Đến nội dung


Hình ảnh

[ĐẤU TRƯỜNG] Trận 8: DELTA - ALPHA

Lượt về

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#1 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản lý
  • 468 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-02-2012 - 23:04

Đề thi của Delta :

Câu 1 :

Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :

$ a^2 + b^2 = z^7 + z$

câu 2 :
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB ; AC tới đường tròn này . P thuộc tia đối của tia CA . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP cắt đườn tròn (O) tại điểm M không trùng B . H là hình chiếu của C trên BP

Chứng minh rằng $\measuredangle HMP = 2\measuredangle APB$

Câu 3 :

Cho 3 số thực dương $a ; b ; c $ thoả mãn : $ D= ac - b^2 >0$
Xét đa thức $ f(x;y) = ax^2 + bxy+ cy^2$

Chứng minh rằng tồn tại 2 số nguyên $u ; v$ không đồng thời bằng 0 sao cho :

$\left |f(u;v) \right | \le 2\sqrt{\frac{D}{3}}$

Câu 4 : Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên R ; nhận giá trị trong R thoả mãn :

$f(f(x)+y)= 2y + f(f(y)-x) \ \ \forall x;y \in \mathbb{R}$

Câu 5 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) . M là giao điểm 2 đường chéo . P ; Q lần lượt là trung điểm AB và BC . Chứng minh rằng nếu PM vuông góc CD thì QM vuông góc AD

Câu 6 :

Cho trước số nguyên $ n \ge 2$ ; các số thực $ x_1 ; x_2 ; ... ; x_n $ thoả mãn :

$\sum_{i=1}^{n} x^2_i + \sum_{i=1}^{n-1}x_i x_{i+1} =1$

Với mỗi $ 1 \le k \le n$

Tìm GTLN của $ | x_k|$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-04-2012 - 15:58

1) Thể lệ
2) Tổng hợp điểm
3) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300
Hãy cùng tham gia, giải bài, tích điểm và nhận quà! :D


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản lý
  • 468 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-02-2012 - 00:07

ĐẤU TRƯỜNG VMF 2011 LƯỢT VỀ

TRẬN ALPHA – DELTA


ĐỀ CỦA ALPHA


Câu 1 (THCS). Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 2 \\
ux + vy = 3 \\
ux^2 + vy^2 = 5 \\
ux^3 + vy^3 = 9 \\
\end{array} \right.$.

Câu 2 (THCS). Cho ba điểm phân biệt $A, B, C$ và $M$ là một điểm bất kì. Gọi $d$ là đoạn lớn nhất trong các đoạn $MA, MB, MC$. Tìm vị trí của điểm $M$ để $d$ nhỏ nhất.

Câu 3 (THPT). Cho $a \in (0;1)$.Xét dãy $(u_n)$ xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
u_1 = a \\
u_{n + 1} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{{\left( {1 - u_n } \right)^5 }},\forall n \ge 1 \\
\end{array} \right.$

Dãy $(u_n)$ có hội tụ hay không?

Câu 4 (THPT). Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $1$, xét các điểm $M, K, E, N, H, F$ tương ứng thuộc các cạnh $AB, AC, AD, CD, DB, BC$. kí hiệu $V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4 $ lần lượt là thể tích các khối tứ diện $MAKE, BMHF, CFKN, DNEH$. Tìm giá trị lớn nhất của
\[
P = \sqrt[3]{{V_1 }} + \sqrt[3]{{V_2 }} + \sqrt[3]{{V_3 }} + \sqrt[3]{{V_4 }}
\]
.

Câu 5 (THPT). Cho $n (n \geq 3 )$ số thực dương
$x_1 ,x_2 ,...,x_n $ thỏa mãn $\sum\limits_{k = 1}^n {x_k^2 } = n$ . Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{8}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2} \right) \ge \frac{3n+8}{8}-\frac{9n-4}{4n(n-1)}+\frac{1}{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}x_{i}x_{j}}$$
.
Câu 6 (Olympiad). Tìm hàm$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
i) Hàm $f$ bị chặn trên
ii) $ f(xf(y)) + yf(x) = xf(y) + f(xy),\forall x,y \in \mathbb{R}$


File gửi kèm  de cua alpha phien ban 3.pdf   38.65K   101 Số lần tải

1) Thể lệ
2) Tổng hợp điểm
3) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300
Hãy cùng tham gia, giải bài, tích điểm và nhận quà! :D


#3 PTH_Thái Hà

PTH_Thái Hà

    David Tennant -- Doctor Who

  • Thành viên
  • 522 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HMU 12-18
  • Sở thích:MATH; FOOTBALL; M4U+Thùy Chi

Đã gửi 15-02-2012 - 22:03

Tân binh PTH_Thái Hà của đội ALPHA xin giải bài 4 của Delta

$f\left( {f\left( x \right) + y} \right) = 2y + f\left( {f\left( y \right) - x} \right)$ (1)
Giả sử tồn tại hàm $f$ thỏa mãn
Đặt $f\left( 0 \right) = a$
Từ (1) cho:

$x = 0 \Rightarrow f\left( {a + y} \right) = 2y + f\left( {f\left( y \right)} \right)$ (2)

$y = 0 \Rightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {a - x} \right) \Rightarrow f\left( {f\left( y \right)} \right) = f\left( {a - y} \right)$ (3)

$ \Rightarrow f\left( {a + y} \right) = 2y + f\left( {a - y} \right)$
Cho $y = a \Rightarrow f\left( {2a} \right) = 3a$

Từ (1) thay $x = f\left( y \right) \Rightarrow f\left( {f\left( {f\left( y \right)} \right) + y} \right) = 2y + a$ (4)

Từ (2) $ \Rightarrow f\left( {a + y} \right) - y = y + f\left( {f\left( y \right)} \right)$

Thay vào (4)
$ \Rightarrow f\left( {f\left( {a + y} \right) - y} \right) = 2y + a$
Cho $y = - a \Rightarrow f\left( {2a} \right) = - 3a$

$ \Rightarrow f\left( {2a} \right) = 3a = - 3a \Rightarrow a = 0$

Thay vào (2)
$ \Rightarrow f\left( y \right) = 2y + f\left( {f\left( y \right)} \right)$

Giả sử tồn tại ${y_1},{y_2} \in R,f\left( {{y_1}} \right) = f\left( {{y_2}} \right) \Rightarrow {y_1} = {y_2}$
Vậy ${f\left( x \right)}$ là đơn ánh

Từ (3)
$ \Rightarrow f\left( x \right) = a – x$

Thử lại
$VT = f\left( {a - x + y} \right) = a - \left( {a - x + y} \right) = x – y$
$VP = 2y + f\left( {a - y - x} \right) = 3y + x$

Vậy không tồn tại hàm $f$ thỏa mãn

@PSW : 7/7

Delta ra đề bị lỗi ; Hà đã giải theo đề lỗi và cho lời giai đúng

Theo quy định ; cho hưởng trọn vẹn điểm :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 05-07-2012 - 15:20

Giải nhì quốc gia. Yeah

#4 taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:"Mù" Pao Chải Thái Bình

Đã gửi 16-02-2012 - 17:53

Taminhhoang10a1 giải câu 1 của ALPHA

Có: $(u + v)(x + y) = {\rm{ux}} + vy + uy + vx + 3 + uy + vx$
$\Leftrightarrow 2(x + y) = 3 + vx + uy$
$\begin{array}{l}
({\rm{ux}} + vy)(x + y) = {\rm{ux}}^2 + vy^2 + xy(u + v) \\
\Leftrightarrow 3x + 3y = 5 + 2xy \\
\end{array}$ (2)
$\begin{array}{l}
({\rm{ux}}^2 + vy^2 )(x + y) = {\rm{ux}}^3 + vy^3 + xy({\rm{ux}} + vy) \\
\Leftrightarrow 5(x + y) = 9 + 3xy \\
\end{array}$ (3)
Từ 2 và 3 ta có hệ sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
5(x + y) = 9 + 3xy \\
3(x + y) = 5 + 2xy \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(x - 2)(2 - y) = 0 \\
3x + 3y = 5 + 2xy \\
\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2;y = 1 \\
x = 1;y = 2 \\
\end{array} \right.$
Không mất tính tong quát giả sử x=2; y=1
Ta có hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 2 \\
2u + v = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow u = v = 1$
Thử lại thỏa mãn
Vậy hệ có 2 bộ nghiệm (x,y,u,v) là (2;1;1;1) và (1;2;1;1)

@ PSW : 5/6 điểm - mắc lỗi trình bày mà chẳng chịu sửa :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 05-07-2012 - 15:23

THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#5 taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:"Mù" Pao Chải Thái Bình

Đã gửi 17-02-2012 - 17:13

taminhhoang10a1 giải bài 4 của ALPHA

Áp dụng bổ đề sau:
Cho tứ diện ABCD và E,F,G thuộc vào AB,AC,AD,thì $\frac{{V_{AEFG} }}{{V_{ABCD} }} = \frac{{AE.{\rm{AF}}.AG}}{{AB.AC.AD}}$

Thật vậy: Từ F và C kẻ FH và CK vuông góc với (ABD) thì theo quy tắc về hình chiếu thì H,K,A thẳng hàng
$ \Rightarrow \frac{{V_{AEFG} }}{{V_{ABCD} }} = \frac{{FH.S_{AEG} }}{{CK.S_{ABD} }} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}}.\frac{{AE.AG}}{{AB.AD}}$ (dpcm)

Áp dụng vào bài toán ta có:
$\sqrt[3]{{\frac{{V_1 }}{V}}} = \sqrt[3]{{\frac{{AM.AK.AE}}{{AB.AC.AD}}}} \le \frac{1}{3}(\frac{{AM}}{{AB}} + \frac{{AK}}{{AC}} + \frac{{AE}}{{AD}})$

Tương tự: $\sqrt[3]{{\frac{{V_2 }}{V}}} \le \frac{1}{3}(\frac{{BM}}{{BA}} + \frac{{BH}}{{BD}} + \frac{{BF}}{{BC}})$
$\sqrt[3]{{\frac{{V_2 }}{V}}} \le \frac{1}{3}(\frac{{BM}}{{BA}} + \frac{{BH}}{{BD}} + \frac{{BF}}{{BC}})$
$\sqrt[3]{{\frac{{V_4 }}{V}}} \le \frac{1}{3}(\frac{{DN}}{{DC}} + \frac{{DH}}{{DB}} + \frac{{DE}}{{DA}})$

$ \Rightarrow P \le \frac{1}{3}.6 = 2$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi các điểm đã cho là trung điểm các cạnh tương ứng

bác nào vẽ hộ em cái hình với

@ PSW : 7/7 điểm Tốt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 05-07-2012 - 15:30

THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#6 taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:"Mù" Pao Chải Thái Bình

Đã gửi 18-02-2012 - 11:42

nhờ các anh xem hộ delta câu bdt của alpha. Sao em thử tại n=5 và x1=x2=...=x5=1 lại không đúng vậy
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#7 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • ĐHV Tổng hợp
  • 762 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:13TTH2 ĐH. Khoa học tự nhiên TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 18-02-2012 - 17:40

taminhhoang10a1 giải bài 4 của ALPHA

Áp dụng bổ đề sau:
Cho tứ diện ABCD và E,F,G thuộc vào AB,AC,AD,thì $\frac{{V_{AEFG} }}{{V_{ABCD} }} = \frac{{AE.{\rm{AF}}.AG}}{{AB.AC.AD}}$

Thật vậy: Từ F và C kẻ FH và CK vuông góc với (ABD) thì theo quy tắc về hình chiếu thì H,K,A thẳng hàng
$ \Rightarrow \frac{{V_{AEFG} }}{{V_{ABCD} }} = \frac{{FH.S_{AEG} }}{{CK.S_{ABD} }} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}}.\frac{{AE.AG}}{{AB.AD}}$ (dpcm)

Áp dụng vào bài toán ta có:
$\sqrt[3]{{\frac{{V_1 }}{V}}} = \sqrt[3]{{\frac{{AM.AK.AE}}{{AB.AC.AD}}}} \le \frac{1}{3}(\frac{{AM}}{{AB}} + \frac{{AK}}{{AC}} + \frac{{AE}}{{AD}})$

Tương tự: $\sqrt[3]{{\frac{{V_2 }}{V}}} \le \frac{1}{3}(\frac{{BM}}{{BA}} + \frac{{BH}}{{BD}} + \frac{{BF}}{{BC}})$
$\sqrt[3]{{\frac{{V_2 }}{V}}} \le \frac{1}{3}(\frac{{BM}}{{BA}} + \frac{{BH}}{{BD}} + \frac{{BF}}{{BC}})$
$\sqrt[3]{{\frac{{V_4 }}{V}}} \le \frac{1}{3}(\frac{{DN}}{{DC}} + \frac{{DH}}{{DB}} + \frac{{DE}}{{DA}})$

$ \Rightarrow P \le \frac{1}{3}.6 = 2$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi các điểm đã cho là trung điểm các cạnh tương ứng

bác nào vẽ hộ em cái hình với


Hiện h chưa làm dc gì, thui up đỡ cái hình giúp pác taminhhoang10a1

Hình đã gửi

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Tổng quan về ngành vi tích phân

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#8 PTH_Thái Hà

PTH_Thái Hà

    David Tennant -- Doctor Who

  • Thành viên
  • 522 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HMU 12-18
  • Sở thích:MATH; FOOTBALL; M4U+Thùy Chi

Đã gửi 18-02-2012 - 21:58

PTH_Thái Hà giải tiếp bài 5 của Delta
Nhờ anh E.Galois đọc lời giải rồi up hình hỗ trợ


Đáng tiếc là đề của Delta là sai
Thật vậy, ta lấy một phản ví dụ:
Xét hình thang cân $ABCD$ có 2 đáy là $Ab$ và $CD$, đường chéo cắt nhau tại M
h1.PNG

Khi đó dễ thấy $MP \bot CD$
Gọi $QM \cap AD = H$
Mặt khác, nếu lấy hình thang thỏa mãn $\widehat{CAD} = \widehat{CBD} > {90^0}$ thì ta có:
$Q$ là trung điểm $BC$
$ \Rightarrow Q \in \left[ {BC} \right] \Rightarrow \widehat{QMC} < \widehat{BMC} \Leftrightarrow \widehat{AMH} < \widehat{AMD}$

Vậy xét trên nửa mặt phẳng bờ là $AM$ thì tia $MH$ nằm giữa 2 tia $MA$ và $MD$
$ \Rightarrow \widehat{DHM} = \widehat{DAM} + \widehat{HMA} > \widehat{DAM} > {90^0}$

Vậy bài toán sai

Ta có thể sửa lại như sau

Cho tứ giác $ABCD$ khác hình thang cân nội tiếp đường tròn. M là giao 2 đường chéo, P,Q là trung điểm AB,BC. Khi đó $PM \bot CD \Leftrightarrow QM \bot AD$
h2.PNG
Lời giải:
Giả sử tứ giác $ABCD$ định hướng âm
$\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \widehat{MCD}$

$\left( {\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \left( {\overrightarrow {DM} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \widehat{MDC}$

Vậy: $MP \bot CD$
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {DC} = 0$

$ \Leftrightarrow MA.CD.\cos \widehat{MCD} - MB.CD.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MA.\cos \widehat{MCD} - MB.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MA.MC.\cos \widehat{MCD} - MB.MC.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MB.MD.\cos \widehat{MCD} - MB.MC.\cos \widehat{MDC} = 0$

$ \Leftrightarrow MD.\cos \widehat{MCD} = MC.\cos \widehat{MDC}$
$ \Leftrightarrow \frac{{MD}}{{MC}} = \frac{{\cos \widehat{MDC}}}{{\cos \widehat{MCD}}}$

Theo định lí $sin$ trong tam giác $MCD$
$ \Rightarrow \frac{{\sin \widehat{MCD}}}{{\sin \widehat{MDC}}} = \frac{{MD}}{{MC}} = \frac{{\cos \widehat{MDC}}}{{\cos \widehat{MCD}}}$

$ \Leftrightarrow \sin 2\widehat{MCD} = \sin 2\widehat{MDC}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \widehat{MCD} = \widehat{MDC} \\ \widehat{MCD} = {90^0} - \widehat{MDC} \\ \end{array} \right.$

Trường hợp $\widehat{MCD} = \widehat{MDC}$ sẽ suy ra tứ giác $ABCD$ là hình thang cân, mâu thuẫn với giả thiết

Vậy $MP \bot CD \Leftrightarrow \widehat{MCD} = {90^0} - \widehat{MDC} \Leftrightarrow \widehat{CMD} = {90^0} \Leftrightarrow AC \bot BD$

Hoàn toàn tương tự ta cũng có
$MQ \bot CD \Leftrightarrow \widehat{MAD} = {90^0} - \widehat{MDA} \Leftrightarrow \widehat{AMD} = {90^0} \Leftrightarrow AC \bot BD$

Bài toán được giải quyết hoàn toàn

@ PSW : 7/7 - đỉnh của đỉnh :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 05-07-2012 - 15:30

Giải nhì quốc gia. Yeah

#9 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3718 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The Dark Side.Blood Mage of the Old.
  • Sở thích:To revenge my people.Prepeare to face the Rage of the Invoker !

Đã gửi 19-02-2012 - 07:08

nhờ các anh xem hộ delta câu bdt của alpha. Sao em thử tại n=5 và x1=x2=...=x5=1 lại không đúng vậy

1 sai lầm đáng tiếc trong khâu tính toán của mình :P Đề đúng là như sau:
$$\frac{1}{8}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2} \right) \ge \frac{3n+8}{8}-\frac{9n-4}{4n(n-1)}+\frac{1}{\sum\limits_{1 \le i<j \le n}x_{i}x_{j}}$$
Em xin thành thật xin lỗi ban Trọng Tài,anh em ALPHA và đội DELTA vì đã mắc sai lầm trong khâu tính toán và đưa ra đề bài sai.Em xin hứa sẽ không bao giờ tái phạm nữa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 19-02-2012 - 07:10

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#10 taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:"Mù" Pao Chải Thái Bình

Đã gửi 19-02-2012 - 11:40

sao trận này không sôi nổi lắm nhỉ. Anh em DELTA cố lên
THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#11 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3116 Bài viết
  • 1000 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 19-02-2012 - 11:42

E.Galois của ALPHA đã tạm thời sửa lại câu BDT của ALPHA trong đề, mong Trọng tài và các anh em DELTA thứ lỗi. Hi vọng ko bị trừ điểm bài này

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#12 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản lý
  • 468 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-02-2012 - 12:52

Mình nghĩ cách xử trí hay nhất với đề bài sai là như sau :

Nếu đề sai mà đội đối thủ chỉ rõ được phản ví dụ, hoặc nêu ra 1 đề bài khác chuẩn hơn rồi gỉai đề bài đó, thì sẽ cho trọn vẹn điểm của câu đó.

Cũng có những trường hợp ghi sai đề , nhưng lại vô tình tạo thành bài Toán mới khó hơn hoặc dễ hơn ( cái này rất hay xảy ra trong phần phương trình hàm) , thì đội đối thủ , nếu giải trọn vẹn được đề bài bị sai , vẫn có trọn điểm :)

Hai đội xem các ý trên để biết trc điểm số của mình :)

1) Thể lệ
2) Tổng hợp điểm
3) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300
Hãy cùng tham gia, giải bài, tích điểm và nhận quà! :D


#13 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • ĐHV Tổng hợp
  • 762 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:13TTH2 ĐH. Khoa học tự nhiên TP. Hồ Chí Minh
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 19-02-2012 - 14:52

sao trận này không sôi nổi lắm nhỉ. Anh em DELTA cố lên


Chắc tìm mọi cách hú a Thắng vs Quả về thui, 2 cầu thủ trụ cột h biệt tích

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Tổng quan về ngành vi tích phân

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#14 PTH_Thái Hà

PTH_Thái Hà

    David Tennant -- Doctor Who

  • Thành viên
  • 522 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HMU 12-18
  • Sở thích:MATH; FOOTBALL; M4U+Thùy Chi

Đã gửi 19-02-2012 - 22:51

Một phản ví dụ cho Câu 3 của Delta
lấy $a=b=3,c=4$

$ \Rightarrow f\left( {x,y} \right) = 3{x^2} + 3xy + 4{y^2}$ xét với x,y nguyên
$D = 3 \Rightarrow 2\sqrt {\frac{D}{3}} = 2$
ta sẽ chứng minh không tồn tại $x,y$ nguyên để $\left| {f\left( {x,y} \right)} \right| \ge 2$
nếu có 1 trong 2 số $x,y$ bằng 0 thì số kia phải có trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 1

$f\left( {x,0} \right) \ge 3;f\left( {0,y} \right) \ge 4$
không thỏa mãn
vậy $xy \ne 0 \Rightarrow \left| x \right| \ge 1;\left| y \right| \ge 1;$
nếu $x,y$ cùng dấu
dễ thấy không thỏa mãn
vậy x,y khác dấu
giả sử x dương, y âm
Xét $g\left( {x,y} \right) = 3{x^2} - 3xy + 4{y^2}$

$ \Rightarrow \mathop {f\left( {x,y} \right)}\limits_{x > 0,y < 0} = \mathop {g\left( {x,y} \right)}\limits_{x > 0,y > 0} $


$x \ge y \Rightarrow g\left( {x,y} \right) = 3x\left( {x - y} \right) + 4{y^2} \ge 4 > 2$

$ \Rightarrow x < y$ (1)


$x \le \frac{4}{3}y \Rightarrow g\left( {x,y} \right) = 3{x^2} + 3y\left( {\frac{4}{3}y - x} \right) \ge 3$

$ \Rightarrow x > \frac{4}{3}y$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn
vậy không tồn tại x,y nguyên thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTH_Thái Hà: 19-02-2012 - 22:52

Giải nhì quốc gia. Yeah

#15 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 472 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi mà giáo dục tiêu cực nhất nước Việt Nam

Đã gửi 21-02-2012 - 09:20

Câu 3 :

Cho 3 số thực dương $a ; b ; c $ thoả mãn : $ D= ac - b^2 >0$
Xét đa thức $ f(x;y) = ax^2 + bxy+ cy^2$

Chứng minh rằng tồn tại 2 số nguyên $u ; v$ không đồng thời bằng 0 sao cho :

$\left |f(u;v) \right | \le 2\sqrt{\frac{D}{3}}$

Đúng là số phận =)). Đề đúng đây các bác:

Câu 3 :

Cho 3 số thực dương $a ; b ; c $ thoả mãn : $ D= ac - b^2 >0$
Xét đa thức $ f(x;y) = ax^2 + 2bxy+ cy^2$

Chứng minh rằng tồn tại 2 số nguyên $u ; v$ không đồng thời bằng 0 sao cho :

$\left |f(u;v) \right | \le 2\sqrt{\frac{D}{3}}$


Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#16 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3116 Bài viết
  • 1000 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-02-2012 - 15:16

E.Galois của ALPHA xin giải câu 3 của DELTA sau khi đã được sửa đề:

Cho 3 số thực dương $a ; b ; c $ thoả mãn :
$$ D= ac - b^2 >0,\ \ \ (1)$$
Xét đa thức $ f(x;y) = ax^2 + 2bxy+ cy^2$

Chứng minh rằng tồn tại 2 số nguyên $u ; v$ không đồng thời bằng 0 sao cho :

$\left |f(u;v) \right | \le 2\sqrt{\frac{D}{3}},\ \ \ (2)$

Từ $(1)$ ta có $a \neq 0$.
Mặt khác:
$$|f(u,v)|=|-f(u,v)|$$
nên ta chỉ cần chứng minh $(2)$ với $a > 0$.

Với $y \neq 0$ ta có:
$$f(x,y) = y^2\left [ a\left ( \frac{x}{y} \right )^2+2b\frac{x}{y} + c\right ]=y^2\left [ a\left ( \frac{x}{y}+\frac{b}{a} \right )^2+\frac{D}{a}\right ]$$
Với $y = 0$, ta có $f(x;y) = ax^2$.
Đặt
$$T = \left \{ (x,y)| x,y \in \mathbb{Z}, x^2 + y^2 > 0 \right \}$$
Ta có:
$$f(x,y) > 0, \forall (x,y) \in T$$
Do đó:
$$f(u,v)=\min_{(x,y)\in T} f(x,y) = \min_{(x,y)\in T} \left |f(x,y) \right |$$
Đặt $z = f(x,y), z > 0$. Vì $f(x,y)$ đẳng cấp đối với $x, y$ nên $u,v$ nguyên tố cùng nhau. Vì vậy tồn tại hai số nguyên sao cho:
$$us - vt = 1, \ \ \ (3)$$
Đặt: $g(x,y) = f(ux+ty;vx+sy)$, ta có:
$$\min_{(x,y)\in T} g(x,y) = \min_{(x,y)\in T} f(ux+ty,vx+sy) = f(u,v) = z, \ \ (4)$$
(đạt tại $x = 1, y = 0$).
Ta lại có:
$$g(x,y) = f(ux+ty;vx+sy) = f(u,v)x^2 + 2wxy+f(s,t)y^2$$
Với $w = uat + vsc + btv + bus$
Từ $(3)$ ta có:
$$zf(t,s) = f(u,v).f(t,s) = w^2 + D$$
Vậy:
$$g(x,y) = z\left ( x+\frac{w}{z}y \right )^2+D\frac{y^2}{z}$$
Đặt:
$$n=\left\{\begin{matrix}\left [ \dfrac{w}{z} \right ]&khi \ \left \{ \dfrac{w}{z} \right \} \leq \frac{1}{2} \\ \\
\left [ \dfrac{w}{z} \right ]+ 1&khi \ \left \{ \dfrac{w}{z} \right \} > \frac{1}{2}
\end{matrix}\right.$$
Ta có:
$$\left | n - \frac{w}{z} \right | \leq \frac{1}{2}$$
Từ đó:
$$z \leq g(n,-1) = z\left ( n-\frac{w}{z} \right )^2+\frac{D}{z} \leq \frac{z}{4} + \frac{D}{z}$$
$$\Rightarrow z^2 \leq 2\sqrt{\frac{D}{3}}$$
Ta có điều phải chứng minh.

p/s: Chả hiểu gì cả. :(

PSW : 7/7 điểm :) - bài này từng có trên THTT :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 05-07-2012 - 15:28

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#17 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3116 Bài viết
  • 1000 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-02-2012 - 22:22

Còn mấy tiếng nữa là kết thúc. Mình (E.Galois) cố đấm ăn xôi cho ALPHA

Câu 6 :

Cho trước số nguyên $ n \ge 2$ ; các số thực $ x_1 ; x_2 ; ... ; x_n $ thoả mãn :

$\sum_{i=1}^{n} x^2_i + \sum_{i=1}^{n-1}x_i x_{i+1} =1$

Với mỗi $ 1 \le k \le n$

Tìm GTLN của $ | x_k|$

Ta sẽ chứng minh rằng:
$$|x_k| \leq \sqrt{\dfrac{2n}{n+1}}, 1 \leq k \leq n$$

PSW : 0/8 :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 05-07-2012 - 15:31

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#18 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản lý
  • 468 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-02-2012 - 04:51

Đây al2 trận đấu khá fairplay của cả 2 đội ; đáng khen :)

1) Thể lệ
2) Tổng hợp điểm
3) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300
Hãy cùng tham gia, giải bài, tích điểm và nhận quà! :D


#19 PTH_Thái Hà

PTH_Thái Hà

    David Tennant -- Doctor Who

  • Thành viên
  • 522 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HMU 12-18
  • Sở thích:MATH; FOOTBALL; M4U+Thùy Chi

Đã gửi 04-03-2012 - 21:13

Đề đội Delta khó quá, đề nghị cung cấp đáp án để ALPHA mở rộng tầm mắt
Giải nhì quốc gia. Yeah

#20 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản lý
  • 468 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-03-2012 - 22:35

Thể theo nguyện vọng của Hà :

File gửi kèm


1) Thể lệ
2) Tổng hợp điểm
3) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300
Hãy cùng tham gia, giải bài, tích điểm và nhận quà! :D






Bài viết liên quan

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh