Đến nội dung


Hình ảnh

Tổng hợp các bài toán Số học THCS


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3292 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Đã gửi 27-01-2012 - 12:53

Để phục vụ mục đích nhằm tìm kiếm các bài toán một cách tiện lợi, mình lập topic này để giới thiệu các bài toán số học trên các lĩnh vực khác nhau.Lưu ý là tuyệt đối không thảo luân các bài toán tại đây, mỗi bài sẽ có link thảo luân riêng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 27-01-2012 - 12:54

"God made the integers, and else is the work of man."

#2 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3292 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Đã gửi 27-01-2012 - 12:55

I. CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT

$\fbox{1}.$ Cho $m,n$ là hai số nguyên dương sao cho $\frac{m^3+n^3+1}{mn(m-n)}$ luôn là số nguyên. Tìm $m,n$.

$\fbox{2}.$ Chứng minh trong $1900$ số tự nhiên liên tiếp thì có một số có tổng các chữ số chia hết cho $27.$

$\fbox{3}.$ Cho $a;b \in \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $P=a^{2}+b^{2}$ là số nguyên tố, $P-5\vdots 8$. Giả sử $x,y \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $(ax^{2}-by^{2} \vdots P$.

Chứng minh rằng:
$$x; y \vdots P$$

$\fbox{4}.$ Topic gồm các nhiều bài chia hết khác nhau (chủ yếu là chứng minh một đẳng thức chia hết)

$\fbox{5}.$ Tìm 3 số hữu tỉ dương $a, b, c$ sao cho $a+\dfrac{1}{a}$, $b+\dfrac{1}{b}$, $c+\dfrac{1}{c}$ là 3 số nguyên dương.

$\fbox{6}.$ Tìm 2 số a,b nguyên dương sao cho $\dfrac{a^{2}-2}{ab+2}$ nguyên.

$\fbox{7}.$ Chứng minh nếu $3$ số $a, a+k, a+2k$ đồng thời là $3$ số nguyên tố phân biệt lớn hơn $3$ thì k chia hết cho $6.$

$\fbox{8}.$ Cho $b^{2}-4ac$ và $b^{2}+4ac$ chính phương. CMR: $abc \vdots 30$.

$\fbox{9}.$ Cho $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn: $$a + b + c = (a-b)(b-c)(c-a)$$. Chứng minh $a + b + c$ chia hết cho $27$.

$\fbox{10}.$ Tìm tất cả các bộ 3 số hữu tỉ $(m, n, p)$ sao cho mỗi số sau là 1 số nguyên:

$$m + \dfrac{1}{np} ; n + \dfrac{1}{pm} ; p + \dfrac{1}{mn}$$

$\fbox{11}.$ Tìm cặp số nguyên dương $x, y$ sao cho $\dfrac{x^3+x}{xy-1}$ là số nguyên dương.

$\fbox{12}.$ Tìm $n$ nguyên dương để $20^n - 13^n - 7^n \vdots 309.$

$\fbox{13}.$ Cho $p,q$ là hai số nguyên tố lớn hơn $3$ và $p-q=2$. Chứng minh rằng $p+q$ chia hết cho $12$.

$\fbox{14}.$ Cho $x,y,p$ là các số nguyên và $p>1$ sao cho mỗi số $x^{2002}$ và $y^{2003}$ đều chia hết cho $p$. Chứng minh rằng số $A=1+x+y$ không chia hết cho $p$.

$\fbox{15}.$ Chứng minh rằng trong $12$ số nguyên tố phân biệt luôn chọn ra được $6$ số ,gọi là $a_{1};a_{2};a_{3}...;a_{6}$ sao cho :

$$(a_{1}-a_{2})(a_{3}-a_{4})(a_{5}+a_{6})\vdots 1800$$

$\fbox{16}.$ Tìm bộ ba số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $abc+1$ chia hết cho $a^2+b^2$.

$\fbox{17}.$ Topic các bài toán về chia hết (được anh Bảo Chung gộp lại)

$\fbox{18}.$ 1. Cho $m,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn là : $ \frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.........-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} $

Chứng minh rằng $m$ chia hết cho 1979
2. Hãy xác định tất cả các bộ nguyên dương (a,b) sao cho $a^2.b+a+b$ chia hết cho $a.b^2+b+7$

$\fbox{19}.$ Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mỗi số nguyên lẻ a mà $a^2\leq n$ thì n chia hết cho a.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 31-01-2012 - 12:31

"God made the integers, and else is the work of man."

#3 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3292 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Đã gửi 27-01-2012 - 13:09

II. CÁC BÀI TOÁN VẾ SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ

$\fbox{1}.$ Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $$p|(q+r), q|(r+2p), r|(p+3q)$$

$\fbox{2}.$ Chứng minh nếu $p,q$ nguyên tố và $r=\dfrac{p^2 + q^2}{p+q}$ nguyên thì $r$ nguyên tố.

(Brazil MO - 2008)


$\fbox{3}.$ Tìm số nguyên tố $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ sao cho $$p_1p_2p_3p_4p_5=p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$$

$\fbox{4}.$ Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho $$p+q=(p-q)^3$$

$\fbox{5}.$ Tìm ba số nguyên tố $a,b,c$ sao cho $$a^b+b^a=c$$

$\fbox{6}.$ Chứng minh nếu $n!+1 \vdots n+1$ thì $n+1$ nguyên tố.

$\fbox{7}.$ Tìm số nguyên tố $p$ để $1+p+p^2+p^3+p^4$ là số chính phương.

$\fbox{8}.$ Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^2+q^3$ và $q^2+p^3$ là các số chính phương.

$\fbox{9}.$ Chứng minh rằng có duy nhất một bộ số nguyên tố thỏa mãn: $x^{y}+1=z$

$\fbox{10}.$ Cho số nguyên tố $p,q$ sao cho $q \mid p^2+1$ và $p \mid q^2-1$. Chứng minh rằng $p+q+1$ là hợp số.

$\fbox{11}.$ Topic các bài toán về số nguyên tố.

$\fbox{12}.$
Tìm cặp số nguyên tố (p;q) thỏa mãn phương trình $5^{2^{p}}+1997=5^{2q^{2}}+q^{2}$

$\fbox{13}.$ Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình $3^x+7^y=4^z$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-09-2012 - 16:15

"God made the integers, and else is the work of man."

#4 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3292 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Đã gửi 27-01-2012 - 13:34

III. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

$\fbox{1}.$ Tìm cặp số nguyên dương $x,n$ sao cho

\[\frac{3^{2n + 1} - 1}{2} = x^2\]

$\fbox{2}.$ Cho $a_1,a_2,...,a_9$ là các số nguyên dương khác nhau. Tìm số $n$ nhỏ nhất sao cho

$$n=a_1^3+a_2^3+a_3^3=a_4^3+a_5^3+a_6^3=a_7^3+a_8^3+a_9^3$$

$\fbox{3}.$ Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $ 1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}. $

$\fbox{5}.$ Cho các phương trình


$$x^2+bx+c=0(1)$$
$$x^2+mx+n=0(2)$$
Trong đó các hệ số b, c, m, n đều khác 0. Biết b, c là các nghiệm của phương trình (2) và m, n là các nghiệm của phương trình (1)
Chứng minh rằng $b^2+c^2+m^2+n^2=10.$

$\fbox{6}.$ Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^3 + 2y^3 - 4x - 5y + z^2 = 2012$$

$\fbox{7}.$ Tìm tất cả các số dương $x,y,z$ thỏa
$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}=3$
và $x+y+z\leq 12$

$\fbox{8}.$ Cho các số tự nhiên x,y thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+1\vdots xy.$ Tính giá trị của biểu thức : $\dfrac{x^{2}+y^{2}+1}{xy}$

$\fbox{9}.$ Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu phương trình $x^3-3xy^2+y^3=n$ có nghiệm nguyên thì phương trình sẽ có ít nhất 3 nghiệm nguyên.

$\fbox{10}.$ 1/Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$2^{x}+5^{y}=z^{2}$
2/Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:
$(x+1999)(x+1975)=3^{y}-81$
3/ Giải phương trình nghiệm nguyên :
$19^{x}+5^{y}+2010z=2015^{2011}+2013$

$\fbox{11}.$ Tìm số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix} x+y=(x,y)^2 & & \\ y+z=(y,z)^2 & & \\ z+x=(z,x)^2 & & \end{matrix}\right.$$ với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

$\fbox{12}.$ Tìm 3 số nguyên khác nhau đôi một sao cho: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z )^{2}.$

$\fbox{13}.$ Tìm nghiệm nguyên của hệ pt $\left\{\begin{matrix}

x+y+z=3\\x^{3}+y^{3}+z^{3}=3
\end{matrix}\right.$

$\fbox{14}.$ Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $ 3x^5 - 19(72x-y)^2 = 240677 $


$\fbox{15}.$ Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình $$2^x+2009=3^y5^z$$

$\fbox{16}.$ Giải phương trình nghiệm nguyên:

$$30^{x}+4^{y}=2011^{z} \; (z\geq 0)$$
$\fbox{17}.$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
1. $y^{2}= 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$

2. $y^{2}= x(x+1)(x+7)(x+8)$

$\fbox{18}.$ Giải phương trình nghiệm nguyên $$(x+y)^2-x^5=y^3-z^3$$

$\fbox{19}.$ Giải phương trình nghiệm nguyên:$x^2+y^2-xy-x-3y=0$

$\fbox{20}.$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$

$\fbox{21}.$ Tìm nghiệm dương của phương trình:

$(x^3+y^3)+4(x^2+y^2)+4(x+y)=16xy$

$\fbox{22}.$ Chứng minh rằng phương trình $$6{y^3} + 12x{y^2} + 6{x^2}y + ({x^3} - x) = 0$$ không thể có nghiệm nguyên dạng $(4k, y)$ hoặc $(9k, y)$, $k\neq 0$

$\fbox{23}.$ Tìm $\overline{abc}$ biết $\overline{abc}=11(a^2+b^2+c^2)$

$\fbox{24}.$ Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x^{4}+(x+1)^{4}=y^{2}+(y+1)^{2}$

$\fbox{25}.$ Giải phương trình nghiệm nguyên
$1999x^4+1998x^3+2000x^2+1997x+1999=0$

$\fbox{26}.$ 1: Tìm $a,b,c$ nguyên sao cho $a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c$

2: Tìm mọi số nguyên $x,y$ thỏa mãn $y^2=x^3+(x+4)^2$

$\fbox{27}.$ Giải phương trình nghiệm nguyên: $30^{x}+4^{y}=2011^{z} \ (z \geq 0)$

$\fbox{28}.$ Giải phương trình nghiệm nguyên
a)$5x^2-4xy+y^2=169$
b)$(7x^2y+x+xy^2+2y)-38=38xy$ ($x, y$ là số nguyên dương)

$\fbox{29}.$ Tìm $a,b$ nguyên thỏa mãn phương trình: $a^2+6ab+8b^2+3a+6b=2$

$\fbox{30}.$ Tìm nghiệm nguyên ko âm của phương trình $(ab-7)^2=a^2+b^2$

$\fbox{31}.$ Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thõa mãn $x^2-394xy-395y^2=2005$
2. Tìm nghiệm nguyên của pt $x^2-2y^2=1$
3. Tìm nghiệm nguyên $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$
4. Tìm nghiệm nguyên $(2+x)^n-(2-x)^n=0$
5. Tìm nghiệm nguyên $x^{3}+y^3=(x+y)^{2}$


$\fbox{32}.$ Giải phương trình nghiệm nguyên $$a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}.(ab+ac+bc)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 10-02-2012 - 20:09

"God made the integers, and else is the work of man."

#5 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3292 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Đã gửi 28-01-2012 - 15:50

IV. CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ LẬP PHƯƠNG

$\fbox{1}.$ Cho a,b là các số nguyên thỏa mãn $2a²+a = 3b²+b$. CMR cả 2 số $a-b$ & $2a+2b+1$ đều là số chính phương.

$\fbox{2}.$ Có tồn tại hay không số nguyên dương k sao cho $2^{k}+3^{k}$ là số chính phương ?

$\fbox{3}.$ Cho P là tích n số nguyên tố đầu tiên $( n> 1)$.Chứng minh $P+1$ không là số chính phương.

$\fbox{4}.$ Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho $T=4^{27}+4^{1016}+4^{a}$ là số chính phương !

$\fbox{5}.$ Tìm $n$ để $3^n+4$ là số chính phương.

$\fbox{6}.$ Chứng minh rằng luôn chọn được ba số nguyên dương $a,b,c$ sao cho nhiều nhất hai trong ba số $(3a)^2+3b+3c, (3b)^2+3c+3a, (3c)^2+3a+3b$ chính phương.

$\fbox{7}.$ Tìm tất cả các số nguyên tố m sao cho $13m+1$ là lập phương của một số tự nhiên.

$\fbox{8}.$ Tìm $n$ nguyên để $n+ 26$ và $n - 11$ đều là lập phương của số nguyên dương.

$\fbox{9}.$ Viết liên tiếp các số $1;2;3...;1996$ thành dãy nhưng theo thứ tự tùy ý ta được số $m$ . Hỏi số $m+19^{5^{1890}}+1$ có thể là số chính phương hay không ?

$\fbox{10}.$ Bài 1: Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn: $2a^{2}+a=3b^{2}+b$ thì $(a-b)$ và $2a+2b+1$ là những số chính phương.
Bài 2: Cho dãy: $3+4; 3^{2}+4;3^{3}+4;....;3^{n}+4.$
Chứng minh trong dãy trên không có số hạng nào là số chính phương
Bài 3: Với n thuộc N, chứng minh $M=n(n+1)(n+2).....(n+7) +7!$ không biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương.

$\fbox{11}.$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^4 + n^2 +1$ là số chính phương.

$\fbox{12}.$ Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sao cho $n!-2011^n$ là số chính phương ?

$\fbox{13}.$ Tìm số nguyên dương $n$ không chia hết cho $3$ sao cho $2^{n^2-10}+2133$ là lập phương của một số tự nhiên.

$\fbox{14}.$ Tìm tất cả các số nguyên $n$ để $n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+n+7$ là số chính phương.

$\fbox{15}.$ 1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?


2, Cho n số có giá trị tuyệt đối bằng 1 là $a_{1},a_{2},a_{3},..., a_n$ biết:
$a_{1}.a_{2}+a_{2}.a_{3}+a_{3}.a_{4}+...+ a_n.a_{1}$. Hỏi n có thể là số 2002 không? Vì sao?

$\fbox{16}.$ Tìm cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $\dfrac{x^2 + 1}{y^2} + 4$ là số chính phương.

$\fbox{17}.$ Chứng minh không tồn tại số nguyên $n$ sao cho $n^7+7$ là số chính phương.

India IMO Training Camp 2011


$\fbox{18}.$ Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn các điều kiện sau:

$a)$ $n^2=(a+1)^3-a^3$
$b)$ $2n+119$ là số chính phương.

India IMO Training Camp 2011


$\fbox{19}.$ CMR: $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n.$

$\fbox{20}.$ Tìm số hữu tỉ $a$ để $a^2+5a$ là số chính phương.

$\fbox{21}.$ Tìm p,q nguyên tố để $p^2+3pq+q^2$ chính phương.

$\fbox{22}.$ Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $3^p+19(p-1)$ là số chính phương.

$\fbox{23}.$ Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho $5^{n}+12^{n}$ là số chính phương.

$\fbox{24}.$ Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $A$ là một số chính phương
$$A = \left( {n - 2010} \right)\left( {n - 2011} \right)\left( {n - 2012} \right)$$

$\fbox{25}.$ Tìm mọi số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^2 +7pq +q^2$ là bình phương của một số nguyên.

$\fbox{26}.$ Cho $x,y\in\mathbb{N}$ và $\gcd(x,y)=1$.

Chứng minh rằng nếu $x+3y^2$ chính phương thì $x^2+9y^4$ không là số chính phương.

$\fbox{27}.$ Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^2+q^3$ và $q^2+p^3$ là các số chính phương.

$\fbox{28}.$ Tìm các chữ số abcd để $\overline{567abcda}$ là số chính phương.

$\fbox{29}.$ Tìm $x,y$ nguyên dương sao cho $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương.

$\fbox{30}.$ 1. Tìm các số nguyên dương x và y để: $x^2+8y$ và $y^2+8x$ đều là số chính phương.

2. Tìm các số nguyên x để: $x^4+2x^3+2x^2+x+5$ là số chính phương.

$\fbox{31}.$ 1) Chứng minh rằng $19^{2n}+5^{n}+ 2000$ $( n \in N^*)$ không là số chính phương.

2) Chứng minh rằng số $n^7+34n+5$ $( n \in N^*)$ không là số chính phương.

$\fbox{32}.$ Có tồn tại số nguyên $n$ sao cho $3n^2+3n+11$ là lập phương của một số nguyên.
"God made the integers, and else is the work of man."

#6 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3292 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Đã gửi 26-02-2012 - 20:07

Xin mở topic này để nhờ mọi người có ai rảnh thì viết cho phần V. Các bài toán về ước chung và bội chung.
Có phần nào thiếu xin mọi người bổ sung tiếp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 18-06-2013 - 15:44

"God made the integers, and else is the work of man."




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh