Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Cơ sở của không gian vector


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Ham_Toan

Ham_Toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết

Đã gửi 21-09-2005 - 12:36

Các bạn cho mình hỏi: Làm sao để CM được rằng mọi không gian vector đều có ít nhất một cơ sở ?
Mình đã dùng bổ đề Zorn rồi, nhưng vẫn chưa tìm được lời giải !

Xin cám ơn các bạn 1

#2 Mr Stoke

Mr Stoke

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 546 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-09-2005 - 14:11

Chac khong gian phai khac http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{0\} roi :D

Xet ho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\leq : ta noi neu co mot don anh tu A vao B ==> chon tap con toi dai ==> chac chan se tim duoc ;) (trong chung minh co su dung dinh ly doi xung cua Berstein-Schroder)
Mathematics and Friend Forum: www.mathnfriend.org

#3 Ham_Toan

Ham_Toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết

Đã gửi 22-09-2005 - 22:40

Chac khong gian phai khac http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{0\} roi :D

Xet ho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\leq : ta noi neu co mot don anh tu A vao B ==> chon tap con toi dai ==> chac chan se tim duoc ;) (trong chung minh co su dung dinh ly doi xung cua Berstein-Schroder)

Mr. Stoke oi, mình cũng đã làm giống như bạn, nhưng đến phần CM tập tối đại đó là cơ sở thì mình bó tay.
Mong bạn có thể chỉ giúp mình

Cám ơn nhiều !

#4 nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 23-09-2005 - 10:51

Các bạn cho mình hỏi: Làm sao để CM được rằng mọi không gian vector đều có ít nhất một cơ sở ?

Điều này không chắc đúng, nếu không gian Vector đang xét là E={0} thì E không tồn tại một cơ sở nào (chính xác hơn là không tồn tại một tập độc lập tuyến tính trong E). Với mọi không gian Vector khác không gian E như trên đều có vô hạn phần tử (điều này khác cơ bản với không gian metric) và luôn tồn tại một cơ sở.

(Không biết Ham_Toan học ở đâu, nếu học ở KHTN thì cứ đặt vấn đề với thầy Đức :approx)
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#5 vinhspiderman

vinhspiderman

    Tồ đại hiệp

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
  • Đến từ:Một miền đầy gió và cát biển!
  • Sở thích: Mọi thứ trừ con gái!

Đã gửi 23-09-2005 - 11:21

Điều nemo nói thật ra ... chỉ là vấn đề quy ước toán học.
Người ta tránh chỗ không gian vector {0} không có cơ sở bằng cách quy ước tập rỗng luôn là một tập độc lập tuyến tính. Rồi định nghĩ không gian vector sinh ra bởi một tập hợp là không gian vector bé nhất chứa tập hợp đó (trong lý thuyết tổng quát hơn về module người ta cũng làm như vậy, xem module tầm thường {0} được sinh ra bởi tập rỗng). Như vậy có thể xem {0} là không gian vector có cơ sở là tập rỗng. Và khi đó có thể phát biểu như Ham toan mà không sợ bị vi phạm gì.

@ Ham toan : Trường hợp X={0} là tầm thường bởi quy ước ở trên. Nếu X khác {0}, như Mr. Stoke nói, dùng bổ đề Zorn (cụ Zorn này đúng là giỏi, chẳng có bổ đề của cụ thì nhiều lý thuyết đều bó tay!) ta suy ra tồn tại phần tử tối đại trong họ tất cả các tập con độc lập tuyến tính. Khi ấy phần tử tối đại ấy sẽ là cơ sở của X. Kiểm tra điều này đơn giản thôi.

Gọi phần tử đó là B, giả sử x thuộc X bất kì, nếu x thuộc B thì khỏi phải nói, nếu x nằm ngoài B, khi ấy hợp của B và {x} phải phụ thuộc tuyến tính (do B tối đại). Suy ra tồn tại một bộ hữu hạn các x1,...,xn trong B và các đại lượng vô hướng a,a1,...,an sao cho : ax+a1.x1+...+an.xn=0. Nếu a=0 thì suy ra x1,...,xn phụ thuộc tuyến tính mâu thuẫn với B là độc lập tuyến tính! Vậy a khác 0, chia a cho các a1,...,an ta được x biểu diễn tuyến tính qua x1,...,xn. Do x là tùy ý nên suy ra B là tập sinh của X. Vậy theo định nghĩ, B là cơ sở của X.
Để rõ hơn bạn có thể tham khảo sách Giải tích hàm của bác Phan Đức Chính.
Lạy chúa!
Con không hề hoài nghi tí nào về sự hiện hữu hoài nghi của người nhưng con hoài nghi rất nhiều về sự minh mẫn và công bình của người!

#6 nemo

nemo

    Hoa Anh Thảo

  • Founder
  • 416 Bài viết
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 23-09-2005 - 11:32

Nói thật bây giờ mình mới biết chuyện qui ước này đấy, vừa nãy cũng có hỏi thầy về chuyện cơ sở của không gian Vector nhưng thầy cũng trả lời không gian Vector {0} không có cơ sở !?

Bổ đề Zorn tương đương với hàng loạt định lý, tiên đề khác, chắc bác Vinh khen cụ Zorn là vì cụ ấy là phần tử tối đại trong tập hợp các cụ tìm ra bổ đề này theo quan hệ "old" nhỉ !? :approx
<span style='color:purple'>Cây nghiêng không sợ chết đứng !</span>

#7 Ham_Toan

Ham_Toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết

Đã gửi 24-09-2005 - 00:14

Nói thật bây giờ mình mới biết chuyện qui ước này đấy, vừa nãy cũng có hỏi thầy về chuyện cơ sở của không gian Vector nhưng thầy cũng trả lời không gian Vector {0} không có cơ sở !?

Về vấn đề {0} hay tập :in thì có vô số điều quái dị
Vd như: Ta thường nghĩ:
:approx Ai (i :approx I) là tập con của :cup Ai (i :approx I)
Nhưng nếu I là tập :D thì ta sẽ có điều ngược lại.


Nếu a=0 thì suy ra x1,...,xn phụ thuộc tuyến tính mâu thuẫn với B là độc lập tuyến tính! Vậy a khác 0, chia a cho các a1,...,an


"a chia cho các a1,...,an" liệu phép chia này có ý nghĩa không ? Vì trong không gian vector, ta chỉ có định nghĩa phép nhân vớ đại lượng vô hướng.

#8 Mr Stoke

Mr Stoke

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 546 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-09-2005 - 12:16

Nếu a=0 thì suy ra x1,...,xn phụ thuộc tuyến tính mâu thuẫn với B là độc lập tuyến tính! Vậy a khác 0, chia a cho các a1,...,an


"a chia cho các a1,...,an" liệu phép chia này có ý nghĩa không ? Vì trong không gian vector, ta chỉ có định nghĩa phép nhân vớ đại lượng vô hướng.

Có nghĩa đấy cứ nghĩ kĩ đi bạn à :approx, (ý của chú nhện chắc là nhân nghịch đảo).

Nhờ định lý đối xứng với cách xây dựng trên vừa chỉ ra được http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\leq là một quan hệ thứ tự toàn phần, vừa dựa trên đó có thể chỉ ra mọi cơ sở của một không gian đều có cùng lực lượng.
Mathematics and Friend Forum: www.mathnfriend.org




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh