Đến nội dung


Kì thi giải toán VMEO của Diễn đàn Toán học

ĐỀ THI THÁNG 12 (Hạn nhận bài: 23h59 ngày 09/02/2016)
Thảo luận về đề thi tháng 10 và 11
Thể lệ
Danh sách BTC
Đăng kí tham gia dự thi
Hỏi đáp


Chuyên mục

 Photo

Cách thắng trò chơi Nim

06-02-2016

Một số trò chơi thường thiên về may mắn, như khả năng chiến thắng của bạn dựa trên xúc xắc bạn lắc hay lá bài bạn được phát. Nhưng vẫn có những trò chơi cần chiến lược, nếu bạn chơi khéo léo, bảo đảm bạn sẽ giành chiến thắng.

 

Một ví dụ đó là trò chơi Nim, một trò chơi cổ xưa. Cho dù trò chơi đang ở giai đoạn nào, ta luôn có một chiến thuật thắng cho một trong hai người chơi, và một hình thức bổ sung rất thú vị sẽ cho bạn biết ai là người chiến thắng.

 

I. LUẬT CHƠI NIM

 

Trò chơi truyền thống Nim được chơi với một số đồng xu được sắp xếp thành nhiều đống, cách sắp số lượng đồng xu và đống tùy thuộc vào bạn. Có hai người chơi, khi đến lượt, người chơi có thể lấy một số lượng tùy ý đồng xu từ một đống duy nhất. Họ phải lấy ít nhất 1 đồng xu và họ không được lấy các đồng xu từ đống khác. Người thắng là người lấy đồng xu cuối cùng, nghĩa là không còn đồng xu nào sau nước đi của người đó. (Một số người chơi có cách chơi khác, người lấy đồng xu cuối cùng sẽ thua, nhưng hiện tại chúng ta sẽ bỏ qua phiên bản đó)

 

Rõ ràng ở đây không có sự may mắn. Bạn có thể tìm ra nước đi tốt nhất bằng việc dự đoán kết quả của nước đi trước đó một cách khéo léo.

 

Ví dụ về cách chơi trò này như sau: Giả sử có 3 đống, mỗi đống lần lượt có 3,4,5 đồng xu. Sau đây là quy trình chơi:

nim.png

Trò chơi Nim bắt đầu với 3 đống với mỗi đống lần lượt có 3,4,5 đồng xu. A là người chiến thắng

 

Câu hỏi mà chúng ta quan tâm là: Cho một trạng thái cụ thể các đống và đồng xu, liệu có một chiến lược thắng cho một trong các người chơi? Nghĩa là, liệu có một người chơi được đảm bảo sẽ thắng nếu người đó đi đúng bước?

 

Hãy bắt đầu với một vài ví dụ. Giả sử có 2 người chơi A và B, A là người đi trước. Giả sử có 2 đống, mỗi đống có 1 đồng xu. Rõ ràng, B là người chiến thắng vì A buộc phải lấy 1 trong 2 đồng xu, để lại cho B lấy đồng cuối cùng.

 

Bây giờ giả sử có 2 đống, một đống có 2 đồng xu, đống còn lại có 1 đồng xu. Người chơi A sẽ có chiến lược thắng: Lấy 1 đồng từ đống có 2 đồng xu. Khi đó ta còn lại 2 đống, mỗi đống 1 đồng xu và người chơi B đi tiếp. Như ví dụ trước, A là người thắng cuộc.

 

Chúng ta cùng làm thêm một ví dụ nữa: Giả sử có 2 đống với 2 đồng xu mỗi đống. Lúc này B sẽ là người có chiến thuật thắng. Nếu A lấy hết một đống, B chỉ cần lấy đống còn lại và thắng. Nếu A chỉ lấy 1 đồng của một đống thì chúng ta trở về lại trường hợp trên với B đi trước. Do đó B luôn đảm bảo sẽ thắng nếu B lấy 1 đồng từ đống có 2 đồng xu.

 

nim_coins.jpg

Ai có chiến lược thắng?

 

Từ chuỗi ví dụ trên, bạn có thể cảm giác rằng có một mô hình nào đó cho trò chơi này: Cho một cách sắp xếp các đống và các đồng xu, sẽ có một chiến lược thắng cho một trong hai người chơi. Nhà toán học Charles Bouton (1869-1922) cũng cảm thấy điều tương tự và đặt mình vào nhiệm vụ khó khăn là phân tích toàn bộ trỏ chơi trên. Năm 1902 ông đã tìm ra bí quyết - và bí quyết này thật tinh tế! Để tìm ra có một chiến thuật thắng cho người chơi, đầu tiên bạn cần phải ...

 

II. SỬ DỤNG DÃY NHỊ PHÂN

 

Bí mật ở đây chính là viết số lượng đồng xu trong các đống thành số nhị phân. Để biết làm như thế nào, cần nhớ lại cách viết số thập phân thông thường như thế nào. Lấy 4302 làm ví dụ, 4 ở đây không đơn thuần chỉ là số 4, mà lã 4000 hay $4\times 1000$. Tương tự, 3 không đơn thuần chỉ là số 3 mà là $300=3\times 100$, 0 đại diện cho $0\times 10$, và 2 đại diện cho $2\times 1$. Như vậy 4302 nghĩa là:

                                              $$4\times 1000+3\times 100+0\times 10+2\times 1$$

Tương tự số 7396 được biểu diễn là

                                              $$7\times 1000+3\times 100+9\times 10+6\times 1$$

Các số 1000, 100, 10 và 1, xuất hiện ở các biểu thức trên có điểm chung là gì? Chúng đều là lũy thừa của 10

                                                                                $$1000={{10}^{3}}$$

                                                                                 $$100={{10}^{2}}$$

                                                                                  $$10={{10}^{1}}$$

                                                                                   $$1={{10}^{0}}$$

Để viết các số theo hệ thập phân, đầu tiên bạn cần phải viết chúng dưới dạng tổng liên tiếp các lũy thừa của 10 (với lũy thừa lớn nhất ở bên trái), và sau đó viết các hệ số của các lũy thừa đó. Chúng ta có thể làm tương tự với lũy thừa của 2 thay vì 10. Ví dụ, giá trị của dãy nhị phân 110 viết dưới hệ thập phân là:

                                $$1\times {{2}^{2}}+1\times {{2}^{1}}+0\times {{2}^{0}}=4+2+0=6$$

Và dãy nhị phân 10001 biểu diễn trong hệ thập phân là

$$1\times {{2}^{4}}+0\times {{2}^{3}}+0\times {{2}^{2}}+0\times {{2}^{1}}+1\times {{2}^{0}}=16+0+0+0+1=17$$

Bạn có thể hiểu rằng dãy nhị phân chỉ chứa duy nhất hai giá trị là 0 hoặc 1, khi bạn viết một số dưới dạng tổng liên tiếp các lũy thừa của 2, các hệ số khác là không cần thiết.

 

III. CỘNG THEO CÁCH CHƠI NIM

 

Bí mật để tìm ra chiến lược thắng nằm ở cách viết số kích thước của các đống (số lượng đồng xu của từng đống) theo dạng nhị phân và cộng chúng lại với nhau, nhưng không phải cộng theo cách thông thường, mà là cộng theo một cách khác, gọi là "Phép cộng Nim".

 

Để cộng một số số nhị phân cho trước bằng "phép cộng Nim", đầu tiên bạn viết chúng theo dạng cột (viết số sau đứng dưới số trước), như cách thực hiện phép cộng thông thường. Sau đó bạn nhìn từng cột theo thứ tự. Nếu số lượng các con số 1 là lẻ, bạn viết 1 ở dưới chúng, nếu số lượng chẵn, viết số 0 dưới chúng. Làm như vậy với từng cột cho ra số nhị phân mới, và đó là kết quả của "phép cộng Nim".

nimrod.png

Một trong những trò chơi máy tính đầu tiên có tên là Nimrod, được thế kế để chơi trò chơi Nim.

Trò chơi này được triển lãm vào năm 1951 tại Festival Anh quốc

 

Ví dụ, hãy cộng (theo cách Nim) các số nhị phân 10, 11, và 100 (các số này biểu diễn dưới thập phân là 2, 3 và 4):

Capture.PNG

 

Vậy kết quả của "phép cộng Nim" là số số nhị phân 101. "Phép cộng Nim" không giống với phép cộng thông thường, số nhị phân 101 là 5 ở hệ thập phân, không bằng với phép cộng thông thường là $2+3+4=9$

 

IV. AI THẮNG CUỘC?

 

Khi Charles Bouton phân tích trò chơi Nim, ông phát hiện ra 2 điều nắm giữ chìa khóa dẫn đến chiến lược thắng.

 

Điều 1: Giả sử đến lượt bạn và tổng Nim các đồng xu trong các đống bằng 0. Cho dù bạn làm gì đi nữa, tổng Nim các đồng xu sau khi bạn thực hiện nước đi đều khác 0.

 

Điều 2: Giả sử đến lượt bạn và tổng Nim các đồng xu trong các đống khác 0. Lúc đó, luôn có một nước đi đảm bảo rằng sau khi bạn thực hiện nước đi, tổng Nim các đồng xu trong các đống bằng 0.

 

Không khó để chứng minh các điều trên luôn đúng, nhưng bạn có thể tự trải nghiệm bằng cách chơi với các đống xu.

 

Bây giờ giả sử bạn là người chơi A, bạn đi trước, cũng giả sử rằng tổng Nim số lượng các đồng xu trong các đống khác 0. Chiến lược của bạn như sau: Đi nước đi sao cho có thể làm giảm tổng Nim tiếp theo (tổng Nim sau khi bạn đi) về 0. Điều này nghĩa là cho dù B đi thế nào ở nước kế tiếp thì theo "điều 1" nước đi đó sẽ biến tổng Nim tiếp theo thành một số khác 0.

 

Chúng ta hãy xem tổng Nim trong bảng sau:

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Người chơi đi nước tiếp theo} & \textbf{Tổng Nim} & \textbf{Tổng Nim có thể giảm về 0?} &\textbf{Tổng Nim tiếp theo}\\ \hline A     & \text{Khác } 0 & \text{Có} & 0 \\  \hline B     & 0 & \text{Không} & \text{Khác } 0 \\  \hline A     & \text{Khác } 0 & \text{Có} & 0 \\  \hline B     & 0 & \text{Không} & \text{Khác } 0 \\ \hline A     & \text{Khác } 0 & \text{Có} & 0 \\  \hline ...     & ... & ... & ... \\     \hline \end{array}$$

 

Các giá trị 0 và khác 0 của tổng Nim theo bảng trên sẽ đảm bảo bạn là người chiến thắng! Nếu B thắng, B sẽ thực hiện nước đi không chừa lại đồng xu nào, nghĩa là B sẽ tạo ra nước đi mà kết quả tổng Nim bằng 0 mà như chúng ta đã thấy là không thể. Ngược lại, nước đi của bạn luôn làm tổng Nim giảm về 0 và tại một số thời điểm của trò chơi thì tổng Nim bằng 0 sẽ tương ứng với không còn đồng xu còn lại, khi đó bạn thắng.

Điều này chỉ ra rằng nếu tổng Nim các đồng xu trong các đống ở thời điểm bắt đầu khác 0, thì A có chiến lược thắng. Chiến lược này luôn tạo ra nước đi làm giảm tổng Nim tiếp theo về 0. (Bạn có thể kiểm tra điều này bằng cách xem đây là chiến lược được A chơi trong ví dụ ở đầu bài viết.)

 

Nếu tổng Nim các đồng xu trong các đống ở thời điểm bắt đầu của trò chơi bằng 0, thì B là người có chiến thuật thắng. Cho dù A có đi nước đầu như thế nào thì kết quả tổng Nim vẫn khác 0 khi đến lượt B và như đã đề cập ở trên, điều này có nghĩa B có chiến lược thắng.

 

V. PHÉP CỘNG NIM THỐNG TRỊ THẾ GIỚI

 

Phép cộng Nim rõ ràng rất có lợi khi chơi trò chơi Nim, nhưng phép cộng Nim chỉ có tác dụng trong trò chơi này, đúng chứ? Sai rồi! Thật ra trong mỗi ngày ta đều sử dụng cách cộng số kỳ lạ này.

 

Máy tính là thiết bị nhị phân. Tất cả thông tin lưu trữ (bao gồm các con số) được chuyển hóa thành các dãy 0 và 1. Nhưng máy tính không chỉ lưu trữ dữ liệu, chúng còn thực hiện được các lệnh logic, dựa trên câu trả lời có/không. Ví dụ, cho một tên tài khoản và mật khẩu, máy tính tự hỏi:"Đây có là tài khoản chính xác?" và "Đây có là mật khẩu chính xác?" và dựa trên câu trả lời để quyết định có để người dùng truy cập vào hay không. Lưu ý rằng các lệnh này dùng 2 lệnh nhập (tài khoản đúng? Mật khẩu đúng?) và xuất ra một lệnh (truy cập hoặc không truy cập),

Viết 0 cho giá trị "không" và 1 cho giá trị "có", những lệnh logic này cũng có thể chuyển hóa thành dãy nhị phân chứa các số 0 và 1. May mắn thay, hóa ra tất cả các lệnh logic bạn muốn thực hiện được tạo ra từ 6 loại cơ bản. Bạn đơn giản chỉ cần thiết lập đúng cách.

binary.jpg

Máy tính là thiết bị nhị phân

 

Một trong những lệnh cơ bản là XOR. Lệnh này cần 2 đầu vào (input), mỗi đầu vào có giá trị 0 hoặc 1, và chuyển thành một đầu ra (output), cũng có giá trị là 0 hoặc 1. Đây là bảng chân trị XOR

Capture.PNG

Nhìn kĩ hơn thì ta thấy rằng XOR giống hoàn toàn với tổng Nim của các số 0 và 1:

Capture.PNG

Do đó, rất nhiều lệnh mà máy tính của bạn thực hiện hằng ngày đều dựa trên tổng Nim. Không có máy tính, mọi thứ sẽ rất khác. 

 

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.

 

Nguồn: https://plus.maths.o...t/play-win-nim 

  278 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Kì thi tìm kiếm tài năng Toán học trẻ (MYTS) 2016

04-02-2016

VNposter-1.png

 

Giới thiệu.

 

Kỳ thi tìm kiếm Tài năng Toán học trẻ (MYTS) giành cho thí sinh từ 10 đến 14 tuổi, được Hội Toán học Việt Nam và Hexagon of Maths & Science tổ chức thường niên nhằm tạo sân chơi khuyến khích học sinh yêu mến môn toán học. Thí sinh đăng ký dự thi trên cơ sở tự nguyện. 

 

Các bạn có thể tham khảo đề thi MYTS năm 2015 tại đây.

 

Ban tổ chức:

 

Đồng trưởng ban Tổ chức: GS.TS Nguyễn Hữu Dư, Chủ tịch Hội Toán học Việt Nam; TS. Vũ Thế Khôi, Viện Toán học; Phạm Văn Thuận, Hexagon of Maths & Science.
 
Ủy viên: TS. Ngô Quốc Anh, Đại học Khoa học Tự nhiên;  TS. Đào Phương Bắc, Đại học Khoa học Tự nhiên; Đỗ Minh Khoa, Hà Nội; TS. Lê Minh Hà, Đại học Khoa học Tự nhiên; TS. Nguyễn Thị Lê Hương, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán;  Nguyễn Tiến Lâm, Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên;    TS. Ngô Hoàng Long, Đại học Sư Phạm Hà Nội; TS. Nguyễn Hồng Vân, Đại học Khoa học Tự nhiên; TS. Lê Vĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên.
 
Thời gian, địa điểm:
 
MYTS 2016 được tổ chức tại Đại Học Thăng Long, Hà Nội, trong hai ngày chủ nhật:
 
Vòng 1:  ngày 27 tháng 03 năm 2016.
Vòng 2:  ngày 03 tháng 04 năm 2016.
Giải thưởng:
Các thí sinh đạt giải sẽ nhận Huy chương, Giấy chứng nhận của Hội Toán học Việt Nam.
 
Thông tin chính thức về kỳ thi:
 
Công văn gửi các trường THCS của VMS xem tại ĐÂY
Hãy đọc thông tin hướng dẫn chính thức trong tệp đính kèm TẠI ĐÂY.
 
Đề thi MYTS
 
Mỗi khối lớp có một đề thi riêng, phù hợp với trình độ và tâm lý lứa tuổi.
Đề thi do nhiều nhà toán học và các thầy giáo toán ở Việt Nam và các nước cùng xây dựng. 
 
Đăng ký dự thi:
 
Thí sinh có thể đăng kí dự thi qua link này.
 
Cập nhật thông tin:
 
Các bạn có thể cập nhật thêm thông tin mới tại:
 
Facebook Fanpage của MYTS tại đây.
Webpage đăng kí thi MYTS tại đây.
 

Nguồn: hexagon.edu.vn

  1056 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi myts2016 )

 Photo

Hệ số Gini trong phân phối tài sản

20-01-2016

Trong xã hội “hoàn hảo”, mọi người đều được phân phối tài sản (hoặc thu nhập) một cách công bằng. (đừng lo lắng, đây là bài báo về toán học, không phải về Chủ nghĩa Cộng sản!)

 

Hệ số Gini là một cách dùng để đo đạc xem làm thế nào để thu nhập (hoặc là tài sản) được phân chia đều trên khắp đất nước.

 

Hệ số Gini được tính như sau: Chúng ta xác định thu nhập của tất cả mọi người trên đất nước và biểu diễn thông tin đó dưới dạng lũy tích phần trăm của mỗi người đối với lũy tích phân phối thu nhập kiếm được. Điều này cho chúng ta đường cong Lorenz, thường có dạng như sau:

Gini_coefficient2.gif

Nói đơn giản, đồ thị trên chỉ ra phần tỉ lệ thu nhập đến tay những người nghèo nhất, người có thu nhập trung bình và người giàu có nhất.

 

Luôn luôn có người giàu, người nghèo, nhưng chúng ta quan tâm đến cách để phân phối tài sản một cách công bằng và hầu hết Chính phủ đều nỗ lực để giữ hệ số này thấp nhất có thể.

 

Hệ số Gini dao động giữa 0 và 1 (hoặc có thể mở rộng từ 0 đến 100) và xác định bởi tỉ lệ các diện tích:

$$\text{Hệ số Gini}=\frac{A}{A+B}$$

Nếu $A=0$, có nghĩa là đường cong Lorenz thực sự là đường cân bằng. Trong trường hợp này, hệ số Gini là 0 và đây chính là sự phân chia thu nhập  “hoàn hảo” (mọi người đều kiếm được cùng một lượng giống nhau).

 

Nếu diện tích $A$ rất lớn (làm cho $B$ rất nhỏ) thì hệ số Gini sẽ lớn (hầu như là 1), có nghĩa đây là sự phân phối thu nhập không công bằng. Đất nước với hệ số Gini lớn thường trở nên không ổn đinh vì phần lớn người nghèo ganh tị với phần nhỏ những người giàu có.

 

I. ĐIỀU NÀY CÓ NGHĨA GÌ?

 

Hãy cố gắng để hiểu đồ thị trên

 

Ví dụ, cho rằng có 10 người sống trong một làng và thu nhập của làng là 100 Dollar mỗi ngày. Nếu mỗi người được chia đều phần thu nhập trên thì mỗi người có 10 Dollar mỗi ngày.

 

Vì vậy sự phân chia thu nhập như sau. (“Lũy tích” chỉ có nghĩa là thêm vào số bạn có sau mỗi bước).

gini1.JPG

Cho nên đối với xã hội với sự phân phối thu nhập hoàn hảo, chúng ta có thể vẽ đồ thị lũy tích của dân số (trên trục tung) đối với lũy tích phần trăm thu nhập (trên trục hoành) như sau:

lorenz-perfect-equal.gif

Trong trường hợp trên, $A=0$ nên hệ số Gini là 0

 

Bây giờ, con người vẫn là con người mà thôi, một vài người trong làng quyết định họ xứng đáng được trả nhiều hơn vì họ đã làm việc vất vả, hoặc là vì họ lớn tuổi, hoặc vì họ có nhiều con cái hơn, hay là lí do khác nào đó. Cho nên 3 người trong số họ (người $H,~I$ và $J$) quyết định sẽ giữ 15% thu nhập của bản thân và phân chia đều phần còn lại cho những người khác. Tuy nhiên, họ thấy như vậy cũng không công bằng, cho nên họ lại quyết định rằng 3 người lười biếng nhất trong làng (người $A,~B$ và $C$) chỉ nhận được 5% thu nhập. Bây giờ ta có bảng như sau:

gini2.JPG

Vẽ đồ thị cho bảng trên và xem nó trông như thế nào.

 

Tóm lại, phần dưới 30% dân số kiếm được 15% thu nhập, trong khi phần trên 30% kiếm được 45% thu nhập.

 

Chúng ta đã tạo bóng cho 2 miền này trên đồ thị, miền $A$ (có bóng màu đỏ thắm) và vùng B (có bóng màu xanh).

 

Đặt lại hệ số Gini là tỉ số các diện tích :

                                                             $$\frac{A}{A+B}$$

Diện tích $A=0.095~$(tính toán từ khu vực $B$ có một tam giác và 2 hình thang trừ đi 0.50)

 

Diện tích $\left( A~+~B \right)~=~0.5$ (một nửa hình chữ nhật)

 

Cho nên hệ số Gini trong trường hợp này là:

                                                      $$\frac{0.095}{0.5}=0.19~$$

Ta làm bước tiếp theo. Ba người giàu nhất ($H,~I$ và $J$) đánh nhau và $J$ là người chiến thắng. Anh ấy yêu cầu giữ 50%  thu nhập và để phần còn lại cho $H$ và $I$ chia nhau.

 

Sau đó $H$ và $I$ đánh nhau và $I~$chiến thắng. Anh ấy muốn 33%  và đưa 10% cho $H$ và họ quyết định sẽ đưa phần còn thừa lại (1% hoặc 1 Dollar mỗi ngày) cho những người còn lại trong làng.

(Hàng triệu người sống với ít hơn 1 Dollar mỗi ngày)

gini3.JPG

Bây giờ ta có sự phân chia thu nhập rất không công bằng. Phần dưới 70% dân số kiếm được chỉ 7% thu nhập, trong khi đó phần trên 30% kiếm được 93% thu nhập.

 

Đây là đồ thị

lorenz-uneven.gif

Hệ số Gini của trường hợp này rất cao:

                                                       $$\frac{0.355}{0.5}=0.71$$

Cuối cùng, trường hợp khắc nghiệt nhất, khi người $J$ trở thành nhà độc tài và quyết định tất cả thu nhập sẽ vào tay anh ta và những người khác không nhận được gì cả.

 

Lũy tích của thu nhập là 0% từ người $A$ tới $I$, sau đó tăng vọt lên tới 100% cho người $J$. Đây là đồ thị.

lorenz-none.gif

Lúc này khu vực A rất lớn và hệ số Gini là:

                                                         $$\frac{0.45}{0.5}=0.9$$

Tại sao hệ số này lại không bằng 1?

 

Trường hợp cao nhất có thể có của hệ số Gini là 1 và kéo theo 1 người lấy tất cả thu nhập.

 

Trong câu chuyện này, ta chỉ có 10 người cho ví dụ về dân số. Nếu có 100 triệu người trong khu vực và một người có hết tất cả thu nhập thì hệ số Gini sẽ là 0.999999, rất gần 1.

 

II. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÌM HỆ SỐ GINI

 

Câu chuyện ở trên đã được đơn giản hóa và với dữ liệu lớn thì đường cong Lorenz sẽ xuất hiện như đường cong chứ không phải là chuỗi các đoạn thẳng.

lorenz-more-data-points.gif

Lúc này ta mô hình bằng đường cong Lorenz:

$$\text{Lũy tích phân phối thu nhập }=(\text{lũy tích phân phối cho người})^{5}$$

Nếu ta sử dụng $I$ (cho thu nhập ) và $P$ (cho người), thì công thức trên sẽ được viết là $I={{P}^{5}}$

 

Chúng ta tìm vùng A như sau:

$$\text{Diện tích }A=0.5- \text{Diện tích }B=0.5 - \int_{0}^{1}P^{5}\, dP$$

Dẫn đến:

                          $$0.5-\left[ \frac{{{P}^{6}}}{6} \right]=0.5-0.166667=0.33333$$

Cho nên hệ số Gini trong trường hợp này rất cao, là:

                                                     $$\frac{0.3333}{0.5}=0.667$$

Hệ số Gini ở nhiều nước khác nhau:

gini4.JPG

Hệ số của Trung Quốc rất cao và điều này đang tạo ra nhiều sự quan tâm. Các tỉnh phía đông đang phát triển tốt và đóng góp phần lớn tăng trưởng thu nhập, còn vùng nông thôn phía tây thì vẫn còn rất nghèo.

 

Bạn có thể xem danh sách đầy đủ ở đây:

https://en.wikipedia...income_equality

 

III. TRƯỜNG HỢP CỦA SINGAPORE

 

Đây là hệ số Gini cho Singapore trong thập kỉ vừa qua. Sự tăng trưởng nhanh chóng từ 2002 và đỉnh điểm là vào 2007 do một vài yếu tố, bao gồm tăng trưởng dân số nhanh chóng (do di cư) của những người có thu nhập cao, và tiếp đó là sự tăng trưởng mạnh mẽ trong toàn bộ nền kinh tế.

 

Sự sụt giảm vào năm 2008 và năm 209 là do ảnh hưởng của Cuộc khủng hoảng Kinh tế Toàn cầu, nhiều công việc lương cao hoặc biến mất, hoặc phải giảm tiền thưởng.

gini-coefficient-singapore.gif

 

Nguồn: http://www.intmath.c...stribution-4187

 

Người dịch: Đỗ Thị Hải Yến, thành viên Chuyên san EXP

  373 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Điểm thi tháng 10

19-01-2016

Gửi bởi perfectstrong trong Thông báo chung

Lưu ý:

Mỗi bài có 3 cột, từ trái qua: cột đầu tiên là điểm bài thi, cột thứ 2 là điểm mở rộng, cột thứ 3 là điểm nhận xét.

Ô trống nghĩa là không làm phần tương ứng.

 

Cấp THPT:

VMEO IV - score T10 - THPT.png

 

Cấp THCS:

VMEO IV - score T10 - THCS.png

 

Các bạn nếu có câu hỏi gì về điểm số của mình hay muốn đọc thêm về nhận xét bài làm của người chấm, xin hãy nhắn tin qua nick vmeovmf hoặc qua email vmeovmf@gmail.com.

  1685 Lượt xem · 10 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi mdbshhtb2002 )

 Photo

Muốn ít kẹt xe? Xây ít đường thôi

19-01-2016

Nếu bạn muốn giảm thiểu tình trạng kẹt xe,việc xem xét loại bỏ một số tuyến đường là cần thiết. Không tin ư? Sau đây là một vài ví dụ:

 

Đầu tiên là việc đóng cửa tuyến đường số 42, tuyến đường nhộn nhịp nối liền hai phía của thành phố New York trong suốt ngày Trái đất vào tháng Tư năm 1990 đã được cảnh báo sẽ gây nên một cuộc khủng hoảng, Tuy nhiên, tờ The New York Times đưa tin vào ngày 25 – 12 – 1990  rằng lưu thông của xe cộ thực ra đã cải thiện.

 

Một ví dụ khác, vào năm 2003, dự án phục hồi dòng suối Cheonggyencheon bắt đầu tại Seoul đã loại bỏ 6 làn đường cao tốc. Dự án hoàn thành vào năm 2005, bên cạnh mang lại lợi ích đáng kể cho môi trường, các phương tiện giao thông đã di chuyển nhanh hơn, ta có thể quan sát điều này xung quanh thành phố.

 

seoulafter.jpg

Suối Cheonggyencheon

 

Tương tự, các nhà quy hoạch đã yêu cầu đóng một số phần đường Chính tại Boston và một số phần của đường nối Borough và các ga ngầm Farringdon ở London.

 

Nếu việc đóng các tuyến đường có khả năng giúp xe cộ di chuyển thuận lợi thì việc mở rộng các tuyến đường có những ảnh hưởng tiêu cực. Ví dụ, vào những năm cuối thập niên 60 của thế kỉ 19, thành phố Stuttgart đã quyết định mở thêm tuyến đường mới nhằm làm giảm áp lực giao thông ở trung tâm thành phố. Tuy nhiên, giao thông lại ngày một tắc nghẽn hơn và chính quyền phải đóng cửa tuyến đường này, làm cho giao thông trở nên ổn định hơn.

 

Những câu chuyện như thế này thì có rất nhiều và bạn chắc hẳn sẽ nghi ngờ, ẩn chứa đằng sau những vấn đề này chính là những vấn đề liên quan đến toán học. Thật vậy, vào năm 1968, nhà Toán học Dietrich Braess, khi đó đang làm việc tại viện nghiên cứu “Số học và Toán học ứng dụng” ở Münster, Đức, đã chứng minh rằng: “Việc mở rộng mạng lưới các tuyến đường bằng cách thêm một tuyến đường mới có thể phân bố lại lưu thông của các phương tiện giao thông,  tức khiến thời gian đi lại sẽ tăng lên.” Ở bài toán này, Braess đã giả sử rằng người lái xe đều lái một cách ích kỷ, mỗi người sẽ tự chọn một tuyến đường mà họ thấy có lợi cho riêng bản thân họ, không cần phải chú ý đến lợi ích của người khác. Giả định này phản ánh điều kiện khắc nghiệt của giao thông vào giờ cao điểm khá tốt.

 

Hiện tượng do Braess tìm được bây giờ ta sẽ gọi là “nghịch lý Braess”, thực ra không hẳn là nghịch lý, hiện tượng này chỉ là những hành động không ngờ đến, cho thấy rằng chúng ta không được trang bị đủ tốt để dự đoán được kết quả của tập các tương tác.

 

Việc đóng cửa tuyến đường số 42 và dự án phục hồi dòng suối Cheonggyencheon chỉ là những ví dụ cho nghịch lý Braess khi những nơi loại bỏ một hay nhiều tuyến đường đã cải thiện thời gian đi lại trên cùng một mạng lưới đường bộ.

 

pillars.jpg

Những cây cột trụ còn lại sau khi phá bỏ đường cao tốc Cheonggyencheon

 

Bạn vẫn còn một chút ít nghi ngờ về nghịch lý Braess? Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ đi phân tích một ví dụ rất đơn giản.

 

I. TRƯỜNG HỢP VỚI MỘT CON ĐƯỜNG SIÊU NHANH

 

Mạng lưới đường đi từ $A$ đến $B$ như hình bên dưới:

example1.jpg

Mạng lưới đường đi

 

Vào giờ cao điểm, số lượng xe đi đến $A$ có thể lên đến 1500 xe trong một giờ, và các lái xe tự chọn cho mình một trong hai tuyến đường, tuyến 1 đi qua cây câu $a$, tuyến 2 đi qua cây cầu $b$.

 

Ta ký hiệu $L$ và $R$ để biểu thị cho số xe đi đến $B$ trong một giờ lần lượt qua tuyến đường 1 và tuyến đường 2.

 

Các cây cầu $a$ và $b$ là nơi gây tắt nghẽn giao thông. Chúng ta sẽ giả sử rằng thời gian qua cả hai cây cầu tỉ lệ thuận với số lượng xe đi qua trong mỗi giờ. Cụ thể, chúng ta giả sử rằng thời gian di chuyển qua cây cầu $a$ là $\frac{L}{100}$ phút và cây cầu $b$ là $\frac{R}{100}$ phút. Phần còn lại của hai tuyến đường là một trục đường giao thông khá lớn với thời gian di chuyển là 20 phút. Phải nói rằng, mặc dù giả định này có ý nghĩa, việc tính toán cho một mạng lưới trong thực tế là một ví dụ khó khi mô hình toán học.

 

Chúng ta muốn biết phân bố giao thông dự kiến, tức số lượng xe trên một giờ hay trên mỗi tuyến đường. Để làm được như thế, chúng ta tưởng tượng rằng mỗi tài xế đều lái xe đi qua mạng lưới nhiều lần, cụ thể là trường hợp cho tài xế lái xe mỗi ngày vào giờ cao điểm, điều này đã giúp ta phát triển một chiến lược đăc biệt giúp giảm thiểu thời gian đi lại. Theo như giả sử này, thời gian đi lại phải giống nhau với tất cả các tài xế lái xe, nếu không sẽ có một vài tác động để các tài xế lái xe thay đổi chiến lược di chuyển của mình. Ta gọi đây là trạng thái ổn định, hay cân bằng Nash, được đặt theo tên của nhà toán học đã giành giải Nobel là John F.Nash. Một trong những đóng góp của Nash có tên gọi là “trò chơi không hợp tác”, trong đó giao thông vào giờ cao điểm là một ví dụ cho trò chơi này.

 

nash.jpg

John Nash, tháng 3, 2008

 

Lưu ý rằng cân bằng Nash khác với tính cân bằng của cốc trà trên mặt bàn. Có thể nói rằng trong trường hợp này, cân bằng Nash là một cân bằng động nhằm duy trì lượng xe cần thiết đi vào $A$ mỗi giờ. Trạng thái cân bằng là tất cả mọi người đều có thời gian đi lại như nhau, không có ai hơn ai cả mặc dù chúng ta đã giả sử rằng tất cả các tài xế lái xe đều hành động ích kỉ, cố gắng giảm thời gian đi lại của họ và không quan tâm đến lợi ích của người khác. Nói cách khác, cho dù họ muốn hay không thì mỗi tài xế vẫn chịu tác động ảnh hưởng bởi những quyết định của các tài xế khác.

 

Bây giờ, ta xét thời gian đi lại (tính theo phút) trên mỗi tuyến đường:

 

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Đường 1:} & \frac{L}{100}+20 \\ \hline \text{Đường 2:} & \frac{R}{100}+20 \\ \hline \end{array}$$

 

Ở trạng thái cân bằng, chúng ta có thể viết:

                                            $$\frac{L}{100}+20=\frac{R}{100}+20$$

Hơn nữa, số lượng dòng xe lưu thông phải là tổng các xe $L$ và $R$, vậy:

                                                                    $$L+R=1500$$

Giải đồng thời hai phương trình trên, ta tìm được:

                                                                      $$L=R=750$$

Như vậy, phân bố giao thông đồng đều ở cả hai tuyến đường với thời gian đi lại là 27,5 phút.

Bây giờ chúng ta giả định rằng hệ thống đường bộ mở rộng thêm và phát triển một tuyến đường $c$ mới, đi siêu nhanh chỉ với 7 phút.

 

example2.jpg

Mở rộng mạng lưới đường đi

 

Liệu tuyến đường mới thêm vào hệ thống này có giảm thời gian di chuyển không? Cùng xem nhé!

 

Các tài xế lái xe bây giờ có thể chọn một trong 3 con đường, gồm 2 tuyến đường đã nêu ở trên và một tuyến đường thứ 3 là tuyến đường đi qua cây cầu $a$, đi theo đường $c$ và cuối cùng là đi qua cây cầu $b$. Như ở trên, ta gọi $L$ là lưu lượng xe ô tô đến $B$ qua tuyến đường 1, $R$ là lưu lượng xe rời $A$ theo tuyến đường 2. Ngoài ra, ta ký hiệu $C$ là lưu lượng xe đi trên tuyến đường $c$. Do đó, số lượng xe mỗi giờ đi qua cây cầu $a$ là $L+C$, số lượng xe mỗi giờ đi qua cây cầu $b$ là $R+C$. Do đó, thời gian đi lại trên 3 tuyến đường sẽ là:

 

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Đường 1:} & \frac{L}{100}+20 \\ \hline \text{Đường 2:} & \frac{R}{100}+20 \\ \hline \text{Đường 3:} & \frac{L+C}{100}+7+\frac{R+C}{100} \\ \hline \end{array}$$

 

Một lần nữa, chúng ta muốn tìm sự phân bố giao thông trên 3 tuyến đường.

 

Như đã đề cập ở trên, giao thông sẽ đạt đến một trạng thái ổn định hay cân bằng Nash khi thời gian đi lại là như nhau đối với tất cả các tài xế lái xe. Do vậy, ở trạng tháng cân bằng, chúng ta có:

  $$\frac{L+C}{100}+20=\frac{R+C}{100}+20=\frac{L+C}{100}+7+\frac{R+C}{100}$$

Từ đó cho ta hai phương trình sau:

                                      $$\frac{L+C}{100}+20=\frac{R+C}{100}+20$$

        $$\frac{R+C}{100}+20~=\frac{\left( L+C \right)}{100}+7+\frac{R+C}{100}$$

Ngoài ra, ta còn có:

                                                                  $$R+L+C=1500$$

Từ 3 phương trình trên, ta xác định được $L$, $R,$ $C$ và thời gian đi lại chung cho tất cả các lái xe:

                                                                      $$L=R=200$$

                                                                     $$C~=1100$$

$$\text{Thời gian di chuyển }=33\text{ phút}$$

Điều này cho thấy thời gian di chuyển là 33 phút, tăng 20% so với thời gian trước khi mở tuyến đường $c$.

 

Có gì không ổn ở đây! Con đường siêu nhanh này đã dụ được nhiều tài xế lái xe, gây ra tình trạng tắc nghẽn và ảnh hưởng xấu đến toàn bộ hệ thống đường bộ ở đây. Không có một tài xế nào có động cơ để chuyển sang một tuyến đường khác vì tất cả họ đều có cùng thời gian đi lại, do đó tất cả họ sẽ bị kẹt lại. Nói cách khác, hành vi ích kỷ của họ đã làm cho mạng lưới đường bộ mới mất đi hiệu quả, tăng thời gian đi lại lên đến 20% trước khi mở tuyến đường mới. Các nhà kinh tế học gọi hiện tượng này là “Giá phải trả cho tình trạng hỗn loạn”. Tuy nhiên, nếu các tài xế lái xe chấp nhận không đi con đường $c$, thì thời gian di chuyển sẽ giảm. Lựa chọn này giống như áp dụng chiến lược hợp tác xã, trong đó các lái xe thống nhất với nhau về việc chọn tuyến đường sẽ đi. Thực tế, có một số mạng lưới đường đi có bảng chỉ dẫn giao thông, khi đó sẽ không xảy ra nghịch lý Braess, nghịch lý này chỉ đúng khi các lái xe tự chọn tuyến đường tốt nhất cho mình.

 

II. NGHỊCH LÝ BRAESS LÀ MỘT NGHỊCH LÝ PHỨC TẠP          

 

Ta dễ dàng nhận thấy rằng nếu lưu lượng xe đủ nhỏ thì nghịch lý Braess sẽ không xảy ra. Nhưng trên thực tế, ta quan sát được rằng các tài xế lái xe luôn hành động ích kỷ, họ đã thay đổi tuyến đường ban đầu của họ để tìm đến tuyến đường siêu nhanh nhưng vẫn không làm cho thời gian di chuyển của họ ngắn lại.

 

Mặt khác, người ta nghĩ rằng sự tăng lên nhanh chóng của lưu lượng xe sẽ làm cho mọi thứ trở nên tồi tệ. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Trong ví dụ chúng ta xét ở trên, các nhà khoa học đã đoán rằng khi nhu cầu lưu thông tăng cao sẽ xuất hiện hiệu ứng “trí tuệ đám đông” khi con đường mới sẽ không được tin dùng. Thực vậy, những quyết định cá nhân trong một nhóm đủ nhiều các tài xế sẽ tối ưu hóa thời gian đi lại cho tất cả mọi người. Giả thuyết này đã được chứng minh bởi nhà toán học Anna Nagurney, giáo sư của trường Isenberg thuộc Đại học Massachusetts.

 

III. TRƯỚC KHI KẾT THÚC…

 

Nghịch lý Braess xuất hiện trong nhiều trường hợp. Ví dụ, bài viết If we all go for the blonde (tạm dịch: Nếu tất chúng ta đều gặp cô gái tóc hoe, xem tại https://plus.maths.o...e-all-go-blonde) có nhân vật là cô gái tóc hoe được cho là có sức quyến rũ lớn khiến nhiều chàng trai yêu thích (giống như nhiều tài xế thích con đường siêu nhanh), từ đó xuất hiện hiệu ứng tương tự, một trường đông nghịch. Nhưng nếu ta tiếp tục sử dụng mạng lưới này, ta có thể quan sát nghịch lý với dữ liệu di chuyển trong mạng lưới máy tính và công suất sử dụng trong hệ thống đường dây. Hơn thế nữa, vào năm 2012, một nhóm nghiên cứu quốc tế đã chứng minh về mặt lý thuyết cũng như trên thực tế, nghịch lý Braess có thể được sử dụng trong các hệ thống điện tử.

 

Ví dụ về hệ thống đường bộ mở rộng cho thấy rằng ở trạng thái cân bằng, phân bố xe trong hệ thống mạng lưới không cần phải tối ưu. Điều này đưa chúng ta đến một khái niệm thú vị, được phát triển bởi nhà kinh tế học Vilfredo Pareto (1848-1923). Pareto đã tuyên bố rằng, phân bố các nguồn lực được gọi là tối ưu nếu như không một cá nhân nào có cuộc sống tốt lên mà không khiến ít nhất một người khác có cuộc sống xấu đi. Một phân bố như thế được gọi là tối ưu Pareto.

 

fotolia_traffic.jpg

Đi đâu đây?

 

Trong ví dụ, các tuyến đường trong hệ thống là các nguồn tài nguyên. Việc bỏ qua những con đường mới này làm cho mọi người tốt hơn, như làm giảm thời gian di chuyển. Do đó, sự cân bằng trong mạng lưới mở rộng là một ví dụ về cân bằng Nash mà không phải là tối ưu Pareto.

 

Cuối cùng, ta mô tả phân bố tài nguyên như tối ưu Pareto không cần có sự công bằng theo ý nghĩa xã hội. Ví dụ ,việc sử dụng tài nguyên mà tôi chiếm lĩnh trong khi người khác lại không có gì là một tối ưu Pareto bởi vì cách duy nhất để cải thiện đời sống của họ là tôi phải mất đi một vài thứ nào đó. Những nỗ lực do các nhà kinh tế học, trong đó có Ravi Kanbur của đại học Cornell, thực hiện nhằm tái cấu trúc khái niệm tối ưu Pareto, thêm một cách tính định lượng để đo sự cân bằng.

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ild-fewer-roads

 

Người dịch: Phan Thành Nhân, thành viên Chuyên san EXP

  753 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Bất đẳng thức - Cực trị

17-01-2016

Mở đầu: Bất đẳng thức là một phần rất quan trọng trong kiến thức của Trung học cơ sở. Hơn nữa, đây lại thường là phần chọn học sinh giỏi trong các kì thi THCS và lại được nhiều bạn đam mê yêu thích, bao gồm cả mình.

Cho nên mình làm bài viết này với mục đích vừa có thể đóng góp cho diễn đàn vừa có thể tìm hiểu và hoàn thiện thêm kỹ năng về bất đẳng thức và tham khảo được nhiều bài và dạng cũng như cách làm thú vị khác nhau.

 

Về phương pháp bất đẳng thức:

- Biến đổi tương đương

- Phương pháp phản chứng

- Phương pháp làm trội

- Phương pháp quy nạp

- Bất đẳng thức AM-GM, AM-GM ngược dấu, AM-GM suy rộng

- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, dạng phân thức 

- Phương pháp Dirichle 

- Phương pháp bất đẳng thức phụ

........ Và nhiều bất đẳng thức khá mới so với đa số học sinh THCS như Honder, Schur, S.O.S, Jensen,... ( nhiều cái mình cũng mới tiếp xúc)

 

Trong mỗi phương pháp ta lại có nhiều hệ quả, những "liên quan" thú vị.... Nếu được hỏi về một số phương pháp bất đẳng thức thì có thể bạn sẽ kể một số phương pháp như trên, với mình thì mình cũng sẽ vậy. Sở dĩ mình chỉ nêu phương pháp mà không ghi rõ ra là vì đơn giản một là tài liệu về nó rất nhieuf và hai là mình nghĩ nó quá nhiều, nhưng không phải nhiều về "cái mình kể" đó mà đơn giản: Từ 3 số 1,2,3 nếu đặt riêng thì nó sẽ vẫn là 3 số; nhưng nếu kết hợp chúng lại ta sẽ có 1,2,3,12,13,123,132.... Bất đẳng thức cũng vậy, phương pháp gốc thì hữu hạn, giải được bài hay thì phải cần kết hợp nhiều phương pháp sẽ là vô hạn.... 

 

Mình sẽ không đi riêng một hướng về bất đẳng thức trong bài viết này, sẽ cũng như bạn gặp bài nào đó trong vị trí cô lập không có một dẫn đường nào cho bạn để giải nó và việc bạn phải làm là vận dụng kết hợp kiến thức của bạn để giải. 

 

Sau đây là các bài bất đẳng thức mang tính tổng hợp của mình, dù bài khó hay dễ cũng mong các bạn giải rõ ý tưởng, hạn chế dùng kí hiệu và cách giải càng hay càn thú vị càng tốt.

 

Bài tập:

 

Bài 1: Cho $z,y,z>0;x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$

CM: $xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)+9$

 

Bài 2: Cho $a,b,c>0; a+b+c=1$

CM: $\frac{a}{9a^{3}+3b^{2}+c}+\frac{b}{9b^{3}+3c^{2}+a}+\frac{c}{9c^{3}+3a^{2}+b}\leq 1$

 

Bài 3: Cho $a,b,c>0;a+b+c=3$

Tìm min: $A=\frac{a^{k+1}+k}{b^{2}+1}+\frac{b^{k+1}+k}{c^{2}+1}+\frac{c^{k+1}+k}{a^{2}+1}$  $k\in \mathbb{N}$

 

Bài 4: Cho $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$

 

Bài 5: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm max: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$

 

Bài 6:  Cho $a,b,c>0$ 

CM: $\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

  3502 Lượt xem · 143 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi PlanBbyFESN )

 Photo

Tiếp sức bất đẳng thức

16-01-2016

Chào các bạn,hôm nay là một ngày rất đặc biệt với diễn đàn chúng ta,ngày 16-1 chính là ngày sinh nhật của VMF.Cũng như bao bạn trẻ mong muốn vào ngày sinh nhật,đương nhiên vào một ngày ý nghĩa như thế này không thể không thiếu một thứ quan trọng đó là ''quà'' =)) Đương nhiên món quà này các mem VMF đều có thể tặng được đó là những bài viết =)) Chính vì vậy mình lập TOPIC này để nhằm mục đích giao lưu học hỏi với các bạn trên diễn đàn (vui là chính hì  :D )Chủ đề của tối nay là bất đẳng thức (vì mình thấy các bạn có vẻ rất ưa chuộng mảng này  ^_^ )Mỗi khi bạn giải 1 bài toán mình đề nghị các bạn đề xuất thêm 1 bài toán khác (giống trò chơi tiếp sức ấy =)) ).Mình xin bắt đầu với 2 bài toán đầu tiên:

Bài 1. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x\geq y\geq z$.Chứng minh rằng $xy^{4}+yz^{4}+zx^{4}\geq yx^{4}+zy^{4}+xz^{4}$

Bài 2. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $(a,b,c)\epsilon [1;2]$.Tìm Min,Max của $\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ac}$

P/s:Các bạn tham gia nhiệt tình nhé :))

Mình cũng đổi lại tên BOX để TOPIC có thể kéo dài được lâu hơn :)

Cũng nói thêm bài nào giải rồi mình sẽ tô đỏ 

  3394 Lượt xem · 148 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi ineX )

 Photo

Tại sao các nhà toán học lại chơi trò chơi?

16-01-2016

Câu trả lời đơn giản là "cho vui", giống như các bạn vậy thôi. Rõ ràng việc giỏi môn toán có thể giúp bạn trong nhiều trò chơi khó khăn, chẳng hạn như cờ vua. Tuy nhiên, ta còn câu trả lời khác. Các nhà toán học quan tâm đến trò chơi bởi vì điều này có thể giúp chúng ta hiểu được tại sao con người (và các động vật khác) lại có cách hành xử như vậy. Một mảng của toán học, gọi là lý thuyết trò chơi, đã được phát triển nhằm giải thích các hành vi của con người, đặc biệt là cách chúng ta đưa ra quyết định.

 

Ví dụ, quay về thời chiến tranh lạnh. Sau Thế chiến II, Mỹ và Liên Xô dần dần xây dựng được kho vũ khí hạt nhân nhằm để tự vệ và chống lại nhau. Đến giai đoạn cuối của cuộc chạy đua vũ trang này, lượng vũ khí mà họ đã tích lũy được đủ mạnh để quét sạch mọi sự sống trên hành tinh, đây là một tình huống rất tệ hại khi xảy ra. Không có Quốc gia nào sử dụng đến vũ khí vì điều này sẽ kết liễu cuộc sống của mọi người. Đương nhiên không có Quốc gia nào đủ can đảm để giảm số lượng vũ khí vì sợ tạo ra lợi thế cho đối phương và hậu quả của một tai nạn hạt nhân là điều không cần nghĩ đến. Các nhà lãnh đạo của cả hai nước đã làm thế nào để kết thúc mớ hỗn độn đó, khi cả thế giới đang trên bờ vực tuyệt chủng?

fotolia_60884518_xs.jpg

Không chỉ đơn giản là vui và chơi...

 

Để giải nghĩa cho câu hỏi này, hãy tưởng tượng rằng bạn và tôi đang chơi một trò chơi. Tôi là Tổng thống Hoa Kỳ và bạn là Chủ tịch Liên Xô, mỗi chúng ta đều có chiến lược lựa chọn giữa hai nước đi: sản xuất vũ khí hạt nhân nhiều hơn hoặc không làm gì cả (ở đây không làm gì cũng xem là một "chiến lược"). Chúng ta đề ra chiến lược cùng một lúc mà không biết người kia làm gì, giống như trong trò chơi “oẳn tù tì”.

Nếu tôi sản xuất nhiều vũ khí và bạn không làm gì cả, khi đó tôi thắng (vì tôi mạnh hơn bạn): Tôi có được 3 điểm và bạn sẽ có điểm 0. Nếu bạn sản xuất nhiều còn tôi thì không, khi đó bạn thắng, nhận được 3 điểm trong khi tôi nhận được 0 điểm. Nếu cả hai chúng ta đều sản xuất nhiều vũ khí thì kết quả một trận hòa và cả hai chúng ta có được 1 điểm. Nếu cả hai chúng ta không làm gì cả thì đây là một trận hòa nữa, nhưng bây giờ cả hai chúng ta nhận được 2 điểm – điểm cho kết quả hòa này cao hơn điểm hòa trước đó vì sẽ tốt hơn khi sống trong một môi trường ít vũ khí, và chúng tôi sẽ được thưởng khi không sản xuất thêm vũ khí.

 

Bảng này cho thấy điểm mỗi người chơi nhận được cho mỗi chiến lược. 

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Bạn sản xuất nhiều vũ khí} & \text{Bạn không sản xuất vũ khí}  \\ \hline \text{Tôi sản xuất nhiều vũ khí}  & 1,1 & 3,0\\ \hline \text{Tôi không sản xuất vũ khí} & 0,3 & 2,2\\ \hline  \end{array}$$

Số đầu tiên trong mỗi ô cho thấy điểm tôi có được và số thứ hai là

điểm bạn nhận được kết quả tương ứng với chiến lược đầu vào.

 

Suy nghĩ về trò chơi này, tôi nhận ra rằng chiến lược tốt nhất là sản xuất nhiều vũ khí: nếu bạn quyết định không sản xuất nhiều vũ khí, khi đó tôi nhận được 3 điểm chứ không phải 2, đó là số điểm tôi nhận được nếu tôi cũng quyết định không sản xuất nhiều vũ khí.

 

Nếu bạn cũng quyết định sản xuất thêm vũ khí, khi đó tôi chỉ nhận được 1 điểm, nhưng điều này tốt hơn nhận 0 điểm, đó là số điểm tôi có khi quyết định không sản xuất nhiều vũ khí. Vì vậy, chiến lược trội của tôi là sản xuất nhiều vũ khí hơn: cho tôi điểm tốt hơn so với không sản xuất gì, bất chấp bạn làm gì. Với cùng một lý do, chiến lược tốt nhất cho bạn cũng là sản xuất nhiều vũ khí hơn.

 

Vì vậy, nếu cả hai chúng ta suy nghĩ theo hướng hợp lý và ích kỷ, trò chơi này sẽ kết thúc với một kho vũ khí tăng lên cho cả hai bên, mỗi người chúng ta nhận 1 điểm. Tuy nhiên, cả hai chúng ta sẽ giàu có hơn khi cùng quyết định không sản xuất thêm nhiều vũ khí: trong trường hợp đó mỗi chúng ta sẽ có được 2 điểm. Đây là một nghịch lý lạ, chiến lược tốt nhất không đưa đến kết quả tốt nhất.

 

Trong một cuộc đua thực tế, mọi người không nhận được điểm cho chiến lược của họ, tất nhiên, nhưng bạn có thể nghĩ đến điểm là thước đo cho thấy kết quả họ đạt được cho chiến lược đó (3 điểm cho kết quả họ thích nhiều nhất và 0 điểm cho kết quả họ thích ít nhất). Sau đó, nếu các chính trị gia dựa đề ra chiến lược dựa trên lý trí và quyền lợi Quốc gia của họ, thì họ sẽ quyết định sẽ gia tăng kho vũ khí.

 

Trò chơi chạy đua vũ trang rất nổi tiếng trong lý thuyết trò chơi, còn được gọi là thế khó xử của người tù vì trò chơi này thường được dùng cho hai tù nhân nên quyết định hợp tác với nhau hoặc tố cáo nhau cho cảnh sát. Một phép phản biện hiển nhiên là cuộc sống thực phức tạp hơn so với gợi ý từ trò chơi, con người có khả năng đàm phán, bằng cách nào đó họ có thể tìm ra những gì bên kia làm, và họ cũng có tầm nhìn xa trông rộng, đủ để phá vỡ mối đe dọa diệt vong. Nhưng sử dụng mô hình trò chơi toán học đơn giản để áp dụng vào các tình huống phức tạp có thể giải thích được phần nào về tình huống đó .

 

Và đó chính xác là kết quả mà lý thuyết trò chơi mang lại. Lý thuyết trò chơi cố gắng nắm bắt tình huống của một trò chơi với các quy tắc xác định rõ ràng. Các nhà toán học sau đó nghiên cứu về các chiến lược và cách mà người chơi có lý trí hành xử để thu lại lợi ích. Các nhà toán học đã sử dụng phương pháp này để hiểu được nền kinh tế, về cách con người làm tăng lợi nhuận. Ngoài ra, lý thuyết trò chơi cũng được dùng trong tâm lý học, như để hiểu vì sao con người có những tính cách khác nhau, và dùng trong sinh học để giải thích hành vi của động vật và các sinh vật khác.

 

Đương nhiên, nếu bạn cảm thấy rằng một trò chơi đơn lẻ là quá đơn giản, bạn có thể làm cho trò chơi trở nên thực tế hơn bằng cách làm phức tạp hơn. Ví dụ, nếu hai người chơi trò chơi thế khó xử của người tù nhiều lần và trong mỗi vòng chơi họ nhớ chiến lược của đối phương trong quá khứ, thì chiến lược tốt nhất của họ có thể tin tưởng người chơi khác (chứ không sản xuất nhiều vũ khí hơn như ví dụ trên). Với cách làm này, con người đã cố gắng giải thích lý do vì sao con người chúng ta và các động vật khác đã phát triển các khả năng, ham muốn để được tốt đẹp trong mắt người khác dù đôi khi điều này không đi kèm với lợi ích trước mắt. Vì vậy, đôi mắt lạnh lùng của Toán học thậm chí có thể giải thích những điều ấm áp và mù mờ như vẻ đáng yêu của một người!

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ians-play-games

 

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.

  1215 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Toán học trong thuốc và cơ thể (dược động học)

16-01-2016

Dược động học là quy trình nghiên cứu các chất (như thức ăn và thuốc) được hấp thu vào cơ thể qua đường miệng hoặc kim tiêm và tác động với cơ thể. Chúng ta sẽ tập trung vào thuốc.

 

Quy trình của dược động học bao gồm 5 bước:

- Giải phóng: Thuốc được tạo ra từ công thức

- Quá trình hấp thu: Thuốc được đưa vào trong cơ thể

- Phân bố: Thuốc phân tán khắp cơ thể

- Quá trình trao đổi: Cơ thể phân hủy thuốc

- Thải trừ thuốc: Cơ thể loại bỏ thuốc

syringe.jpg

Chuẩn bị ống tiêm

Hiển nhiên, mỗi loại thuốc tác động lên cơ thể theo một cách khác nhau. Một số loại thuốc cần được cơ thể hấp thu nhanh chóng (như nitroglycerin khi chúng ta đau tim) và tốt nhất là phải loại bỏ khỏi cơ thể nhanh chóng (nếu không thì độc tố sẽ tích tụ trong máu). Đối với một số loại thuốc khác, chúng ta muốn hấp thu chậm nhằm thu được hiệu quả tối đa của thuốc và không mất nhiều chất khi thải trừ.

 

Do đó, khi bác sĩ kê toa nói rằng: "dùng 2 viên mỗi bữa ăn", thì điều này dựa trên mức độ cần thiết của nồng độ thuốc và mức độ phân bố, thải trừ và chuyển hóa trong cơ thể.

 

VẬY BÀI TOÁN Ở ĐÂY LÀ GÌ?

 

Khi y tá quản lý thuốc lần thứ nhất, nồng độ thuốc trong máu bằng không. Khi mà thuốc được đưa vào cơ thể và bắt đầu trao đổi, nồng độ thuốc tăng lên.

 

Sẽ đến một lúc nồng độ của thuốc không còn tăng nữa và bắt đầu giảm xuống. Đây là giai đoạn thuốc được phân bố hoàn toàn và trao đổi chất đang diễn ra. Theo thời gian, nồng độ thuộc ngày càng ít đi và giảm xuống dưới mức hiệu quả một lượng nhất định. Lúc này ta cần phải uống thêm thuốc rồi đấy.

 

Chúng ta có thể mô hình hóa tình huống trên bằng phương trình vi phân. Thuốc khi vào cơ thể có 2 phần: hấp thu và loại bỏ. Ban đầu, hấp thu (tăng nồng độ thuốc) sẽ được ưu tiên và theo thời gian thì loại bỏ (giảm nồng độ) là yếu tố quan trọng nhất.

 

Chúng ta có các biến sau:

$$D=\text{liều thuốc đã cho}$$

$$V=\text{lượng phân bố trong cơ thể}$$

$$C=\text{nồng độ thuốc ở thời điểm }t$$

$$F=\text{phần liều thuốc đã hấp thu (còn được gọi là khả dụng sinh học)}$$

$$A=\text{hằng số tốc độ hấp thu}$$

$$E=\text{hằng số tốc độ loại bỏ}$$

$$t=\text{thời gian}$$

Hấp thu: Phụ thuộc vào lượng thuốc đã cho, chính là phần được hấp thu và hằng số tốc độ hấp thu. Phần này giảm theo thời gian. Công thức hấp thu được biểu diễn như sau:

                                                                $$~A\times F\times D\times {{e}^{-At}}$$

Loại bỏ: Chức năng loại bỏ ảnh hưởng bởi hằng số loại bỏ, lượng phân bố trong cơ thể và nồng độ còn lại của thuốc. Công thức loại bỏ được biểu diễn như sau:

                                                                                   $$E\times V\times C$$

Đối với mô hình này, chúng ta cần phải trừ đi phần loại bỏ khỏi phần hấp thu (vì phần hấp thu làm tăng nồng độ của thuốc và phần loại bỏ thì làm giảm nó). Phương trình vi phân như sau:

                                            $$\frac{dC}{dt}=\frac{1}{V}\left( AFD{{e}^{-At}}-EVC \right)$$

Bây giờ chúng ta thay thế một số giá trị vào các biến (ta không kèm theo đơn vị để giữ mọi thứ đơn giản. Lưu ý $C$ là một biến, thứ chúng ta tìm trong biểu thức theo theo $t$)

$$\frac{dC}{dt}=\frac{1}{15}\left( 0.5\times 2\times 800{{e}^{-0.5t}}-0.4\times 15\times C \right)=53.3{{e}^{-0.5t}}-0.4C$$

Giải phương trình vi phân trên (sử dụng hệ thống đại số máy tính), ta được nồng độ tại thời điểm $t~$là

                                          $$C\left( t \right)=533.3\left( {{e}^{-0.4t}}-{{e}^{-05.t}} \right)$$

pharmacokinetics.gif

Chúng ta có thể thấy trong đồ thị phần nồng độ tăng lên (trong khoảng $t=2$) và khựng lại, sau đó nồng độ giảm về gần bằng 0 tại $t=24$.

 

Động dược học là một ứng dụng thực tế thú vị của toán học.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...cokinetics-4098 

 

Người dịch: Nguyễn Vũ Anh, thành viên Chuyên san EXP

  1374 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Topic về phương trình và hệ phương trình

11-01-2016

Chào các bạn!

Trong không khí nô nức chuẩn bị cho các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, ở lớp 10 nói riêng, bài tập chủ yếu ở các dạng bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, phương trình đường tròn,v..v.. Về phần bất đẳng thức đã có nhiều topic đề cập đến, riêng phần phương trình và hệ thì số lượng bài tập khá đa dạng và nắm vai trò không nhỏ (thường gặp ở những câu đầu tiên và chiếm nhiều điểm). Vì thế hôm nay, mình xin phép mở một topic để mọi người bàn về dạng bài tập này để củng cố kiến thức cho bản thân được tốt hơn nói riêng cũng như các bạn nói chung. Trong quá trình làm việc và viết bài thì không khỏi tránh sai sót cũng như bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm, rất mong bạn bè gần xa thông cảm và ủng hộ để topic thật phát triển. Mình xin gửi đến lời cảm ơn chân thành nhất.

Nội quy:

- Mỗi người chỉ đưa lên 1 -> 2 bài (tránh làm nhão topic).

- Sau 3 ngày mà chưa có ai giải thì mới post lời giải và post bài mới lên tránh trường hợp quá nhiều bài mà không có ai giải.
- Đánh số thứ tự bài để tránh sự lộn xộn, tăng tính thẩm mĩ cho topic.
- Không spam, lạc đề.

Một số phương pháp giải (tài liệu do mình và bạn NTA1907 sưu tầm):

*  Phương pháp đổi biến:

I) Phương trình đẳng cấp: $aP(x) + bQ(x) = c\sqrt{P(x).Q(x)}$    (1)

Phương pháp: Đặt $u = \sqrt{P(x)}$, $v = \sqrt{Q(x)}$       (u, v >= 0)

                  $(1) \Leftrightarrow  au^{2} + bv^{2} = c.u.v$    (2)

                  Nhận xét: v = 0 là nghiệm của (2) ?

                  $(2) \Leftrightarrow  a(\dfrac{u}{v})^{2} +  b - c.\dfrac{u}{v} = 0$

* Phương pháp nhân liên hợp:

II) Nghiệm vô tỉ

Sử dụng: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$

            $(\sqrt[3]{a} \underline{+} \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}} \overline{+} \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}) = a \underline{+} b$

*  Dạng phương trình: $\sqrt[3]{A(x)} \pm  \sqrt[3]{B(x)} = \sqrt[3]{C(x)}$

Phương pháp: Lập phương hai vế.

* Dạng phương trình: $a^{2} + bx + c = \sqrt{px^{2} + qx + r} (a.p \neq  0)$

Phương pháp:

         TH1: $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q}$. Đặt $t = \sqrt{px^{2} + qx + r}$.

                Đưa về dạng phương trình bậc 2.

         TH2: $\left\{\begin{matrix} p = -b & & & \\ q = \dfrac{1 - b^{2}}{a} & & & \\ r = \dfrac{-c(1 + b)}{a} & & &\end{matrix}\right.$

                Đặt $t = ax^{2} + bx + c$ rồi đưa về hệ đối xứng loại 2

Phương pháp nâng lên luỹ thừa 2 vế:

Dạng 1: $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&f(x)=g(x) \\&f(x)\geq 0(hoặc g(x)\geq 0)\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+2x+4}=\sqrt{2-x}$(1)

(1)$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x^{2}+2x+4=2-x \\&x\leq 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x^{2}+3x+2=0 \\&x\leq 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=-1$(thoả mãn) hoặc $x=-2$(thoả mãn)

Dạng 2: $\sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&g(x)\geq 0 \\&f(x)=g(x)^{2}\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2$(2)

(2)$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&4+2x-x^{2}=x-2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&x^{2}-x-6=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=-2$(không thoả mãn) hoặc $x=3$(thoả mãn)

Dạng 3: $\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)}\Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+\sqrt{h(x)}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&g(x)\geq 0  & \\&h(x)\geq 0  & \\&f(x)=g(x)+h(x)+2\sqrt{g(x).h(x)}  &\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+4}=1$(3)

(3)$\Leftrightarrow \sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+4}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq -4 \\&3x+1=1+2\sqrt{x+4}+x+4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq -4 \\&x-2=\sqrt{x+4}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&x^{2}-5x=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=0$(không thoả mãn) hoặc $x=5$(thoả mãn)

Chú ý: Các dạng nâng lên luỹ thừa bậc chẵn và lẻ thì làm tương tự như trên, riêng bậc lẻ thì không cần điều kiện.

*Phương pháp đặt ẩn phụ:

Dạng 1: $(ax+b)^{n}=p.\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}+qx+r$

+)$p.a^{'}> 0$

Đặt $\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}=at+b$, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

+)$p.a^{'}< 0$

Đặt $\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}=-(at+b)$, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

VD:$4x^{2}+\sqrt{3x+1}+5=13x$(1)

Đk: $x\geq \dfrac{-1}{3}$

(1)$\Leftrightarrow (2x-3)^{2}=-\sqrt{3x+1}+x+4$

Đặt $\sqrt{3x+1}=-(2y-3)(y\leq \dfrac{3}{2})$

Ta được hệ:$\left\{\begin{matrix}&(2x-3)^{2}=2y+x+1 \\&(2y-3)^{2}=3x+1\end{matrix}\right.$

Trừ 2 phương trình trên vế theo vế ta có:

$4(x^{2}-y^{2})-12(x-y)=2(y-x)$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x+2y-5)=0$

+) $x=y\Rightarrow (2x-3)^{2}=3x+1$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{15+\sqrt{97}}{8}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{15-\sqrt{97}}{8}$(thoả mãn)

+) $2y=5-2x\Rightarrow (2x-3)^{2}=5-2x+x+1$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-11x+3=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{11-\sqrt{73}}{8}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{11+\sqrt{73}}{8}$(thoả mãn)

Dạng 2: $\alpha .P(x)+\beta .Q(x)=\gamma .\sqrt{P(x).Q(x)}$

+)$P(x)=0\Rightarrow$ Thay vào phương trình

+)$P(x)\neq 0$, ta được: $\alpha +\beta .\dfrac{Q(x)}{P(x)}=\gamma .\sqrt{\dfrac{P(x)}{Q(x)}}$

VD: Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}(2)$

Đk: $x\geq 1$

(2)$\Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^{2}+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

$\Leftrightarrow 3.\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}+2=7\sqrt{\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}}$

Đặt $\sqrt{\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}}=t\geq 0$

Khi đó ta có: $3t^{2}-7t+2=0$

$\Leftrightarrow t=2$ hoặc $t=\dfrac{1}{3}$

+)$t=2\Rightarrow \sqrt{x-1}=2\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow 4x^{2}+3x+5=0$(vô nghiệm)

+)$t=\frac{1}{3}\Rightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow x^{2}-8x+10=0$

$\Leftrightarrow x=4+\sqrt{6}$(thoả mãn) hoặc $x=4-\sqrt{6}$(thoả mãn)

Dạng 3: $\alpha (P(x)+Q(x))+\beta (\sqrt{P(x)}+\sqrt{Q(x)})\pm 2\alpha \sqrt{P(x)+Q(x)}+\gamma =0$

(trong đó $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ và $\alpha ^{2}+\beta ^{2}\neq 0$)

Đặt $t=\sqrt{P(x)}\pm \sqrt{Q(x)}$, ta được phương trình: $At^{2}+Bt+C=0$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^{2}-4}-2x+2$(2)

Đk: $x\geq 2$

(2)$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=2x-2-2\sqrt{x^{2}-4}$

Đặt $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=t\geq 0$

$\Rightarrow t^{2}=2x-2\sqrt{x^{2}-4}$

$\Rightarrow t=t^{2}-2$

$\Leftrightarrow t=-1$(không thoả mãn) hoặc $t=2$(thoả mãn)

$t=2\Rightarrow \sqrt{x+2}=2+\sqrt{x-2}

\Rightarrow x+2=x+2+4\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow x=2$(thoả mãn)

Dạng 4: $ax^{2}+bx+c=\sqrt{px^{2}+qx+r}$

+)$\dfrac{a}{p}=\dfrac{b}{q}$, đặt $t=\sqrt{px^{2}+qx+r}$, đưa về phương trình bậc 2: $At^{2}+Bt+C=0$

+)$\left\{\begin{matrix}&p=-b  & \\&q=\dfrac{1-b^{2}}{a}  & \\&r=\dfrac{-c(1+b)}{a}  &\end{matrix}\right.$

Đặt $t=ax^{2}+bx+c$, ta được hệ phương trình đối xứng loại 2

VD: Giải phương trình: $x^{2}+6x-14=\sqrt{98-35x-6x^{2}}$

Đk: $98-35x-6x^{2}\geq 0$

Đặt $x^{2}+6x-14=t\geq 0$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}&x^{2}+6x-14=t \\&t^{2}+6t-14=x\end{matrix}\right.$

Trừ 2 phương trình trên vế theo vế ta có:

$t-x=x^{2}-t^{2}+6(x-t)$

$\Leftrightarrow (x-t)(x+t+7)=0$

+)$x=t\Rightarrow x^{2}+6x-14=x$

$\Leftrightarrow x=-7$(không thoả mãn) hoặc $x=2$(thoả mãn)

+)$x+t=-7\Rightarrow x^{2}+7x-7=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-7+\sqrt{77}}{2}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{-7-\sqrt{77}}{2}$(không thoả mãn)

*Phương pháp liên hợp:

Sử dụng: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$

             $(\sqrt[3]{a}\mp \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})=a\mp b$

*  Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:

Một số bất đẳng thức căn bản:

   - $|A|=|-A| \geq 0$. Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow A=0$

   - $|A| \geq A$. Dấu bằng xảy ra khi $\Leftrightarrow A \geq 0$

   - $a^{2}\geq 0\forall a$. Dấu "=" có khi: $a=0$

   - $|a|\geq a\forall a$. Dấu "=" có khi: $a\geq 0$

   - $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" có khi: $ab\geq 0$

   - $|a|-|b|\leq |a-b|$. Dấu "=" có khi: $\left\{\begin{matrix}ab\geq 0 & & \\ |a|\geq |b| & & \end{matrix}\right.$

   - $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$. Dấu "=" có khi: $a=b$

   - $(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq (\dfrac{(a+b)}{2})^{2}$. Dấu "=" có khi: $a=-b$

   - $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a;b> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$

   - $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2(ab> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$

Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):

   Với $n$ số thực dương: $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ ta luôn có $\dfrac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$.

   Dấu "=" khi và chỉ khi: $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Bất đẳng thức BCS (Bunhiakovsky):

   Với 2 bộ số thực bất kì: ($a_{1};a_{2};...;a_{n}$);($b_{1};b_{2};...;b_{n}$) ta luôn có:

          $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

   Dấu "=" có khi: $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...=\dfrac{a_{n}}{b_{n}}$

Bất đẳng thức Svac-xo

   Với $\forall x_{i}>0;i=\overline{1,n}$ ta có: $\dfrac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\dfrac{a_{n}^{2}}{x_{n}}\geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$

Bất đẳng thức Minkopsky:

   Cho 2 dãy số thực dương: $(a_{1};a_{2};...;a_{n});(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ ta có:

   $\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^{2}}$

   Dấu "=" xảy ra khi: $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...=\dfrac{a_{n}}{b_{n}}$.

...

Trên đây là một số phương pháp mình nêu ra để mọi người cùng tham khảo.

 

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x+1}(3x^{2}+x+1)=x^{3}+3x^{2}+3x$

b) $3 - x =\dfrac{2x^{2} - 9x + 17}{\sqrt{2x^{2} - 6x + 16} + \sqrt{3x - 1}}$

Bài 2: Giải phương trình sau:

$\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$

 

Lưu ý: Trong quá trình làm việc, có một số thành viên đã đóng góp cho topic những tài liệu quan trọng và rất bổ ích, lý thú, thay mặt các mem trong topic, mình xin chân thành cảm ơn các bạn rất nhiều. Sau đây là một số tài liệu về phương trình mà các bạn đã đóng góp nói trên cũng như mình đã sưu tầm được trong thời gian qua!

  8579 Lượt xem · 487 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi royal1534 )


Những bài toán trong tuần

Gọi A là ma trận kề biểu diễn đồ thị G. Kí hiệu $a_{ij}^{(p)}$ là các phần tử của ma trận $A^p=A.A...A$ (p lần). Chứng minh rằng $a_{ij}^{(p)} \; (i,j=1,2,...,n)$ là số các đường đi khác nhau từ đỉnh $i$ đến $j$ độ dài $p$ qua $p-1$ đỉnh trung gian.

>>Tham gia giải bài toán này<<

Những bài toán đã qua

Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học

 

 

 

Bài viết mới


  • 513709 Bài viết
  • 84420 Thành viên
  • Normal GirL Thành viên mới nhất
  • 17600 Online đông nhất

86 người đang truy cập (trong 20 phút trước)

2 thành viên, 84 khách, 0 thành viên ẩn danh   (Xem đầy đủ danh sách)


Ngoc Hung, cleverboy


Portal v1.4.0 by DevFuse | Based on IP.Board Portal by IPS