Đến nội dung


Hình ảnh

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP CHUYÊN 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐHQG TPHCM NĂM HỌC 2009-2010


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Trung tướng

  • Quản trị
  • 2774 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 11:20

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP CHUYÊN 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐHQG TPHCM NĂM HỌC 2009-2010

Môn: Toán

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1:
a) Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{3b-d},a.c\neq 0$
Chứng minh rằng $b^2=d^2$.
b) Giải hệ phương trình sau
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{xy - 3}} = \frac{{3 - x - y}}{{7 - {x^2} - {y^2}}}\\
\frac{{y - 2}}{{xy - 4}} = \frac{{3 - x - y}}{{7 - {x^2} - {y^2}}}
\end{array} \right.\]


Câu 2: Giải bất phương trình
a) $2x+1\leq \sqrt{8x+9}$
b) Cho a,b,c thuộc [-1;2] thoả mãn $a^2+b^2+c^2=6$
Chứng minh rằng: $a+b+c\geq 0$

Câu 3:
a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên a sao cho
$a^2+a=2010^{2009}$
b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên a sao cho
$a^2+a+a^3=2010^{2009}$

Câu 4: Cho trường tròn (O) tâm O, đường kính AB=2R. C là 1 điểm thay đổi trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C.Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C. Hạ HE,HF vuông góc AC,BC tương ứng. Các đường thẳng EF và AB cắt nhau tại K
a) Tính theo R diện tích tam giác CEF và độ dài các đoạn KA,KB trong trường hợp $\widehat{BAC}=60^0$
b) Hạ EP, FQ vuông góc AB. Chứng minh rằng đường tròn đường kính PQ tiếp xúc đường thẳng EF.
c) Gọi D là giao điểm (O) và đường kính CH, $D\neq C$. Chứng minh rằng $KA.KB=KH^2$ và giao điểm M của các đường thẳng CD và EF luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 5: Trên một đường tròn, người ta sắp xếp các số 1,2,3,...,10 (mỗi số xuất hiện đúng 1 lần)
a) Chứng minh rằng tồn tại 1 cách xếp mà mà tổng 2 số kề nhau đều lớn hơn 10.
b) Tồn tại hay không một cách xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn hoặc bằng 10.


----Hết----

Thời gian làm bài tính từ lúc đánh đề
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

___
Đề này không dễ ăn đâu :P

dunganhxtanh: Anh 5-6 năm ra trường còn bình thường.
dunganhxtanh: Cứ giữ ước mơ, 1 năm không là gì cả.

 

8.gif

#2 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3297 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Đã gửi 27-01-2012 - 11:29

Câu 1:
a) Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{3b-d},a.c\neq 0$
Chứng minh rằng $b^2=d^2$.

Thử cái này.
$\frac{a+c}{3b-d}= \frac{c}{d}= \frac{a+c-c}{3b-d-d}= \frac{a}{3b-2d}= \frac{a}{b}$
$\Rightarrow b=3b-2d \Rightarrow b=d \Rightarrow d^2=b^2$.
"God made the integers, and else is the work of man."

#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Trung tướng

  • Quản trị
  • 2774 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 11:38

Thử cái này.
$\frac{a+c}{3b-d}= \frac{c}{d}= \frac{a+c-c}{3b-d-d}= \frac{a}{3b-2d}= \frac{a}{b}$
$\Rightarrow b=3b-2d \Rightarrow b=d \Rightarrow d^2=b^2$.

Toàn hấp tấp quá làm vậy bị trừ điểm rồi :)
TH1: $b=-d\Rightarrow b^2=d^2(dpcm)$
TH2: b khác -d , kết hợp đk $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow a\neq -c$
Khi đó: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\Rightarrow \frac{a+c}{3b-d}=\frac{a+c}{b+d}$
\[\left[ \begin{array}{l}
a + c = 0\\
3b - d = b + d
\end{array} \right.\]

Với a+c=0 mà a.c khác 0 do đó a,c khác 0 suy ra b=-d (mâu thuẫn)
Với 3b-d=b+d suy ra b=d suy ra $b^2=d^2$

dunganhxtanh: Anh 5-6 năm ra trường còn bình thường.
dunganhxtanh: Cứ giữ ước mơ, 1 năm không là gì cả.

 

8.gif

#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1255 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 27-01-2012 - 11:43

Câu 5:
a) Giả sử không có cách xếp nào mà tổng 2 số liền nhau lớn hơn 10, do vậy nên tổng 2 số bất kì đều $\le 10$
Coi các số là $a_1,a_2,...,a_{10}$
Xét các cặp kề nhau:
$(a_1,a_2),(a_2,a_3),...,(a_9,a_{10}),(a_{10},a_1)$ <1>
Dễ thấy tổng của tất cả các cặp <1> là $2(a_1+a_2+...+a_{10})=2(1+2+...+10)=110$
Theo điều giả sử thì tất cả các cặp <1> nhỏ hơn hoặc bằng $10$ mà lại có $10$ cặp nên tổng $\le 10.10=100<110$ Mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử là sai nên có $đpcm$
b) Câu trả lời là Có
Các vị trí lần lượt như sau: $\boxed{(a_1,a_2,...,a_{10})=(1,9,2,8,3,7,4,6,5,10)}$ thì thỏa mãn
Câu 3:
a) $a^2+a=2010^{2009} \leftrightarrow a(a+1)=2010^{2009} \leftrightarrow 4a^2+4a+1=2010^{2009}.4+2$
Suy ra $4.2010^{2009}+1$ chính phương.
Lại thấy $2010 \equiv 1 \pmod{7} \rightarrow 4.2010^{2009}+1 \equiv 5 \pmod {7}$ Không phải số chính phương do số chính phương chia $7$ dư $0,1,2,4$

Câu 2a: ĐK: $x\geq \dfrac{-9}{8}$
TH1: $\dfrac{-9}{8}\le 9<\dfrac{-1}{2}$ <1> thì $VT<0<VP$ đúng với mọi $x$ thỏa mãn <1>
TH2: $\dfrac{-1}{2}\le x$ <2> thì $VT,VP\geq 0$ lúc này ta đã yên tâm bình phương 2 vế.
$$4x^2+4x+1\le 8x+9 \leftrightarrow 4x^2\le 4x+8 \leftrightarrow (x-1)^2\le 3$$
Đến đây suy ra $-\sqrt{3}+1\le x\le \sqrt{3}+1$ nhưng kết hợp cả <2> thì suy ra $\dfrac{-1}{2}\le x\le \sqrt{3}+1$
Vậy $\boxed{\dfrac{-9}{8}\le 9<\dfrac{-1}{2};\dfrac{-1}{2}\le x\le \sqrt{3}+1}$

Câu 2b: Vì $a,b,c$ thuộc $[-1,2] \rightarrow (a+1)(a-2)\le 0 \rightarrow a^2\le a+2$
Tương tự $b\le b+2$ và $c^2\le c+2$
Cộng 2 vế của 3 bdt suy ra $a^2+b^2+c^2\le a+b+c+6 \leftrightarrow a+b+c\geq 0 \rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-01-2012 - 12:18


#5 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 27-01-2012 - 11:59

Câu 1 : Theo ý tưởng là dùng tỷ lệ thức sau đó áp dụng vào hệ phương trình là ổn .
Câu 2 : Bắt nguồn từ giả thuyết $ a,b,c $ thuộc đoạn $ [-1;2] $ ta nghĩ đến bất đẳng thức $ (a+1).(a-2) \ge 0 $ , suy ra $ a^2-a-2 \ge 0 $ , làm tương tự với b,c sau đó cộng vế theo vế kết hợp với $ a^2+b^2+c^2=6 $ ta có điều phải chứng minh ; bài bất đẳng thức chứa căn thì đơn giản , áp dụng công thức.
Câu 3: Theo anh , câu này dùng đồng dư , hồi đó học làm bài này cũng được lắm :D
Câu 5: Ý tưởng của nguyenta98 là ổn rồi :)

Đề này cần kiến thức vững và cẩn thận , tuy vậy vẫn không khó bằng đề thi Năng khiếu năm 2010-2011 tiếp theo
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Trung tướng

  • Quản trị
  • 2774 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 12:35

Đây là đề năm 2011-2012 có trên diễn đàn rồi mà không ai giải hết

[attachment=7451:_VNMATH....011_2012.pdf]
PTNK 2011-2012
Hình đã gửi
Hình đã gửi http://up.anhso.net

Đề năm 2010-2011 em thấy dễ hơn nhiều so với năm 2009-2010

dunganhxtanh: Anh 5-6 năm ra trường còn bình thường.
dunganhxtanh: Cứ giữ ước mơ, 1 năm không là gì cả.

 

8.gif

#7 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 27-01-2012 - 17:40

Câu II:

a) $P = \frac{{\sqrt {1 + {a^2}} .\sqrt {1 + {b^2}} }}{{1 + ab}} = \frac{{\sqrt {{a^2}{b^2} + 1 + {a^2} + {b^2}} }}{{1 + ab}} \ge \frac{{\sqrt {{a^2}{b^2} + 2ab + 1} }}{{1 + ab}} = 1$

Do đó: $P_{\min}=1 \Leftrightarrow a=b$

b) Bình phương 2 vế của bddt và thu gọn ta được:

\[\sum\limits_{cyc} {\sqrt {(1 - {x^2})(1 - {y^2})} } + xy + xz + yz \le 3\]

Áp dụng bđt $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ và bđt AM-GM ta có:

\[\sum\limits_{cyc} {\sqrt {(1 - {x^2})(1 - {y^2})} } + xy + xz + yz \le \frac{{6 - 2({x^2} + {y^2} + {z^2})}}{2} + {x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\]

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#8 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 27-01-2012 - 18:15

Câu IV:
a) Theo giả thiết thì ta giả sử $2a+b \vdots 3$
Ta có: $ (2a+b)+(2b+c)+(2c+a)=3(a+b+c) \vdots 3$ mà $2a+b \vdots 3 \Rightarrow (2b+c)+(2c+a) \vdots 3$
Vì $2b+c;2c+a$ là các số chính phương nếu $2b+c$ và $2c+a$ cùng không chia hết cho 3 thì $(2b + c) + (2c + a) \equiv 1 + 1 = 2(\bmod 3)$ nên không chia hết cho 3.
Nếu 1 trong 2 số chia hết cho 3 thì tổng của chúng không chia hết cho 3
Nếu cả 2 số đều chia hết cho 3 thì thỏa mãn.
Từ đó: $2a + b = b - a + 3a \vdots 3 \Rightarrow b - a \vdots 3$
Tương tự rồi nhân lại ta có ĐPCM.
Còn câu b em nhớ khá quen mà chưa ra. Nếu ra tối em post

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#9 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Trung tướng

  • Quản trị
  • 2774 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 19:40

Bài 1: Năm 2010-2011
Mấy bài này bên MS có thảo luận rồi mình đưa qua cho mọi người tham khảo :)
a, Khi $m=1$ phương trình trở thành $x^{2}-4x+1=0$
Theo Viét có $\left\{\begin{matrix}
x_{1}+x_{2}=4& \\
x_{1}.x_{2}=1&
\end{matrix}\right.$
Ta có $\sqrt[8]{x_1}+\sqrt[8]{x_2}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt[8]{x_{1}}+\sqrt[8]{x_{2}})^{2}=2+\sqrt{2+\sqrt{6}}$
$\Leftrightarrow \sqrt[4]{x_{1}}+\sqrt[4]{x_{2}}=\sqrt{2+\sqrt{6}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt[4]{x_{1}}+\sqrt[4]{x_{2}})^{2}=2+\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{1}} +\sqrt{x_{2}}=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x_{1}} +\sqrt{x_{2}})^{2}=6$
$\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=4$(đúng)
b)$\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}=\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}+2\sqrt{x_{1}.x_{2}}=5$
$m+3+2\begin{vmatrix}
m
\end{vmatrix}=5$
.....................
c) Ta có $P(x_{1})=x_{1}^{3}+ax_{1}^{2}+bx_{1}$
$P(x_{2})=x_{2}^{3}+ax_{2}^{2}+bx_{2}$
mà $P(x_{1})=P(x_{2})$
$\Rightarrow x_{1}^{3}+ax_{1}^{2}+bx_{1}-x_{2}^{3}-ax_{2}^{2}-bx_{2}=0$
$\Rightarrow (x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}.x_{2}+x_{2}^{2})+a(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})+b(x_{1}-x_{2})=0$
$\Rightarrow (x_{1}+x_{2})^2-x_{1}.x_{2}+a(x_{1}+x_{2})+b=0$(vì tìma,bvới mọi $m$ nên $x_{1}-x_{2}$ không thể bằng 0)
$\Rightarrow (m+3)^2-m^2+a(m+3)+b=0$
$\Rightarrow (6+a)m+3a+b+9=0$
$\Rightarrow a=-6; b=9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-01-2012 - 20:28

dunganhxtanh: Anh 5-6 năm ra trường còn bình thường.
dunganhxtanh: Cứ giữ ước mơ, 1 năm không là gì cả.

 

8.gif

#10 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Trung tướng

  • Quản trị
  • 2774 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 19:45

Câu V:
Hình đã gửi
a)
chia hình chữ nhật thành 6 HCN nhỏ có cạnh 1;2 ( như hình vẽ 1 ở trên). Theo nguyên lí "đi dép lê" thì trong 7 điểm bất kì sẽ có ít nhất 2 điểm nắm trong hoặc nằm trên 1 HCN nhỏ ($\frac{7}{6}$+1). mà đường tròn ngoại tiếp HCN này có đường kính bằng $\sqrt{5}$
b) Chia hình như hình 2 mọi người nghĩ tiếp nhé :D

dunganhxtanh: Anh 5-6 năm ra trường còn bình thường.
dunganhxtanh: Cứ giữ ước mơ, 1 năm không là gì cả.

 

8.gif

#11 field9298

field9298

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-02-2013 - 20:18

Toàn hấp tấp quá làm vậy bị trừ điểm rồi :)
TH1: $b=-d\Rightarrow b^2=d^2(dpcm)$
TH2: b khác -d , kết hợp đk $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow a\neq -c$
Khi đó: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\Rightarrow \frac{a+c}{3b-d}=\frac{a+c}{b+d}$
\[\left[ \begin{array}{l}
a + c = 0\\
3b - d = b + d
\end{array} \right.\]

Với a+c=0 mà a.c khác 0 do đó a,c khác 0 suy ra b=-d (mâu thuẫn)
Với 3b-d=b+d suy ra b=d suy ra $b^2=d^2$

Ủa,đâu tồn tại trường hợp b=-d đâu.
Nếu b=-d thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{-b}\Leftrightarrow a=-c\Leftrightarrow a+c=0$
Kết hợp với đề bài thì suy ra a=c=0(trái với giả thiết)




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh