 1; 5k + 4. Do đó:
1! + 2! + … + n! không thể là một số chính phương với n lớn hơn hoặc bằng 5.

Vậy n = 1; 3 thỏa mãn đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-08-2011 - 23:07

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#5 phuonganh_lms

phuonganh_lms

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:The unborn
  • Sở thích:Nghe Linkin Park, harmonica

Đã gửi 27-08-2011 - 17:28

Bài 10: Tìm n tự nhiên để $ n^{10}+1 \vdots {10}$

Để $ n^{10}+1 \vdots 10$ thì $ n^{10}\equiv 9 (mod10)$
$ \Leftrightarrow n^2 \equiv 9 (mod 10)$
Suy ra n có tận cùng là $3$ hoặc $7$

Bài 13: CMR:
a. $ 942^{357}-351^{37} \vdots 5$

Chỉ cần xét chữ số tận cùng
Ta có $ 2^{60} \equiv 1 (mod 5)$
$ 16{37} \equiv 1 (mod 5)$
Suy ra dpcm.
b. $99^5-98^4-97^3-96^2 \vdots 2;5$ ( chia hết cho 2 và 5 à???)
Ta có $9^5 \equiv 4(mod5)$
$ 7^3 \equiv 3(mod 5)$
$8^4 \equiv 1(mod 5)$
$ 6^2 \equiv 1(mod 5)$
Suy ra $ 99^5-98^4-97^3-96^2 \equiv -1 (mod 5)$
Suy ra chia hết cho $ 2$ và ko chia hết cho $5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 27-08-2011 - 17:48

Hình đã gửi


#6 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 27-08-2011 - 17:40

bài này 1111111111111.........111111(81số 1)= $ \dfrac{10^{81}-1}{9} $
muốn chứng minh $ \dfrac{10^{81}-1}{9} \vdots $81 thì phải cm$ 10^{81}-1 \vdots 9^{3}$
ta có $ 10^{81}=(9+1)^{81} \equiv 1(mod9^{3})$(khai triển nhị thức NiuTon)
$ \Leftrightarrow 10^{81}-1 \vdots 9^{3} \Rightarrow D.P.C.M$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 27-08-2011 - 17:42


#7 everlasting

everlasting

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ha Long City

Đã gửi 27-08-2011 - 19:13

Cong thuc toan gi ha ban. Bai nay co minh cho linh tinh ma, khong co cong thuc gi ca minh cung phai tu tuc day. Voi lai minh bo sung bai 3 ne. Day la tim x sao cho Q co gia tri nho nhat nhe

#8 everlasting

everlasting

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ha Long City

Đã gửi 28-08-2011 - 16:34

Mod la cai j vay??????????

#9 everlasting

everlasting

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ha Long City

Đã gửi 28-08-2011 - 16:42

Bài 10: Tìm n tự nhiên để $ n^{10}+1 \vdots {10}$

Để $ n^{10}+1 \vdots 10$ thì $ n^{10}\equiv 9 (mod10)$
$ \Leftrightarrow n^2 \equiv 9 (mod 10)$
Suy ra n có tận cùng là $3$ hoặc $7$

Bài 13: CMR:
a. $ 942^{357}-351^{37} \vdots 5$

Chỉ cần xét chữ số tận cùng
Ta có $ 2^{60} \equiv 1 (mod 5)$
$ 16{37} \equiv 1 (mod 5)$
Suy ra dpcm.
b. $99^5-98^4-97^3-96^2 \vdots 2;5$ ( chia hết cho 2 và 5 à???)
Ta có $9^5 \equiv 4(mod5)$
$ 7^3 \equiv 3(mod 5)$
$8^4 \equiv 1(mod 5)$
$ 6^2 \equiv 1(mod 5)$
Suy ra $ 99^5-98^4-97^3-96^2 \equiv -1 (mod 5)$
Suy ra chia hết cho $ 2$ và ko chia hết cho $5$

Co cach nao lam khong can phai co mod ko, em cung chua hieu ro ve mod lam neu co thi giup e nha

#10 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 28-08-2011 - 16:45

chắc bạn chưa học về đồng dư rồi :(,vào đây xem tạm vậy http://vi.wikipedia....rg/wiki/Đồng_dư
hoặc nếu muốn, bạn có thể mua vài cuốn về Số học(của GS Đậu Thế Cấp đọc cũng khá đc) về ngâm cứu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 28-08-2011 - 16:46


#11 everlasting

everlasting

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ha Long City

Đã gửi 28-08-2011 - 16:52

chắc bạn chưa học về đồng dư rồi :(,vào đây xem tạm vậy http://vi.wikipedia....rg/wiki/Đồng_dư
hoặc nếu muốn, bạn có thể mua vài cuốn về Số học(của GS Đậu Thế Cấp đọc cũng khá đc) về ngâm cứu

Cam on ban, bay h minh cung hieu hieu roi nhung neu co cach giai khac thi hay hon. Thanks all

#12 GaoHu_F

GaoHu_F

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Máy tính

Đã gửi 29-08-2011 - 13:30

Bài 1: Tính $A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{11}{12}+...+\dfrac{1249}{1250}$
Giải:
$A=\dfrac{1.2-1}{1.2}+\dfrac{2.3-1}{2.3}+\dfrac{3.4-1}{3.4}+...+\dfrac{50.51-1}{50.51} \\ =50-(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{50.51})=50-(1-\dfrac{1}{51})=49\dfrac{1}{51}.$
01011000 01010111 01001100
Tất cả vì mục đích học tập và khám phá!
\ROYBGIV
Hình đã gửi

#13 anh1999

anh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 01-12-2013 - 14:32

Mod la cai j vay??????????

Đồng dư đó bạn  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 01-12-2013 - 14:36

                                                                                    :ukliam2:

                                                                                :ukliam2:  :ukliam2:

                                                                           :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:                

                                                                       :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                                                                   :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh