Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Trung tướng

  • Quản trị
  • 2770 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 09-04-2012 - 18:20

Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2011-2012


Câu 1
a) Giải phương trình: $x^2-7x+10=2\sqrt{x-2}$
b) Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3
& \\y^2-2xy+2x=-4
&
\end{matrix}\right.$$

Câu 2: Tam giác $ABC$ có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$ và có diện tích bằng 1.Chứng minh rằng:
$$2012a^2+2010b^2-1005c^2\geq 4\sqrt{2010}$$

Câu 3
a) Nhận dạng tam giác $ABC$ biết các góc $A,B,C$ của tam giác đó thỏa mãn hệ thức $\frac{\sin C}{\sin A.\cos B}=2$
b) Cho hình thoi $ABCD$, biết đường thẳng $AB,AC$ lần lượt có phương trình $2x-y+7=0;3x-y+8=0$ và đường thẳng $BC$ đi qua điểm $M(-4;\frac{13}{2})$
Lập phương trình đường thẳng $CD$

Câu 4: Các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=\frac{3}{2}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$M=\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{4zx+1}+\frac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{4xy+1}$$

Nguồn: Mathscope

___
Câu 4 có trong đề đề nghị 30/4 của một trường nào đó Hình đã gửi. Có thể tham khảo ở topic BĐT THCS 2 đáp án câu này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-04-2012 - 18:22

dunganhxtanh: Anh 5-6 năm ra trường còn bình thường.
dunganhxtanh: Cứ giữ ước mơ, 1 năm không là gì cả.

 

8.gif

#2 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 09-04-2012 - 18:24

Thời gian thi, thời gian làm bài là bao nhiu hả anh :wub:
___
Anh không rõ. Bên Mathscope người ta không ghi. Sợ ghi sai bị chém Hình đã gửi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-04-2012 - 18:29

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#3 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1350 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Kỳ Lâm
  • Sở thích:Vietnam idol!

Đã gửi 09-04-2012 - 22:13

Câu 1
a) Giải phương trình: $x^2-7x+10=2\sqrt{x-2}$
b) Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3
& \\y^2-2xy+2x=-4
&
\end{matrix}\right.$$


Giải

a, ĐK: $x \geq 2$
Phương trình ban đầu tương đương:
$(x - 2)(x - 5) - 2\sqrt{x - 2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 2}[(x - 5)\sqrt{x - 2} - 2] = 0$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\(x - 5)\sqrt{x - 2 } = 2 \,\,\,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có: $(2) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\(x - 5)^2(x - 2) = 4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\x^3 - 12x^2 + 45x - 54 = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\(x - 6)(x^2 - 6x + 9) = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\ \left[\begin{array}{l} x = 3\\x = 6\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = 6$
Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm: x = 6 và x = 2
b, Hơi dài.
$\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2-2x+2y=-3\\y^2-2xy+2x=-4\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x - 1)^2 - (y - 1)^2 = -3\\(y - x)^2 - (x - 1)^2 = -5\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = x - 1\\b = y - 1\end{array}\right. \Rightarrow b - a = y - x$

Phương trình ban đầu trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}a^2 - b^2 = -3\\(b - a)^2 - a^2 = -5\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a^2 - b^2 = - 3\\b^2 - 2ab = -5\end{array}\right. \,\,\,\,(II)$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}5a^2 - 5b^2 = -15\,\,\,\, (1)\\3b^2 - 6ab = -15\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Lấy (1) - (2) vế theo vế, ta được:
$5a^2 + 6ab - 8b^2 = 0 \Leftrightarrow (a + 2b)(5a - 4b) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = -2b\\a = \dfrac{4b}{5}\end{array}\right.$
- Với a = -2b, hệ (II) trở thành:
$\left\{\begin{array}{l} a = -2b\\(-2b)^2 - b^2 = -3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a = -2b\\b^2 = -1\end{array}\right.$

Hệ phương trình này vô nghiệm.
- Với $a = \dfrac{4b}{5}$, hệ trở thành:
$\left\{\begin{array}{l} a = \dfrac{4b}{5}\\\dfrac{16b^2}{25} - b^2 = - 3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = \dfrac{4b}{5}\\b^2 = \dfrac{25}{3}\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a = \dfrac{4}{5}b = \pm \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\b = \pm \dfrac{5}{\sqrt{3}}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\y - 1 = \dfrac{5}{\sqrt{3}}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{- 4}{\sqrt{3}}\\y - 1 = \dfrac{- 5}{\sqrt{3}}\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\y = 1 + \dfrac{5}{\sqrt{3}}\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 1 - \dfrac{4}{\sqrt{3}}\\y = 1 - \dfrac{5}{\sqrt{3}}\end{array}\right.\end{array}\right.$

P/S: Đề thi 150 phút. không được sử dụng máy tính cầm tay trong phòng thi. :(
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#4 nthoangcute

nthoangcute

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1989 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 11

Đã gửi 18-07-2012 - 13:56

Lời giải từ nthoangcute và WhjteShadow:


Câu 1
a) Giải phương trình: $x^2-7x+10=2\sqrt{x-2}$
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ y^2-2xy+2x=-4\end{matrix}\right.$

a) ĐKXĐ: $x \geq 2$
Ta có:
$x^2-7x+10=2\sqrt{x-2}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2-7x+10 \geq 0\\
(x^2-7x+10)^2=4(x-2)
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2-7x+10 \geq 0\\
(x-2)(x-6)(x-3)^2=0
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=2 \wedge x=6$
b) Ta có:$\left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ y^2-2xy+2x=-4\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ -3(y^2-2xy+2x+4)+5(x^2-y^2-2x+2y+3)=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ (x+2y-3)(5x-4y-1)=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ x=-2y+3 \wedge x=\dfrac{4}{5}y+\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ x=-2y+3\end{matrix}\right. \wedge\left\{\begin{matrix}x^2-y^2-2x+2y=-3\\ x=\dfrac{4}{5}y+\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y^2-2y+2=0\\ x=-2y+3\end{matrix}\right. \wedge\left\{\begin{matrix} 9y^2-18y-66=0\\ x=\dfrac{4}{5}y+\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1-\frac{5}{3} \sqrt{3}\\ x=1-\frac{4}{3} \sqrt{5}\end{matrix}\right. \wedge \left\{\begin{matrix} y=1+\frac{5}{3} \sqrt{3}\\ x=1+\frac{4}{3} \sqrt{5}\end{matrix}\right.$


Câu 2: Tam giác $ABC$ có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$ và có diện tích bằng 1.Chứng minh rằng:
$2012a^2+2010b^2-1005c^2\geq 4\sqrt{2010}$


Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$$1005(b^2+a^2-c^2)+(1005b^2+1007a^2)\geq 4\sqrt{2010}S$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1005b^2+1007a^2}{2ab}\geq \dfrac{4\sqrt{2010}S}{2ab}-\dfrac{1005(b^2+a^2-c^2)}{2ab}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1005b^2+1007a^2}{2ab}\geq \sqrt{2010}\sin C-1005\cos C\; (1)$$
Mặt khác:
Áp dụng AM-GM:
$$VT(1)\geq \sqrt{1005.1007}=\sqrt{2010+1005^2}$$
Áp dụng BCS:
$$VP(1)\leq \sqrt{(2010+1005^2)(\sin^2C+\cos^2C)}= \sqrt{2010+1005^2}$$
Từ đó suy ra (1) đúng suy ra đpcm

Câu 3
a) Nhận dạng tam giác $ABC$ biết các góc $A,B,C$ của tam giác đó thỏa mãn hệ thức $\frac{\sin C}{\sin A.\cos B}=2$
b) Cho hình thoi $ABCD$, biết đường thẳng $AB,AC$ lần lượt có phương trình $2x-y+7=0;3x-y+8=0$ và đường thẳng $BC$ đi qua điểm $M(-4;\frac{13}{2})$
Lập phương trình đường thẳng $CD$

a) Ta có:
$\frac{\sin C}{\sin A.\cos B}=2$
$\Leftrightarrow \frac{c}{a}=\frac{a^2+c^2-b^2}{ac}$
$ \Leftrightarrow a^2-b^2=0$
$\Leftrightarrow a=b$
$\Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$
b) Sau đây là một cách dài ngoẵng (chưa quen dạng bài này, tí về đọc lại sách đã)
A là giao điểm của $2x-y+7=0$ và $3x-y+8=0$
Suy ra $A(-1;5)$
Kẻ $MN$ vuông góc với $AC$ (với $N \in AC$)
Suy ra $N(-\frac{17}{20},\frac{109}{20})$
Gọi $MN$ cắt $AB$ tại $P$
Ta tìm được $P(-\frac{11}{14},\frac{38}{7})$
Gọi $K$ là trung điểm $AP$
Suy ra $K( -\frac{25}{28},\frac{73}{14})$
Vậy $NK$ phải song song với $BC$
Mà Phương trình đường thẳng $NK$ là $\frac{33}{140}x-\frac{3}{70}y=-\frac{243}{560}$
Suy ra $B(-\frac{43}{7},-\frac{37}{7})$ và $C(-\frac{41}{5},-\frac{83}{5})$
Suy ra $D(-\frac{107}{35},-\frac{221}{35})$
Vậy phương trình đường thẳng $CD$ là $y=2x-\frac{1}{5}$


Bài 4:
Đầu tiên ta sẽ chứng minh $\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \sqrt{3}.\frac{x+y}{2}$
Thật vậy nó $\Leftrightarrow x^2+y^2+xy\geq \frac{3}{4}(x+y)^2$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x-y)^2\geq 0$ (Luôn đúng)
Tương tự vậy và cộng lại thì $M\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.[\frac{x+y}{4yz+1}+\frac{y+z}{4zx+1}+\frac{z+x}{4xy+1}]$
Mà $4xy\leq (x+y)^2,4yz\leq (y+z)^2,4zx\leq (x+z)^2$
$\to M\geq \frac{\sqrt{3}}{2}.[\frac{x+y}{(y+z)^2+1}+\frac{y+z}{(z+x)^2+1}+\frac{z+x}{(x+y)^2+1}$
Đặt $x+y=c,y+z=a,z+x=b$ thì muốn tìm min M chỉ cần tìm min:
$\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$
Nhưng đây lại là 1 kết quả quen thuộc the0 PP Cô si ngược dấu.
Các bạn có thể xem chi tiết kết quả này ở:
http://diendantoanho...showtopic=67736

Xem thêm các thủ thuật CASIO ở đây :
www.youtube.com/nthoangcute/

Các bạn có thể Like, Subscribe, Share, ... để kênh của mình phát triển hơn !
Thanks All !


#5 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 468 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 20-11-2012 - 10:24

Câu 4: Các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=\frac{3}{2}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$M=\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{4zx+1}+\frac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{4xy+1}$$


OTHER SOLUTION:
Ta cũng c/m $M.\dfrac{2}{\sqrt{3}}\ge \frac{x+y}{4yz+1}+\frac{y+z}{4zx+1}+\frac{z+x}{4xy+1}$ như trên.
Áp dụng BĐT Schwarz và bổ đề $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le \dfrac{4}{27} (x+y+z)^3$, ta có:
$$M.\dfrac{2}{\sqrt{3}}\ge \sum \dfrac{(x+y)^2}{4yz(x+y)+x+y}\ge \dfrac{4(x+y+z)^2}{12xyz+4(x^2y+y^2z+z^2x)+2(x+y+z)} =\dfrac{9}{4(x^2y+y^2z+z^2x+xyz)+8xyz+3}\\ \ge \dfrac{9}{4.\dfrac{4}{27}(x+y+z)^3+8.\dfrac{(x+y+z)^3}{27}+3}=\dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow M\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$
Vậy $minM=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}\ \square$
---
Mình thấy cách này ý tưởng có vẻ tự nhiên hơn :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 20-11-2012 - 10:25

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#6 DatXVII

DatXVII

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-04-2013 - 10:22

ai có đề gì khác không cho mình ít  thứ 5 thi rồi






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh