Chủ đề này có 8 trả lời

[E. Galois]

Không gì quý bằng học được từ những sai lầm của chính mình. Tôpic này dùng để post các bài giải, lập luận sai lầm về kiến thức trong giải toán 12. Hi vọng đây là topic bổ ích cho các em HS lớp 12.

Chúng ta có 1 vài lưu ý sau:

- KHÔNG post các nghịch lý ở đây, vì diễn đàn đã có chỗ dành riêng cho các nghịch lí ở đây: http://diendantoanho...p?showforum=416
- Các mem nêu đề bài và lời giải sai nhớ đánh số thứ tự bài toán
- Các mem khác chỉ ra lỗi sai và post lời giải đúng, nên rút ra kết luận để khắc sâu, nắm vững hơn kiến thức.
- Giải xong bài đang có mới nên post tiếp bài sau, tránh post tràn lan.
- Bài viết Spam, chém gió, các ĐHV THPT cứ thẳng tay delete.

[E. Galois]

Bài toán 1

Đề bài
Tìm $a,b$ để hàm số $y=x^4+ax^2+b$. Tìm $a,b$ để hàm số có cực trị bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $x=1$

Bài làm:
Ta có $y'=4x^3+2ax$
Yêu cầu của bài toán tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix}y'(1)=0\\ y(1)=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2a+4=0\\ a+b+1=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=-2\\b=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

Bài giải trên có đúng không? Hãy trình bày lời giải đúng

[WWW]

Mở hàng cho topic này.

Trả lời: Bài giải trên là sai. Lời giải này chỉ là điều kiện cần chứ chưa đủ và nó không thể là tương đương.

Lời giải đúng.

* Điều kiện cần.

Ta có: $y' = 4{x^3} + 2ax$.

Hàm số có cực trị bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $x=1$ thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}
y'\left( 1 \right) = 0\\
y\left( 1 \right) = \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 + 2a = 0\\
1 + a + b = \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = \frac{5}{2}
\end{array} \right.\]
* Điều kiện đủ.

Khi $a = - 2,\,\,b = \frac{5}{2}$ ta được hàm số: $y = {x^4} - 2{x^2} + \frac{5}{2}$

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow y'' = 12x^2 - 4$.

Khi đó: $y''\left( 1 \right) = 8 > 0$ và $y\left( 1 \right) = \frac{3}{2}$. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và ${y_{CT}} = \frac{3}{2}$

(Phần này có thể lập bảng biến thiên)

* KẾT LUẬN: Giá trị cần tìm của $a,b$ là $a = - 2,b = \frac{5}{2}$

[WWW]

Bài toán 2

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a>0$, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất.

\[\left\{ \begin{array}{l}
{e^y} - {e^x} = \ln \left( {1 + x} \right) - \ln \left( {1 + y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
y - x = a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\]
Bài làm.

* Điều kiện: $x > - 1,y > - 1$

* Rút $y$ từ phương trình $(2)$ thay vào phương trình $(1)$, ta có phương trình:
\[f\left( x \right) = {e^{x + a}} - {e^x} + \ln \left( {1 + x} \right) - \ln \left( {1 + a + x} \right) = 0\]
Khi đó: \[f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{e^a} - 1} \right) + \frac{a}{{1 + x\left( {1 + a + x} \right)}} > 0\,\,\,\left( {a > 0,x > - 1} \right)\]
* Suy ra hàm $f(x)$ đồng biến trong khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

* Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm duy nhất. Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (đpcm)

-----
- Mr.3W: Bài làm trên đúng hay sai hả Mr.2W?
- Mr.2W: Đúng rồi!
- Mr.3W: Cậu chắc chắn không?
- Mr.2W: Tớ chắc chắn! Một lời giải chuẩn không cần chỉnh (vẫn còn đang suy nghĩ )
- Mr.3W: Vâng! Bạn giỏi quá??? ( )

Hỏi: Các bạn xem Mr.2W đúng hay sai. Nếu sai, hãy giúp bạn ấy đưa ra lời giải đúng.

[hxthanh]

Kết luận đạo hàm dương thiếu căn cứ quá!

Lấy một phản ví dụ: cho $x=-0,99$ và $a=1,5$

$f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{e^a} - 1} \right) + \frac{a}{{1 + x\left( {1 + a + x} \right)}} = e^{-0,99}\left(e^{1,5}-1\right)+\dfrac{1,5}{1-0,99(1+1,5-0,99)} \approx -1,73$

Ta có thể viết lại hệ như sau:

$\left\{\begin{array}{l} {e^y} + \ln (1+y) = e^x +\ln (1+x) \quad(1)\\ y=x+a\qquad(2) \end{array}\right.$

Xét hàm $f(x)=e^x+ \ln (1+x),\quad\text{với } x>-1$

có $f\,'(x)=e^x+\dfrac{1}{1+x}>0$

Vậy hàm $f(x)$ đơn điệu và liên tục trên $(-1,+\infty)$
Từ đó $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=y>-1$

Vậy hệ đã cho có nghiệm (và vô số nghiệm) khi và chỉ khi $a=0$

[WWW]

Kết luận đạo hàm dương thiếu căn cứ quá!

Lấy một phản ví dụ: cho $x=-0,99$ và $a=1,5$

$f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{e^a} - 1} \right) + \frac{a}{{1 + x\left( {1 + a + x} \right)}} = e^{-0,99}\left(e^{1,5}-1\right)+\dfrac{1,5}{1-0,99(1+1,5-0,99)} \approx -1,73$

Dạ vấn đề là tính đạo hàm bị sai thầy ạ

[Tham Lang]

Bài toán 3.
Chứng minh BĐT của Vasile với $a,b,c \ge 0$.
$$\left (a^2+b^2+c^2\right )^2\ge 3\left (a^3b+b^3c+c^3a\right )$$
Chứng minh
Ta để ý rằng, $ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)\le \dfrac{2}{3}\left (a^2+b^2+c^2\right )^2$
Nên do tính bình đẳng, sẽ có $\left (a^2+b^2+c^2\right )^2\ge 3\left (a^3b+b^3c+c^3a\right )$
Lời giải trên sai ở đâu ? Không lẽ lại đơn giản như vậy Hãy chỉ ra chỗ sai và mở rộng đến những bài toán khác
Yêu cầu : Nên giải thích ngay trên bản chất của bài toán này !

[ttlhty]

Ơ THẾ TÚM LẠI LÀ MỞ RỘNG LÀ NHƯ THẾ NÀO ?

CHẢ BIẾT SAI Ở ĐÂU

[Quankk96]

Bài toán 4:

cho $a^{2}+a+1=0 \Rightarrow a^{3}+a^{2}+a=0 \Rightarrow a^{3}=-a^{2}-a=1$

sai ở đâu????????????????????????????????????