Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán Sinh viên toàn quốc năm 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-04-2012 - 08:58

OLP 2012.gif



Tối 10/4, tại thành phố Tuy Hòa, tỉnh Phú Yên đã diễn ra lễ Khai mạc Kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc lần thứ XX năm 2012.

Kỳ thi Olympic Toán Sinh viên toàn quốc năm nay có gần 600 sinh viên đến từ 77 trường Đại học, Cao đẳng trong cả nước tham gia. Các thí sinh dự thi ở 2 môn Đại số và Giải tích, mỗi sinh viên có thể dự thi ở một môn hoặc hai môn, mỗi đội tuyển có tối đa 5 sinh viên cho mỗi môn.


Đề thi Olympic Toán Sinh viên 2012 môn Đại số (thi sáng 11/4/2012).


Đề thi Olympic Toán Sinh viên 2012 môn Giải tích (thi chiều 11/4/2012).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 12-04-2012 - 20:58


#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-04-2012 - 13:05

Kì thi Olympic Toán Sinh viên 2012

Môn: Đại số.

Thi ngày: 11/04/2012

Thời gian làm bài: 180 phút.


Câu 1. Giải hệ phương trình tuyến tính.
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {\rm{2}}\left( {{\rm{4}}{x_1} + {\rm{3}}{x_2} + {\rm{2}}{x_3} + {x_4}} \right)\\
{x_2} = 3\left( {{x_1} + 4{x_2} + 3{x_3} + 2{x_4}} \right)\\
{x_3} = 4\left( {2{x_1} + {x_2} + 4{x_3} + 3{x_4}} \right)\\
{x_4} = 5\left( {3{x_1} + 2{x_2} + {x_3} + 4{x_4}} \right)
\end{array} \right.$$

Câu 2. Một ma trận vuông $A$ được gọi là lũy linh nếu tồn tại $k>0$ để $A^k=0$.
a) Chứng tỏ rằng ma trận tam giác trên có đường chéo chính toàn $0$ là ma trận lũy linh và các ma trận này lập thành một không gian con $V_0$ của không gian $M_{n}\left( \mathbb{R} \right)$ các ma trận vuông cấp n trên trường số thực.Tính $dim V_0$.
b) Giả sử $V$ là một không gian con nào đó của $M_{n}\left( \mathbb{R} \right)$ mà các phần tử của nó đều là ma trận lũy linh.Chứng minh rằng $dim V \le \frac{(n^2-n)}{2}$.

Câu 3. Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n \ge 2$ có các phần tử là các số chính phương lẻ. Chứng minh rằng $det (A)$ chia hết cho $8^{n-1}$.

Câu 4. Cho $A,B \in {M_{100}}\left( \mathbb{R} \right)$ là hai ma trận thỏa mãn $A^{101}=0$ và $AB=2A+3B$.Chứng minh rằng $(A+B)^{100}=0$.

Câu 5. Chứng minh rằng các hàm số:
$${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},\sin 2x,\sin 3x,\sin |x - \pi |,\sin |x - 2\pi |,\sin |x - 3\pi |$$ độc lập tuyến tính trong không gian các hàm liên tục $C( - \infty , + \infty )$ trên trường số thực.

Câu 6.
Thí sinh chọn một trong hai câu sau:

6a. Cho đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên và $a_0$ là số nguyên cho trước.Với mọi số nguyên dương $k$,đặt $a_{k+1}=P(a_k)$.Chứng minh rằng tồn tại số $m$ để hoặc $|a_m|<||a_{m+1}|<...$ hoặc $a_m,a_{m+1},...$ là dãy số tuần hoàn với chu kì không vượt quá 2 (tức $a_m=a_{m+2}=...$).

6b.Cho $A$ là ma trận vuông cấp $5$ có các phần tử là 1 hoặc -1.Chứng minh rằng $|det(A)| \le 64$

#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-04-2012 - 18:16

Kì thi Olympic Toán Sinh viên 2012

Môn: Giải tích.

Thi ngày: 11/04/2012

Thời gian làm bài: 180 phút.


Câu 1. Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn điều kiện:

\[{a_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{n}{a_n} - \frac{2}{n},\,\,\,{a_1} = \alpha ,\,\,\,n = 1,2,3,...\]

Tìm $\alpha $ để $\left( {{a_n}} \right)$ hội tụ.


Câu 2. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n \geqslant 1$ với hệ số thực và đa thức $Q(x)$ cho bởi hệ thức

\[Q\left( x \right) = \left( {2012{x^2} + 1} \right)P\left( x \right)P'\left( x \right) + 2012x\left\{ {{{\left[ {P\left( x \right)} \right]}^2} + {{\left[ {P'\left( x \right)} \right]}^2}} \right\}\]

Chứng minh rằng nếu phương trình $P\left( x \right) = 0$ có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt trong $\left[ {\frac{1}{2}, + \infty } \right)$ thì phương trình $Q\left( x \right) = 0$ có ít nhất $2n-1$ nghiệm thực phân biệt.


Câu 3. Tính tích phân \[\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{\left( {{{2012}^x} + 1} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}} \]

Câu 4. Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

\[f\left( {\frac{{x + y}}{{2012}}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( {\frac{x}{{2013}}} \right) + f\left( {\frac{y}{{2014}}} \right)} \right],\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}\]

Câu 5. Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {0,2012} \right]$ và thỏa mãn điều kiện

\[f\left( x \right) + f\left( {2012 - x} \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0,2012} \right]\]

Chứng minh \[\int\limits_0^{2012} {f\left( x \right)dx} = 0\]

và phương trình \[\left( {x - 2012} \right)f\left( x \right) = 2012\int\limits_0^{2012 - x} {f\left( u \right)du} \]

có nghiệm trong khoảng $\left( {0,2012} \right)$.


Câu 6. Thí sinh chọn một trong hai câu sau:


6a. Cho hàm số $f(x)$ khả vi liên tục hai lần trên $\mathbb{R}$. Giả sử $f\left( 1 \right) = 0$ và $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 0} $. Chứng minh rằng với mọi $\alpha \in \left( {0,1} \right)$, ta có

\[\left| {\int\limits_0^\alpha {f\left( x \right)dx} } \right| \leqslant \frac{2}{{81}}\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} \left| {f''\left( x \right)} \right|\]

6b. Cho $f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R}$ là hàm lõm (hay còn gọi là lồi lên phía trên), khả vi liên tục thỏa mãn $f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0$. Chứng minh rằng

\[\sqrt {1 + 4\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} {f^2}\left( x \right)} \leqslant \int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} } dx \leqslant 1 + 2\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} f\left( x \right)\]



#4 leminhansp

leminhansp

    Super Spammer $\sqrt{MF}$

  • Điều hành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định - Thái Nguyên

Đã gửi 12-04-2012 - 14:43

Đề giải tích câu 2 bị sai và tất cả các thí sinh đều được điểm câu này!
Trong buổi sáng thi Đại số theo lời kể của một bạn thì có một sự việc đáng tiếc xảy ra là có một thí sinh...gian lận và bị bắt! Tuy nhiên thí sinh này đã xin được giám thị không lập biên bản và được thi tiếp!
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Hình đã gửi $\sqrt{\text{MF}}$


#5 Dexter

Dexter

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 12-04-2012 - 18:28

giải tích sao mà cứ lặp lại kịch bản này, một cuộc thi uy tín mà như thế thì....

#6 leminhansp

leminhansp

    Super Spammer $\sqrt{MF}$

  • Điều hành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định - Thái Nguyên

Đã gửi 12-04-2012 - 20:01

Đã có kết quả, không biết các bác bên mình thi đc giải cao không, mình chỉ được giải 3 ĐS thôi...
Năm nay các bạn Cao đẳng thi kết quả rất tốt, các bạn thi được khá nhiều giải cao (nhất, nhì), có vẻ các bạn trường Ngoại Thương kết quả tốt nhất, chúc mừng các bạn!
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Hình đã gửi $\sqrt{\text{MF}}$


#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-04-2012 - 20:58

Đáp án Đề thi Olympic Toán Sinh viên toàn quốc năm 2012.

File gửi kèm



#8 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 202 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 12-04-2012 - 23:10

Điểm Cao đẳng nhân hệ số 1.2
Giải tích thì không vấn đề nhưng điểm Đại số gây cho các thí sinh rất nhiều thắc mắc.

#9 leminhansp

leminhansp

    Super Spammer $\sqrt{MF}$

  • Điều hành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định - Thái Nguyên

Đã gửi 13-04-2012 - 00:26

Nói chung khâu ra đề không được tốt lắm, GT thì sai đề, ĐS thì có ít nhất 2 câu của trường Ngoại Thương
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Hình đã gửi $\sqrt{\text{MF}}$


#10 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1408 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 13-04-2012 - 11:15

Đề thi mà có cả những bài lời giải 1 dòng nữa cơ à
Nhìn đi nhìn lại thì thấy chẳng thay đổi gì so với mọi năm. Phạm vi hẹp quá dẫn đến ra bài cũng khó chăng

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#11 Dexter

Dexter

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 13-04-2012 - 13:36

nói chung đề đại số không hay bằng năm ngoái, mấy câu "truyền thống" không có nữa: ma trận luỹ thừa, hạng, giá trị riêng, vector riêng. Thay vào đó là không gian vector, định thức cũng nhiều.

#12 hoangcaoto

hoangcaoto

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 13-04-2012 - 16:22

Đề thi mà có cả những bài lời giải 1 dòng nữa cơ à
Nhìn đi nhìn lại thì thấy chẳng thay đổi gì so với mọi năm. Phạm vi hẹp quá dẫn đến ra bài cũng khó chăng


em chào anh Tân :)

#13 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 16-04-2012 - 08:29

Năm nay ban tỏ chức làm chán quá! Sai sót quá nhiều!
"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#14 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-04-2012 - 10:44

Các anh thi tốt chứ. Kết quả thế nào ạ?

#15 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 202 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 20-04-2012 - 18:56

Các anh thi tốt chứ. Kết quả thế nào ạ?

Em có thi không?
Bến Đại số năm nay có cái Đề cương nên khác kiểu ngày xưa, nên chắc sự thay đổi này cũng có thể lý giải được.

#16 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-04-2012 - 01:36

Em có thi không?
Bến Đại số năm nay có cái Đề cương nên khác kiểu ngày xưa, nên chắc sự thay đổi này cũng có thể lý giải được.


Dạ, năm nay em không thi ạ. Trường em không có thông báo chọn đội tuyển nên chẳng biết đường nào mà ... :D.

Anh Nhất môn Giải tích à. Chúc mừng anh nhé. Anh có kinh nghiệm gì bày em với!

#17 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 202 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 21-04-2012 - 17:57

Dạ, năm nay em không thi ạ. Trường em không có thông báo chọn đội tuyển nên chẳng biết đường nào mà ... :D.

Anh Nhất môn Giải tích à. Chúc mừng anh nhé. Anh có kinh nghiệm gì bày em với!


Hj, còn lâu mới thi nữa mà (hơn 11 tháng), em có ý định năm sau thi thi nói anh ĐK cho, không cần qua trường cũng được. Kinh nghiệm thì gần thi mới ôn (có thể ôn trên tàu) là hay nhất^^

#18 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-04-2012 - 00:42

Hj, còn lâu mới thi nữa mà (hơn 11 tháng), em có ý định năm sau thi thi nói anh ĐK cho, không cần qua trường cũng được. Kinh nghiệm thì gần thi mới ôn (có thể ôn trên tàu) là hay nhất^^


Ủa sao lại không cần thi tuyển ở trường hả anh. Em nghĩ đội tuyển phải được chọn từ trường chứ.

Nếu được vậy thì tốt quá. Mà có gì em sẽ trao đổi với anh qua tin nhắn nhé. Đây là topic thảo luận toán nên không tiện. Em đã vi phạm nội quy của Diễn đàn rồi :D.

----




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh