Đến nội dung


Hình ảnh

$$f(f(m)+f(n))=m+n,\forall m,n \in \mathbb{N^*}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3718 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The Dark Side.Blood Mage of the Old.
  • Sở thích:To revenge my people.Prepeare to face the Rage of the Invoker !

Đã gửi 01-04-2012 - 20:46

Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f:_{n \to f(n)}^{\mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*}}$ thỏa mãn:
$$f(f(m)+f(n))=m+n,\forall m,n \in \mathbb{N^*}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bóng bàn ,cầu lông ,học toán ,.......

Đã gửi 03-04-2012 - 15:04

+,Dễ thấy f đơn ánh và với mọi $n\ge 2$ thì tồn tại s để $f(s)=n$
+,thay (m+1,n-1) vào ta có :$f(m+1)-f(m)=f(n)-f(n-1)$ nên suy ra $f(m+1)-f(m)=f(2)-f(1)$
dễ thấy f(2)>f(1) nếu ko f(n)<f(1) (vô lý)
suy ra f(m+1)>f(m). xét tiếp số s mà f(s)=2. ta thấy nếu $s\ge 3$ suy ra f(2)<2 hay f(1)<1 loại nên ta có 2 TH
+,f(2)=2 suy ra f(n)=n
+,f(1)=2 suy ra thay (1,1) vào đề bài ta có f(2f(1))=2=f(1) hay f(1)=1/2, loại
suy ra f(n)=n

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 03-04-2012 - 15:06

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5528 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 29-07-2012 - 09:31

Xem cách này.

giả sử tồn tại hàm số $f(x)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dễ thấy $f$ đơn ánh.

Với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ ta có: \[f\left( {f\left( n \right) + f\left( n \right)} \right) = n + n = 2n = \left( {n - 1} \right) + \left( {n + 1} \right) = f\left( {f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right)} \right)\]
Suy ra: \[f\left( n \right) + f\left( n \right) = f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right) \Rightarrow f\left( {n + 1} \right) - f\left( n \right) = f\left( n \right) - f\left( {n - 1} \right)\]
Do đó, $f$ là hàm tuyến tính, hay $f$ có dạng: $f\left( n \right) = an + b$

Thay vào phương trình ban đầu, ta được:
\[a\left( {\left( {an + b} \right) + \left( {am + b} \right)} \right) + b = n + m \Leftrightarrow {a^2}\left( {n + m} \right) + \left( {2a + 1} \right)b = n + m\]
Đống nhất hệ số, ta được:

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
\left( {2a + 1} \right)b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =\pm 1\\
b = 0
\end{array} \right.\]
Mặt khác: $f:\mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*} \Rightarrow a = 1$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( n \right) = n,\,\,\forall n \in \mathbb{N^*}$

#4 pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi tình yêu Toán Học bắt đầu
  • Sở thích:Học Toán,Làm Toán,Nháp Toán,Giải Toán...

Đã gửi 25-08-2014 - 16:03

+,Dễ thấy f đơn ánh và với mọi $n\ge 2$ thì tồn tại s để $f(s)=n$
+,thay (m+1,n-1) vào ta có :$f(m+1)-f(m)=f(n)-f(n-1)$ nên suy ra $f(m+1)-f(m)=f(2)-f(1)$
dễ thấy f(2)>f(1) nếu ko f(n)<f(1) (vô lý)
suy ra f(m+1)>f(m). xét tiếp số s mà f(s)=2. ta thấy nếu $s\ge 3$ suy ra f(2)<2 hay f(1)<1 loại nên ta có 2 TH
+,f(2)=2 suy ra f(n)=n
+,f(1)=2 suy ra thay (1,1) vào đề bài ta có f(2f(1))=2=f(1) hay f(1)=1/2, loại
suy ra f(n)=n

Tại sao f(n)<f(1)  lại vô lý ạ???


                              :luoi: Không có lý do cho kẻ thất bại :icon6: 

:wub: Người ta biết đến cái cây nhờ cái quả chứ không phải nhờ cái rễ của nó :wub: 

                                                             :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay

   80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#5 phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lý Tự Trọng
  • Sở thích:Bóng đá

Đã gửi 25-08-2014 - 19:14

Tại sao f(n)<f(1)  lại vô lý ạ???

n>1 ,f(n) nguyên dương với mọi n thì f(n)>f(1)


                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#6 pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi tình yêu Toán Học bắt đầu
  • Sở thích:Học Toán,Làm Toán,Nháp Toán,Giải Toán...

Đã gửi 25-08-2014 - 19:41

n>1 ,f(n) nguyên dương với mọi n thì f(n)>f(1)

Vô lý, Xét hàm $f(n)=\frac{1}{n}$, n>1 nhưng f(n) lại bé hơn f(1) đấy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pdtienArsFC: 25-08-2014 - 19:41

                              :luoi: Không có lý do cho kẻ thất bại :icon6: 

:wub: Người ta biết đến cái cây nhờ cái quả chứ không phải nhờ cái rễ của nó :wub: 

                                                             :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay  :namtay

   80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#7 phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lý Tự Trọng
  • Sở thích:Bóng đá

Đã gửi 25-08-2014 - 19:42

Vô lý, Xét hàm $f(n)=\frac{1}{n}$, n>1 nhưng f(n) lại bé hơn f(1) đấy

f(n) nguyên với mọi n bạn ơi


                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh