Đến nội dung


Hình ảnh

$$f(f(m)+f(n))=m+n,\forall m,n \in \mathbb{N^*}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • ĐHV Tổng hợp
  • 3708 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:The Dark Side.Blood Mage of the Old.
  • Sở thích:To revenge my people.Prepeare to face the Rage of the Invoker !

Đã gửi 01-04-2012 - 20:46

Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f:_{n \to f(n)}^{\mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*}}$ thỏa mãn:
$$f(f(m)+f(n))=m+n,\forall m,n \in \mathbb{N^*}$$

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor  -  Starcraft II:Heart Of The Swarm.


#2 tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bóng bàn ,cầu lông ,học toán ,.......

Đã gửi 03-04-2012 - 15:04

+,Dễ thấy f đơn ánh và với mọi $n\ge 2$ thì tồn tại s để $f(s)=n$
+,thay (m+1,n-1) vào ta có :$f(m+1)-f(m)=f(n)-f(n-1)$ nên suy ra $f(m+1)-f(m)=f(2)-f(1)$
dễ thấy f(2)>f(1) nếu ko f(n)<f(1) (vô lý)
suy ra f(m+1)>f(m). xét tiếp số s mà f(s)=2. ta thấy nếu $s\ge 3$ suy ra f(2)<2 hay f(1)<1 loại nên ta có 2 TH
+,f(2)=2 suy ra f(n)=n
+,f(1)=2 suy ra thay (1,1) vào đề bài ta có f(2f(1))=2=f(1) hay f(1)=1/2, loại
suy ra f(n)=n

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 03-04-2012 - 15:06

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 29-07-2012 - 09:31

Xem cách này.

giả sử tồn tại hàm số $f(x)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dễ thấy $f$ đơn ánh.

Với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ ta có: \[f\left( {f\left( n \right) + f\left( n \right)} \right) = n + n = 2n = \left( {n - 1} \right) + \left( {n + 1} \right) = f\left( {f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right)} \right)\]
Suy ra: \[f\left( n \right) + f\left( n \right) = f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right) \Rightarrow f\left( {n + 1} \right) - f\left( n \right) = f\left( n \right) - f\left( {n - 1} \right)\]
Do đó, $f$ là hàm tuyến tính, hay $f$ có dạng: $f\left( n \right) = an + b$

Thay vào phương trình ban đầu, ta được:
\[a\left( {\left( {an + b} \right) + \left( {am + b} \right)} \right) + b = n + m \Leftrightarrow {a^2}\left( {n + m} \right) + \left( {2a + 1} \right)b = n + m\]
Đống nhất hệ số, ta được:

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
\left( {2a + 1} \right)b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =\pm 1\\
b = 0
\end{array} \right.\]
Mặt khác: $f:\mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*} \Rightarrow a = 1$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( n \right) = n,\,\,\forall n \in \mathbb{N^*}$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh