Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi Olympic toán sinh viên cấp trường của Đại học kinh tế quốc dân năm 2012

Thi ngày 08/01/2012

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5528 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-01-2012 - 22:17

Đề thi Olympic toán sinh viên cấp trường của Đại học kinh tế quốc dân năm 2012


Câu 1.
a) Tính giới hạn: $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\int_{0}^{\sin x}(e^{t^2}-1)dt}{\int_{0}^{x} 2t^2dt}dx$
b) Chứng minh rằng với mọi x>0 ta luôn có: $\ln (1+x) <x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$

Câu 2.
Chứng minh rằng dãy số $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$ là dãy số giảm.

Câu 3.
Cho phương trình : $\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-4}+...+\dfrac{1}{x-n^2}=0$
a, Chứng minh phương trình có nghiệm thực duy nhất thuộc (0, 1), ký hiệu nó là $x_n$
b, Chứng minh $x_n$ có giới hạn hữu hạn khi $n \to +\infty$

Câu 4.
Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên [0, 1] sao cho: $f(0)=0,\ f(1)=1, 0 \le f(x) \le 1$.
Chứng minh tồn tại hai số $a \ne b, \ a, b \in (0, 1)$ sao cho $f'(a).f'(b)=1$

Câu 5.
Cho $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1} xf(x)dx=1$ Chứng minh rằng : $\int_{0}^{1}[f(x)]^2dx \ge 4$

Câu 6. Tìm mọi hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :
1, $f(x)=-f(-x)$
2, $f(x+1)=f(x)+1$
3, $f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\ x \ne 0$

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5528 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-01-2012 - 22:31

Nhận xét: Đây là một đề thi dễ so với một trường Đại học có trường thống mạnh về Olympic toán sinh viên như KTQD. Nhưng cũng dễ hiểu vì đây mới chỉ là vòng một.

Những bài toán trên chủ yếu là toán sơ cấp như các câu 1b, 2, 3, 4, 6, chỉ có câu 1a, 5 là thuộc Đại học.

Câu 3 mình nhớ không nhầm là đề thi VMO năm nào đó.

Mọi người cùng vào thảo luận nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 08-01-2012 - 22:41


#3 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 27-01-2012 - 12:42

Câu 3: Với mỗi n thuộc N* , xét hàm số : $ f_n(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-4}+............+\frac{1}{x-n^2} $

Ta có đây là hàm liên tục và nghịch biến trên đoạn (0;1). Mặt khác , ta có $ limf_n(x) $ là cộng vô cực (x tiến đến 0+) và $limf_n(x)$ là trừ vô cực ( x tiến đến 1-) , do đó theo lí thuyết hàm liên tục nghịch biến ta có đpcm

Ta chứng minh tiếp dãy $x_n$ đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 , nên tồn tại giới hạn hữu hạn , và suy ra điều phải cm

Anh Thành post lời giải lên giúp em được không ạ , Cám ơn anh :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 27-01-2012 - 12:43

CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#4 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 27-01-2012 - 14:04

Bạn này chưa rì đã xử mất bài 3 rùi
Làm câu 1b
Xét hàm số $$f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x - \ln (x + 1)\left( {\forall x > 0} \right)$$
$$f'(x) = {x^2} - x + 1 - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{{x^3}}}{{x + 1}} > 0\left( {\forall x > 0} \right)$$
Vậy hàm số $f(x)$ làm hàm số đồng biến
Vậy $$f(x) > f(0) = 0$$
Bất đẳng thức được chứng minh
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#5 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 27-01-2012 - 14:11

Bài 2
Ta xét hàm số
$$f(n) = (n + \frac{1}{2})\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {\forall n \ge 1} \right)$$
$$f'(n) = \ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) - (n + \frac{1}{2})\frac{1}{{n + {n^2}}} < 0$$
Vậy $f(x)$ là hàm số nghịch biến
Từ đây ta dẽ suy ra điều cần chứng minh
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#6 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 27-01-2012 - 14:32

Bài 4
Xét hàm số
$g(x)=f(x)+x-1$
Dễ thấy hàm số này liên tục và có nghiệm thuộc $[0,1]$ do $g(0).g(1)<0$
Vậy tồn tại $c $ thuộc đoạn $[0,1]$ sao cho
$g©=0$ hay là
$f©=1-c$
Mà theo $Lagrange$ thì
Tồn tại $a$ thuộc $[0,c]$ và $b$ thuộc $[c,1]$ sao cho
$$f'(a) = \frac{{f© - f(0)}}{{c - 0}} = \frac{{1 - c}}{c}$$
$$f'(b) = \frac{{f(1) - f©}}{{1 - c}} = \frac{c}{{1 - c}}$$
Từ đó dễ suy ra đpcm
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#7 dtvanbinh

dtvanbinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Giang

Đã gửi 17-02-2012 - 06:47

câu 1a dùng L'Hopital
câu 5 dùng cauchy-schwat cho f(x) va 3x-1
câu 2 cần chứng minh n tăng thì u(n) giảm.đặt f(n)=u(n)
cần chứng minh f(n) nghịch biến
đặt g(n)=f'(n)
lim g(n)=0 khi n->vô cùng
ta có g'(n)>0 nên g(n)<0 ta có đpcm

$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$

 

$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$

 

                                                            

                                                             


#8 dtvanbinh

dtvanbinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Giang

Đã gửi 17-02-2012 - 09:04

bài 6 có f(1)=-f(-1)
f(1)=f(0)+1
f(0)=f(-1)+1
nên f(0)=0 f(1)=1
c/m f(x)=x theo quy nạp
g/s f(k)=k
ta có f(k+1)=f(k)+1=k+1 có dpcm
thấy thỏa mãn điều kiện 1 3 nên f(x)=x là hàm cần tìm

$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$

 

$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$

 

                                                            

                                                             


#9 dtvanbinh

dtvanbinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Giang

Đã gửi 17-02-2012 - 09:08

mình có ý kiên chút về câu 5.ai có thể nói rõ cách chọn hàm g(x) không.chứ cứ ngồi test để chọn điểm rơi chẳng may gặp bài phức tạp thì ẻo mất.bạn nào biết liên hệ yahoo mình nhá dtvanbinh@yahoo.com.mình bên bk

$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$

 

$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$

 

                                                            

                                                             


#10 analysis90

analysis90

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:dong thap

Đã gửi 17-02-2012 - 15:44

Assumming $g(x)=ax+b$ such that $\int_0^1g(x)dx=\int_0^1xg(x)=1$. Hence, $g(x)=6x-2$.
We have $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx\geq 0$, but $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx=\int_0^1(f(x))^2dx-4$

#11 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 24-02-2012 - 09:16

Assumming $g(x)=ax+b$ such that $\int_0^1g(x)dx=\int_0^1xg(x)=1$. Hence, $g(x)=6x-2$.
We have $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx\geq 0$, but $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx=\int_0^1(f(x))^2dx-4$


Anh ơi , làm sao biết mà chọn đc vậy . co' pahir là dùng pp hệ số bất định ko ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 24-02-2012 - 09:43

NGU
Hình đã gửi

#12 Ban Biên Tập

Ban Biên Tập

    Ban Biên Tập

  • Quản lý
  • 70 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-02-2012 - 23:48

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN 2012 ĐH KTQD


Câu 1. Cho dãy số $x_1 = 2; x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}},\forall n \geq 1$. Chứng minh rằng: $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n=1$ và tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n^n$


Câu 2. Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Với mỗi $x \in \mathbb{R}$, ta xác định hàm số:
$$g(x)=f(x)\left ( \int_{0}^{x}f(t)dt \right )^{2011}$$
Chứng minh rằng nếu $g(x)$ là hàm không tăng thì $f(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}$.


Câu 3. Cho hàm số $f:\left [ a;b \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ có $f'$ liên tục trên $\left [ a;b \right ]$ và $\exists x_0 \in (a;b]$ sao cho $f'(x_0) = 0$. Chứng minh rằng tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:
$$f'(c\ )=\dfrac{f(c\ )-f(a)}{b-a}$$


Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$$f\left ( f\left ( f(x) \right ) \right )=x,\forall x \in \mathbb{R}$$

Câu 5. Cho $f:[0;+\infty) \rightarrow (0;+\infty)$ là hàm số liên tục thỏa mãn $\lim_{x\rightarrow \infty}\int_{0}^{x}f(t)dt$ tồn tại, hữu hạn. Chứng minh rằng:
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{x}\sqrt{f(t)}dt=0$$

Câu 6. Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a;b]$ và phương trình $f(x) = 0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a;b]$. Chứng minh rằng:
$$\max_{x \in [a;b]}\left | f(x) \right | \leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ban Biên Tập: 01-03-2012 - 00:00


#13 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 02-03-2012 - 16:09

Câu 6. Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp $n$ liên tục trên $[a;b]$ và phương trình $f(x) = 0$ có không ít hơn $n$ nghiệm thuộc $[a;b]$. Chứng minh rằng:

$$\max_{x \in [a;b]}\left | f(x) \right | \leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $$



Với mỗi $x_0\neq x_i, i=1...n$, đặt $g(x)=f(x)-f(x_0)\frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$].
Ta có $g^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-\frac{n!f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$ và phương trình $g(x)=0$ có $n$ nghiệm phân biệt nên tồn tại $c\in[a,b]$ sao cho $g^{(n)}( c )=0$
Hay $f^{(n)}( c )=\frac{n!f(x_0)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}$], suy ra $|f(x_0)|=\frac{|f^{(n)}( c )|}{n!}(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)\leq \frac{(b-a)^n}{n!}\max_{x \in [a;b]}\left | f^{(n)}(x) \right | $

Bởi vì $|x_0-x_i|\leq |a-b|$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 02-03-2012 - 16:10

"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#14 analysis90

analysis90

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:dong thap

Đã gửi 03-03-2012 - 13:16

Problem 2. We have $g(0)=0$ and $g(x)$ be a continuous. Integral both sides, we get
$\int_0^xg(y)dy=(\int_0^yf(t)dt)^{2012}\geq 0$.
Assign $h(x)=\int_0^xg(t)dt$. So, we have $h'(x)=g(x)$.
Because $g(x)$ be a nonincreasing, so $g(x)\leq g(0),\forall x\in[0,+\infty)$. Therefore
$h'(x)\leq 0,\forall x\in[0,+\infty)$ or $h(x)\leq h(0)=0,\forall x\in[0,+\infty)$
Implies
$h(x)=0,\forall x\in[0,+\infty)$.
Similarly for $x\in(-\infty,0]$. We have $h(x)=0$ or $g(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.
When $\int_0^xf(t)dt=0,\forall x\in\mathbb{R}$. Easily, we prove that $f(x)=0$

#15 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 11-12-2012 - 15:51

bài 6 có f(1)=-f(-1)
f(1)=f(0)+1
f(0)=f(-1)+1
nên f(0)=0 f(1)=1
c/m f(x)=x theo quy nạp
g/s f(k)=k
ta có f(k+1)=f(k)+1=k+1 có dpcm
thấy thỏa mãn điều kiện 1 3 nên f(x)=x là hàm cần tìm


Câu này có thể tính $f(\frac{x+1}{x})$ theo hai cách.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh