Đến nội dung


Hình ảnh

Dạng toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 25 trả lời

#1 Ban Biên Tập

Ban Biên Tập

    Ban Biên Tập

  • Quản lý
  • 70 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-01-2012 - 10:03

DẠNG TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m

ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG


Hoàng Ngọc Thế - Giáo viên THPT Pác Khuông - Lạng Sơn



Các bạn thân mến!
Dạng toán tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ đồng biến (nghịch biến) trên 1 khoảng là một dạng bài thường gặp khi thi đại học. Một số sách tham khảo thường giải các bài toán dạng này bằng cách sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Định lý này hiện nay đã không còn được học trong chương trình THPT nữa. Do đó cách giải như vậy là không hợp lệ trong kì thi TSĐH. Dưới đây, mình trình bày một vài ví dụ về cách giải các bài toán dạng này.

I - Nhắc lại lý thuyết
1) Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$; $\forall x_1 ,x_2 \in K;x_1 < x_2$ Khi đó:

$f(x)$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow f(x_1 ) < f(x_2 )$

$f(x)$ nghịch biến biến trên $K$ $ \Leftrightarrow f(x_1 ) > f(x_2 )$


2) Mối liên hệ giữa tính chất đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm:

$f ’(x) \geq 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ đồng biến trên $K$

$f ’(x) \leq 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $K$

(Dấu “ =” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

II - Ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 6mx – 1$ nghịch biến trên $(0;2)$.

Giải

TXĐ: $\mathbb{R}$
Ta có $f ’(x) = 6x^2 + 6x + 6m = 6(x^2+ x + m).$
$\Delta = 1 – 4m$.

*) Với $m \geq \frac{1}{4}$ ta có $\Delta \leq 0$ nên $f ’(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Do đó hàm số luôn đồng biến. Yêu cầu của bài toán không được thỏa mãn.

*) Với $m < \frac{1}{4}$ ta có $\Delta > 0$ nên phương trình $f’(x) = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2 (x_1< x_2)$. Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$

vd1.PNG


Từ bảng biến thiên, điều kiện cần và đủ để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ là:
$$x_1 \leq 0 < 2 \leq x_2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1x_2 \le 0 \\ (x_1-2)(x_2-2) \le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \le 0 \\ m \le - 6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m \leq -6$$

Kết luận: hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ khi và chỉ khi $m \leq - 6.$

Từ ví dụ 1, ta có lưu ý: đối với dạng toán này, nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu một tam thức bậc 2, phải chia hai trường hợp.
* TH1: $\Delta \leq 0$. Hàm số đã cho hoặc luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến.
* TH2: $\Delta > 0$. Ta lập bảng biến thiên và sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai hoặc định lí Vi-et.
Xin đưa thêm một số ví dụ:

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số sau đồng biến trên khoảng $(-\infty;1)$

$f(x) = \dfrac{{x^2 + m(m^2 - 1)x - m^3 - 1}}{{x - 1}}$

Giải


TXĐ: : $\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}$
Ta có: $f ’(x) = \dfrac{{x^2 - 2x + m + 1}}{{(x - 1)^2 }}, \forall x \neq 1$
dấu của $f’(x)$ phụ thuộc dấu của $g(x)= x^2– 2x + m +1$
Ta có: $\Delta ’ = - m$.

* Nếu $m \geq 0$ thì $\Delta ' \leq 0 $ nên $g(x) \geq 0, \forall x \Rightarrow f’(x) \geq 0, \forall x \neq 1.$ Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. Do đó cũng đồng biến trên $(- \infty;1)$

* Nếu $m < 0$ thì $\Delta ' > 0$. Khi đó phương trình $f ’(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2 (x_1 < 1 < x_2)$.
Ta có bảng biến thiên của $f(x)$

vd2.PNG


Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trong trường hợp này, không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận: Với $m \geq 0$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty;1)$.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f(x) = x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x$ đồng biến trên $(2;3)$.

Giải

TXĐ: $\mathbb{R}$
Ta có $f’(x) = 3x^2 – 6mx + 6m – 3$; $f’(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2m - 1 \\ \end{array} \right.$

* Nếu $m = 1$ thì $f’(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó hàm số cũng đồng biến trên $(2;3)$.

* Nếu $m > 1$ thì ta có bảng biến thiên của $f(x)$

vd3.PNG


Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trong trường hợp này, điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến trên $(2;3)$ là:

$$1< 2m – 1 \leq 2 \Leftrightarrow 1 < m \leq \frac{3}{2}$$


* Nếu $m < 1$ thì ta có bảng biến thiên của $f(x)$

vd31.PNG

Dễ thấy hàm số hiển nhiên đồng biến trên $(2;3)$

Kết luận: Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho đồng biến trên $(2;3)$ là:

$$m \leq \frac{3}{2}$$

III – Bài tập:
Mời các bạn làm thêm một số bài tập:
1) Bài tập 5 tr.8 (SGK GT 12NC), bài tập 8 tr. 44 (SGK GT 12CB), bài 1.81 tr.27 (SBT GT 12NC)

2) Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 + (m – 1)x^2 – (2m^2 + 3m + 2)x$ đồng biến trên $(2;+\infty)$.
3) Tìm $m$ để hàm số $y = (m + 1)x^3 + mx^2 – x$ đồng biến trên $(-\infty;-1)$.
4) Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{{x^2 + x + 1}}{{x - m}}$ đồng biến trên $(2;+\infty)$.
5) (ĐH Hàng Hải 2000-2001) Tìm $m$ để hàm số $y = - \frac{1}{3}x^3 + (m – 1)x^2– (m – 3)x – 4$ đồng biến trên $(0;3).$



#2 neivneiv

neivneiv

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-02-2012 - 07:37

thầy cho em hỏi dạng toán này có giống với dạng toán tìm điều kiện để tam thức bậc 2 không đổi dấu trên một miền xác định không hả thầy?
thầy có thể gửi cho em tài liệu về phương pháp tìm điều kiện để tam thức bậc 2 không đổi dấu trên một miền được không ạ?
em mong sớm nhận được sự trả lời của thầy

#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 19-02-2012 - 12:41

Dạng toán này có liên hệ mật thiết với các dạng toán tìm điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên một khoảng xác định.
Rất tiếc, mình không có file tài liệu nào về vấn đề này. Bạn có thể tìm đọc cuốn Tam thức bậc hai và ứng dụng của Nguyễn Thái Hòe
Chúc bạn giỏi toán. Rất vui khi được trao đổi cùng bạn

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#4 gsngobaochau

gsngobaochau

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 09-06-2012 - 07:33

Ở ví dụ 3 , m phải > 1/2 mới đúng chứ !
Vì nếu m>1 thì 2m -1 không < 1

#5 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-06-2012 - 18:32

$m>1$ thì $2m-1>1$ là đúng mà bạn

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#6 kvthanh

kvthanh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán học, Thủ thuật tin học, latex, bóng đá

Đã gửi 15-06-2012 - 22:53

Để giải các bài tập dạng tìm ĐK của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ ĐB hoặc NB trên tập $D$ nào đó ($D$ ở đây là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng) ta có thể dựa vào kết quả sau:
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên miền $D$ và đạt GTLN, GTNN trên $D$ tương ứng là $\max_Df(x),\min_Df(x)$. Khi đó
1) $f(x)\geq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \min_Df(x)\geq m$
2) $f(x)\leq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \max_Df(x)\leq m$
Áp dụng vào các bài toán trên, thông thường ta hay biến đổi cô lập $m$ về một vế, chẳng hạn trong Ví dụ 1 ở trên, $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)\Leftrightarrow f'(x)\leq 0$ với mọi $x\in (0;2)$
Tương đương với $x^2+x\leq -m$ với mọi $x\in (0;2)\Leftrightarrow \max_{[0;2]}(x^2+x)\leq -m\Leftrightarrow 6\leq -m\Leftrightarrow m\leq -6$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kvthanh: 15-06-2012 - 22:55


#7 ngp130895

ngp130895

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 05-08-2012 - 09:24

cho em hỏi tại sao x1 <= 0 < 2 <= x2 thì f'(0) và f'(2) lại <= 0

#8 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 05-10-2012 - 22:13

Để giải các bài tập dạng tìm ĐK của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ ĐB hoặc NB trên tập $D$ nào đó ($D$ ở đây là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng) ta có thể dựa vào kết quả sau:
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên miền $D$ và đạt GTLN, GTNN trên $D$ tương ứng là $\max_Df(x),\min_Df(x)$. Khi đó
1) $f(x)\geq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \min_Df(x)\geq m$
2) $f(x)\leq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \max_Df(x)\leq m$
Áp dụng vào các bài toán trên, thông thường ta hay biến đổi cô lập $m$ về một vế, chẳng hạn trong Ví dụ 1 ở trên, $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)\Leftrightarrow f'(x)\leq 0$ với mọi $x\in (0;2)$
Tương đương với $x^2+x\leq -m$ với mọi $x\in (0;2)\Leftrightarrow \max_{[0;2]}(x^2+x)\leq -m\Leftrightarrow 6\leq -m\Leftrightarrow m\leq -6$.

Cách làm này tuy có ngắn hơn, nhưng không phải lúc nào cũng dùng được

cho em hỏi tại sao x1 <= 0 < 2 <= x2 thì f'(0) và f'(2) lại <= 0

Cái này là dựa vào bảng biến thiên của hàm số, dễ thấy trong khoảng $(x_1;x_2)$ thì $f'(x) < 0$ do đó ta có nhận xét trên

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#9 crazyminoz

crazyminoz

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Maths

Đã gửi 09-03-2013 - 13:22

cho mình hỏi, có bài toán nào có dạng: Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn luôn đồng biến (nghịch biến) hoặc hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.........hay không>

#10 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-03-2013 - 16:04

cho mình hỏi, có bài toán nào có dạng: Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn luôn đồng biến (nghịch biến) hoặc hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.........hay không>

Cách làm dạng toán đó cũng không khác gì cách làm các ví dụ nêu trên. Nếu bạn cần chỉ dẫn thêm, hãy nêu thêm một ví dụ

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#11 hidang96

hidang96

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 29-05-2013 - 15:55

Tìm m để hàm số y =x3 + 3x2 - mx - 4 đồng biến trên (-vô cùng ; 0)


Tìm m để hàm số y =x3 + 3x2 - mx - 4 đồng biến trên (-vô cùng ; 0)


Tìm m để hàm số y =x3 + 3x2 - mx - 4 đồng biến trên (-vô cùng ; 0)

Chào em!

Ý em là em đang giải bài toán trên và có thắc mắc gì chăng?


Thầy cho em hỏi cách giải này có đúng không :
y'=3x2 +6x - m
Hàm số đồng biến trên (-vôcùng;0) <=> y'>=0 với mọi x thuộc (-vôcùng;0) <=> 3x2 +6x - m>=0 với mọi x thuộc (-vôcùng;0)
<=> f(x)= 3x2 +6x >= m với mọi x thuộc (-vôcùng;0)

f(x)'= 6x+6 f(x)'=0 <=> x=-1

Vẽ BBT thấy min f(x) = -3
Min f(x) >=m <=> -3>=m
Vầy hàm số đồng biến trên (-vôcùng;0) khi và chỉ khi m=<-3

#12 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 30-05-2013 - 07:41

Cách làm của em đúng


1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#13 hidang96

hidang96

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 30-05-2013 - 07:46

em cảm ơn thầy


cho em hỏi bài này ạ: y=x3- 3mx2 + (4m-1)x - 6, tìm m để hàm số đồng biến trên (-vô cùng;2)
có 2 trường hợp là x1<x2<x<2 (loại) hoặc x<x1<x2<2(chọn) xong giải với điều kiện S<4. vậy tại sao lại loại trường hợp đầu tiên, e k biết vô lý chỗ nào thầy chỉ giùm e với ạ.

Cách làm của em đúng



cho em hỏi bài này ạ: y=x3- 3mx2 + (4m-1)x - 6, tìm m để hàm số đồng biến trên (-vô cùng;2)
có 2 trường hợp là x1<x2<x<2 (loại) hoặc x<x1<x2<2(chọn) xong giải với điều kiện S<4. vậy tại sao lại loại trường hợp đầu tiên, e k biết vô lý chỗ nào thầy chỉ giùm e với ạ.

#14 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 04-06-2013 - 22:07

Em lập bảng biến thiên, sẽ thấy trong $(x_1;x_2)$, hàm số nghịch biến. Như vậy trường hợp $x_1<x_2<2$ bị loại vì khi đó hàm số không đồng biến trong khoảng $(- \infty;2)$ do có khoảng con của nó nghịch biến


1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#15 hoang van suu

hoang van suu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 09-06-2013 - 19:02

tại sao: 

m \geq \frac{1}{4}


#16 jbroslacky

jbroslacky

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 23-08-2013 - 22:00

thầy ơi cho e hỏi sao ở vd 1 và 2 biết đc delta bé hơn bằng 0 thì f(x) đồng biến và giữa vd 12 với vd 3 làm sao để biết khi nào chỉ tính delta (vd1,2) và khi nảo cần phải tính ra nghiệm x như vd 3?

#17 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 24-08-2013 - 06:07

Thật ra ví dụ 3 của ta đặc biệt nên ta mới tìm được nghiệm luôn thôi em


1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#18 wtuan159

wtuan159

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán học,chơi game,máy tính,du lịch,đọc sách khoa học

Đã gửi 29-08-2013 - 19:27

Vd3 em xét 3TH m=-1,m>-1,m<-1.kết quả ra m>=-1.vâỵ đúng chưa ạ

Trí tưởng tượng quan trọng hơn tri thức.Vì tri thức chỉ có giới hạn còn trí tưởng tượng bao trùm cả thế giới.(Einstein)

 

                                     


#19 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 29-08-2013 - 20:06

Ý em là bài tập 3 phải ko?


1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#20 wtuan159

wtuan159

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Toán học,chơi game,máy tính,du lịch,đọc sách khoa học

Đã gửi 30-08-2013 - 08:37

Ý em là bài tập 3 phải ko?

dạ


Trí tưởng tượng quan trọng hơn tri thức.Vì tri thức chỉ có giới hạn còn trí tưởng tượng bao trùm cả thế giới.(Einstein)

 

                                     





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh