Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn đang thử nghiệm trang chủ mới (vẫn đang trong quá trình hoàn thiện). BQT sẽ ra thông báo cụ thể trong ít ngày tới.

Hình ảnh

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP CHUYÊN 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐHQG TPHCM NĂM HỌC 2009-2010


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2855 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 11:20

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP CHUYÊN 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐHQG TPHCM NĂM HỌC 2009-2010

Môn: Toán

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1:
a) Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{3b-d},a.c\neq 0$
Chứng minh rằng $b^2=d^2$.
b) Giải hệ phương trình sau
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{xy - 3}} = \frac{{3 - x - y}}{{7 - {x^2} - {y^2}}}\\
\frac{{y - 2}}{{xy - 4}} = \frac{{3 - x - y}}{{7 - {x^2} - {y^2}}}
\end{array} \right.\]


Câu 2: Giải bất phương trình
a) $2x+1\leq \sqrt{8x+9}$
b) Cho a,b,c thuộc [-1;2] thoả mãn $a^2+b^2+c^2=6$
Chứng minh rằng: $a+b+c\geq 0$

Câu 3:
a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên a sao cho
$a^2+a=2010^{2009}$
b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên a sao cho
$a^2+a+a^3=2010^{2009}$

Câu 4: Cho trường tròn (O) tâm O, đường kính AB=2R. C là 1 điểm thay đổi trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C.Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C. Hạ HE,HF vuông góc AC,BC tương ứng. Các đường thẳng EF và AB cắt nhau tại K
a) Tính theo R diện tích tam giác CEF và độ dài các đoạn KA,KB trong trường hợp $\widehat{BAC}=60^0$
b) Hạ EP, FQ vuông góc AB. Chứng minh rằng đường tròn đường kính PQ tiếp xúc đường thẳng EF.
c) Gọi D là giao điểm (O) và đường kính CH, $D\neq C$. Chứng minh rằng $KA.KB=KH^2$ và giao điểm M của các đường thẳng CD và EF luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 5: Trên một đường tròn, người ta sắp xếp các số 1,2,3,...,10 (mỗi số xuất hiện đúng 1 lần)
a) Chứng minh rằng tồn tại 1 cách xếp mà mà tổng 2 số kề nhau đều lớn hơn 10.
b) Tồn tại hay không một cách xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn hoặc bằng 10.


----Hết----

Thời gian làm bài tính từ lúc đánh đề
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

___
Đề này không dễ ăn đâu :P
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫

#2 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 27-01-2012 - 11:29

Câu 1:
a) Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{3b-d},a.c\neq 0$
Chứng minh rằng $b^2=d^2$.

Thử cái này.
$\frac{a+c}{3b-d}= \frac{c}{d}= \frac{a+c-c}{3b-d-d}= \frac{a}{3b-2d}= \frac{a}{b}$
$\Rightarrow b=3b-2d \Rightarrow b=d \Rightarrow d^2=b^2$.
"God made the integers, and else is the work of man."

#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2855 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 11:38

Thử cái này.
$\frac{a+c}{3b-d}= \frac{c}{d}= \frac{a+c-c}{3b-d-d}= \frac{a}{3b-2d}= \frac{a}{b}$
$\Rightarrow b=3b-2d \Rightarrow b=d \Rightarrow d^2=b^2$.

Toàn hấp tấp quá làm vậy bị trừ điểm rồi :)
TH1: $b=-d\Rightarrow b^2=d^2(dpcm)$
TH2: b khác -d , kết hợp đk $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow a\neq -c$
Khi đó: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\Rightarrow \frac{a+c}{3b-d}=\frac{a+c}{b+d}$
\[\left[ \begin{array}{l}
a + c = 0\\
3b - d = b + d
\end{array} \right.\]

Với a+c=0 mà a.c khác 0 do đó a,c khác 0 suy ra b=-d (mâu thuẫn)
Với 3b-d=b+d suy ra b=d suy ra $b^2=d^2$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫

#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 27-01-2012 - 11:43

Câu 5:
a) Giả sử không có cách xếp nào mà tổng 2 số liền nhau lớn hơn 10, do vậy nên tổng 2 số bất kì đều $\le 10$
Coi các số là $a_1,a_2,...,a_{10}$
Xét các cặp kề nhau:
$(a_1,a_2),(a_2,a_3),...,(a_9,a_{10}),(a_{10},a_1)$ <1>
Dễ thấy tổng của tất cả các cặp <1> là $2(a_1+a_2+...+a_{10})=2(1+2+...+10)=110$
Theo điều giả sử thì tất cả các cặp <1> nhỏ hơn hoặc bằng $10$ mà lại có $10$ cặp nên tổng $\le 10.10=100<110$ Mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử là sai nên có $đpcm$
b) Câu trả lời là Có
Các vị trí lần lượt như sau: $\boxed{(a_1,a_2,...,a_{10})=(1,9,2,8,3,7,4,6,5,10)}$ thì thỏa mãn
Câu 3:
a) $a^2+a=2010^{2009} \leftrightarrow a(a+1)=2010^{2009} \leftrightarrow 4a^2+4a+1=2010^{2009}.4+2$
Suy ra $4.2010^{2009}+1$ chính phương.
Lại thấy $2010 \equiv 1 \pmod{7} \rightarrow 4.2010^{2009}+1 \equiv 5 \pmod {7}$ Không phải số chính phương do số chính phương chia $7$ dư $0,1,2,4$

Câu 2a: ĐK: $x\geq \dfrac{-9}{8}$
TH1: $\dfrac{-9}{8}\le 9<\dfrac{-1}{2}$ <1> thì $VT<0<VP$ đúng với mọi $x$ thỏa mãn <1>
TH2: $\dfrac{-1}{2}\le x$ <2> thì $VT,VP\geq 0$ lúc này ta đã yên tâm bình phương 2 vế.
$$4x^2+4x+1\le 8x+9 \leftrightarrow 4x^2\le 4x+8 \leftrightarrow (x-1)^2\le 3$$
Đến đây suy ra $-\sqrt{3}+1\le x\le \sqrt{3}+1$ nhưng kết hợp cả <2> thì suy ra $\dfrac{-1}{2}\le x\le \sqrt{3}+1$
Vậy $\boxed{\dfrac{-9}{8}\le 9<\dfrac{-1}{2};\dfrac{-1}{2}\le x\le \sqrt{3}+1}$

Câu 2b: Vì $a,b,c$ thuộc $[-1,2] \rightarrow (a+1)(a-2)\le 0 \rightarrow a^2\le a+2$
Tương tự $b\le b+2$ và $c^2\le c+2$
Cộng 2 vế của 3 bdt suy ra $a^2+b^2+c^2\le a+b+c+6 \leftrightarrow a+b+c\geq 0 \rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-01-2012 - 12:18


#5 caubeyeutoan2302

caubeyeutoan2302

    Nhà dược sĩ mê toán

  • Thành viên
  • 305 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối B-CS. LHP High school for the gifted _Ho chi minh city
  • Sở thích:Làm toán , nghe nhạc nữa , thích chém gió và đặc biệt là vô cùng yêu ngôi trường Lũ Heo Phì For The Gifted của mình , hehe :))

Đã gửi 27-01-2012 - 11:59

Câu 1 : Theo ý tưởng là dùng tỷ lệ thức sau đó áp dụng vào hệ phương trình là ổn .
Câu 2 : Bắt nguồn từ giả thuyết $ a,b,c $ thuộc đoạn $ [-1;2] $ ta nghĩ đến bất đẳng thức $ (a+1).(a-2) \ge 0 $ , suy ra $ a^2-a-2 \ge 0 $ , làm tương tự với b,c sau đó cộng vế theo vế kết hợp với $ a^2+b^2+c^2=6 $ ta có điều phải chứng minh ; bài bất đẳng thức chứa căn thì đơn giản , áp dụng công thức.
Câu 3: Theo anh , câu này dùng đồng dư , hồi đó học làm bài này cũng được lắm :D
Câu 5: Ý tưởng của nguyenta98 là ổn rồi :)

Đề này cần kiến thức vững và cẩn thận , tuy vậy vẫn không khó bằng đề thi Năng khiếu năm 2010-2011 tiếp theo
CỐ GẮNG THÀNH SINH VIÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2855 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 12:35

Đây là đề năm 2011-2012 có trên diễn đàn rồi mà không ai giải hết

[attachment=7451:_VNMATH....011_2012.pdf]
PTNK 2011-2012
Hình đã gửi
Hình đã gửi http://up.anhso.net

Đề năm 2010-2011 em thấy dễ hơn nhiều so với năm 2009-2010
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫

#7 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 27-01-2012 - 17:40

Câu II:

a) $P = \frac{{\sqrt {1 + {a^2}} .\sqrt {1 + {b^2}} }}{{1 + ab}} = \frac{{\sqrt {{a^2}{b^2} + 1 + {a^2} + {b^2}} }}{{1 + ab}} \ge \frac{{\sqrt {{a^2}{b^2} + 2ab + 1} }}{{1 + ab}} = 1$

Do đó: $P_{\min}=1 \Leftrightarrow a=b$

b) Bình phương 2 vế của bddt và thu gọn ta được:

\[\sum\limits_{cyc} {\sqrt {(1 - {x^2})(1 - {y^2})} } + xy + xz + yz \le 3\]

Áp dụng bđt $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ và bđt AM-GM ta có:

\[\sum\limits_{cyc} {\sqrt {(1 - {x^2})(1 - {y^2})} } + xy + xz + yz \le \frac{{6 - 2({x^2} + {y^2} + {z^2})}}{2} + {x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\]

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#8 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 27-01-2012 - 18:15

Câu IV:
a) Theo giả thiết thì ta giả sử $2a+b \vdots 3$
Ta có: $ (2a+b)+(2b+c)+(2c+a)=3(a+b+c) \vdots 3$ mà $2a+b \vdots 3 \Rightarrow (2b+c)+(2c+a) \vdots 3$
Vì $2b+c;2c+a$ là các số chính phương nếu $2b+c$ và $2c+a$ cùng không chia hết cho 3 thì $(2b + c) + (2c + a) \equiv 1 + 1 = 2(\bmod 3)$ nên không chia hết cho 3.
Nếu 1 trong 2 số chia hết cho 3 thì tổng của chúng không chia hết cho 3
Nếu cả 2 số đều chia hết cho 3 thì thỏa mãn.
Từ đó: $2a + b = b - a + 3a \vdots 3 \Rightarrow b - a \vdots 3$
Tương tự rồi nhân lại ta có ĐPCM.
Còn câu b em nhớ khá quen mà chưa ra. Nếu ra tối em post

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#9 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2855 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 19:40

Bài 1: Năm 2010-2011
Mấy bài này bên MS có thảo luận rồi mình đưa qua cho mọi người tham khảo :)
a, Khi $m=1$ phương trình trở thành $x^{2}-4x+1=0$
Theo Viét có $\left\{\begin{matrix}
x_{1}+x_{2}=4& \\
x_{1}.x_{2}=1&
\end{matrix}\right.$
Ta có $\sqrt[8]{x_1}+\sqrt[8]{x_2}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt[8]{x_{1}}+\sqrt[8]{x_{2}})^{2}=2+\sqrt{2+\sqrt{6}}$
$\Leftrightarrow \sqrt[4]{x_{1}}+\sqrt[4]{x_{2}}=\sqrt{2+\sqrt{6}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt[4]{x_{1}}+\sqrt[4]{x_{2}})^{2}=2+\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x_{1}} +\sqrt{x_{2}}=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x_{1}} +\sqrt{x_{2}})^{2}=6$
$\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}=4$(đúng)
b)$\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}=\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow x_{1}+x_{2}+2\sqrt{x_{1}.x_{2}}=5$
$m+3+2\begin{vmatrix}
m
\end{vmatrix}=5$
.....................
c) Ta có $P(x_{1})=x_{1}^{3}+ax_{1}^{2}+bx_{1}$
$P(x_{2})=x_{2}^{3}+ax_{2}^{2}+bx_{2}$
mà $P(x_{1})=P(x_{2})$
$\Rightarrow x_{1}^{3}+ax_{1}^{2}+bx_{1}-x_{2}^{3}-ax_{2}^{2}-bx_{2}=0$
$\Rightarrow (x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}.x_{2}+x_{2}^{2})+a(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})+b(x_{1}-x_{2})=0$
$\Rightarrow (x_{1}+x_{2})^2-x_{1}.x_{2}+a(x_{1}+x_{2})+b=0$(vì tìma,bvới mọi $m$ nên $x_{1}-x_{2}$ không thể bằng 0)
$\Rightarrow (m+3)^2-m^2+a(m+3)+b=0$
$\Rightarrow (6+a)m+3a+b+9=0$
$\Rightarrow a=-6; b=9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-01-2012 - 20:28

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫

#10 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2855 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2012 - 19:45

Câu V:
Hình đã gửi
a)
chia hình chữ nhật thành 6 HCN nhỏ có cạnh 1;2 ( như hình vẽ 1 ở trên). Theo nguyên lí "đi dép lê" thì trong 7 điểm bất kì sẽ có ít nhất 2 điểm nắm trong hoặc nằm trên 1 HCN nhỏ ($\frac{7}{6}$+1). mà đường tròn ngoại tiếp HCN này có đường kính bằng $\sqrt{5}$
b) Chia hình như hình 2 mọi người nghĩ tiếp nhé :D
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫

#11 field9298

field9298

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-02-2013 - 20:18

Toàn hấp tấp quá làm vậy bị trừ điểm rồi :)
TH1: $b=-d\Rightarrow b^2=d^2(dpcm)$
TH2: b khác -d , kết hợp đk $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow a\neq -c$
Khi đó: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\Rightarrow \frac{a+c}{3b-d}=\frac{a+c}{b+d}$
\[\left[ \begin{array}{l}
a + c = 0\\
3b - d = b + d
\end{array} \right.\]

Với a+c=0 mà a.c khác 0 do đó a,c khác 0 suy ra b=-d (mâu thuẫn)
Với 3b-d=b+d suy ra b=d suy ra $b^2=d^2$

Ủa,đâu tồn tại trường hợp b=-d đâu.
Nếu b=-d thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{-b}\Leftrightarrow a=-c\Leftrightarrow a+c=0$
Kết hợp với đề bài thì suy ra a=c=0(trái với giả thiết)




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh