Đến nội dung


Hình ảnh

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Điều hành viên THCS
  • 519 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 THPT Kỳ Anh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Đại số đặc biệt là BĐT

Đã gửi 18-05-2012 - 20:52

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
Hình học là một công cụ để giải quyết được nhiều bài toán đại số, trong đó có bài toán bất đẳng thức. Tìm hiểu vấn đề này cho chúng ta thấy mối quan hệ giữa Hình học và Đại số trong Toán.

Hãy xuất phát từ một ví dụ đơn giản.

Ví dụ 1.(Bđt Cauchy trong trường hợp $n=2$)

Chứng minh rằng : Nếu $a,b$ là các số dương thì $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$

Chứng minh:

BĐT.JPG

Vẽ nửa đường tròn đường kính $AB=a+b$.

Trên $AB$ lấy điểm H thoã mãn $AH=a,HB=b$.Từ $H$ kẻ đường vuông góc với $AB$ cắt đường tròn tại $C$ thì $CH=\sqrt{AH.AB}=\sqrt{ab}$

Hiển nhiên $CH$ ko lớn hơn bán kính đường tròn nên $\sqrt{ab}=CH \le \frac{1}{2}.AB=\frac{a+b}{2}$(đpcm).Đẳng thức xảy ra khi $CH$ là bán kính hay $H$ trùng tâm đường tròn, điều này chính là $a=b$

Ví dụ 2.

Chứng minh rằng: nếu $a>c,b>c$ và $c>0$ thì $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}.$

Chứng minh

BĐT 2.JPG

Trên đường thẳng $d$ lấy lần lượt các điểm $B,H,C$ sao cho $BH=\sqrt{a-c},HC=\sqrt{b-c}.$Trên đường vuông góc với BC kẻ từ $H$ sao cho $HA=\sqrt{c}$

Sử dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông $AHB,AHC$ ta có:
$AB=\sqrt{a},AC=\sqrt{b}$. Do đó

$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}=2(S_{ABH}+S_{ACH})$

$=2S_{ABC}=AB.AC.sin A \le AB.AC=\sqrt{ab}$ (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng: nếu $0<a,b,c<1$ thì :$$a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)<1$$

Chứng minh

Vẽ tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $1$. Trên các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $AM=a,BN=b,CP=c$.Vì $a,b,c$ thuộc $(0;1)$
Nên ta có được diện tích tam giác $MNP$ dương.

BĐT3.JPG

Do đó $S_{AMP}+S_{BNM}+S_{CPN}<S_{ABC}$

$\iff \frac{1}{2}AM.Ap. sin A +\frac{1}{2}BN.BM. sin B+\frac{1}{2}CP.CN.sin C<\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\iff a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)<1$ (ĐPCM)

Ví dụ 4

Với mọi số dương $a,b,c,d$ ta có:

$$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$$

Chứng minh:

Trên mặt phẳng toạ độ xét các điểm $O(0 ; 0),A(a;b),B(a+c;b+d).$

Ta có BĐT tam giác $OA+AB\ge OB.$

Vì $OA=\sqrt{a^2+b^2},AB=\sqrt{c^2+d^2},OB=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Do đó ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5.

Chứng minh rằng $a+b+c=3$ thì:

$$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+cb+c^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}\ge 3\sqrt{3}$$

Chứng minh: Ta có

$\sqrt{a^2+ab+b^2}=\sqrt{(a+\frac{1}{2}b)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}b)^2}$

$\sqrt{b^2+cb+c^2}=\sqrt{(b+\frac{1}{2}c)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}c)^2}$

$\sqrt{a^2+ac+c^2}=\sqrt{(c+\frac{1}{2}a)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2}$

Xét các điểm $O(0;0),A(a++\frac{1}{2}b),B(a+b+b+\frac{1}{2}c;{\sqrt{3}}{2}b),C=(a+\frac{1}{2}b+b+\frac{1}{2}c+c++\frac{1}{2}a;{\sqrt{3}}{2}b+{\sqrt{3}}{2}c)$

Ta có $VT=OA+AB+BC \ge OC$

$=\sqrt{(\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{3}{2}c)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c+\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2}$

$=3 \sqrt{3}=VP$ (ĐPCM.)

Sau đây em sẽ dưới thiệu các bài tập tự luyện

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 18-05-2012 - 21:19

@@@@@@@@@@@@

#2 hamdvk

hamdvk

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:High School for Gifted Student HNUE
  • Sở thích:toán~...~

Đã gửi 18-05-2012 - 22:09

cho mình góp một bài nhé
Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương CMR
$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

~.......................................................~


$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$

~.............................................................................................~


#3 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1350 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Kỳ Lâm
  • Sở thích:Vietnam idol!

Đã gửi 19-05-2012 - 21:55

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. CMR
$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

Giải

Trong hệ tọa độ Oxy, chọn:
$A = (\dfrac{a}{2}; \dfrac{\sqrt{3}a}{2}); B = (b \,; 0); C = (\dfrac{c}{2}; \dfrac{-\sqrt{3}c}{2})$


Theo Bất đẳng thức 3 điểm, ta có:
$AB + BC \geq AC$


$\Rightarrow \sqrt{(b - \dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}a}{2})^2} + \sqrt{(b - \dfrac{c}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}c}{2})^2} \geq \sqrt{(\dfrac{c}{2} - \dfrac{a}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}a}{2} + \dfrac{\sqrt{3}c}{2})^2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^2 + b^2 - ab} + \sqrt{b^2 + c^2 - bc} \geq \sqrt{a^2 + c^2 + ac}$

Dấu "=" xảy ra khi:
Vectơ BA cùng phương với vectơ BC.
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2} - b}{\dfrac{\sqrt{3}a}{2}} = \dfrac{\dfrac{c}{2} - b}{\dfrac{\sqrt{3}c}{2}}$


$\Leftrightarrow \dfrac{a - 2b}{a} = \dfrac{c - 2b}{c} \Leftrightarrow 2b(a - c) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = c\\b = 0\end{array}\right.$


Do a, b, c là các số thực dương nên $b \neq 0$

Thế điều kiện a = c vào đẳng thức:
$$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc} = \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$$

Suy ra:
$2\sqrt{a^2 + b^2 - ab} = \sqrt{3a^2}$ $\Rightarrow a^2 - 4ab + 4b^2 = 0 \Rightarrow b = \dfrac{a}{2} = \dfrac{c}{2}$
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#4 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Trung tướng

  • Quản trị
  • 2802 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 19-05-2012 - 22:00

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=2\sqrt{x^2+1}+\sqrt{8x^2-36x+49}$$

dunganhxtanh: Anh 5-6 năm ra trường còn bình thường.
dunganhxtanh: Cứ giữ ước mơ, 1 năm không là gì cả.

 

8.gif

#5 hamdvk

hamdvk

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:High School for Gifted Student HNUE
  • Sở thích:toán~...~

Đã gửi 20-05-2012 - 05:57

cho mình góp một bài nhé
Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương CMR
$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

------------------------------------
GIẢI

Vẽ tam giác ABD có $\widehat{ABD}=120^{\circ} ; AB=a ; BD=c$

Kẻ phân giác $Bx$, trên $Bx$ lấy $C$ sao cho $BC = b$

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat{ABC}=60^{\circ}$

Suy ra $AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.cos60=a^{2}+b^{2}-ab$

CMTT: Xét $\Delta BDC$ $DC^{2}=c^{2}+b^{2}-2cb.cos60=c^{2}+b^{2}-cb$

Xét $\Delta BAD$ $DA^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca.cos120=c^{2}+a^{2}+ac$

Theo tính chát đường gấp khúc có $AC + DC \geq AD$
Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hamdvk: 17-07-2012 - 10:11

~.......................................................~


$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$

~.............................................................................................~


#6 Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Điều hành viên THCS
  • 519 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 THPT Kỳ Anh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Đại số đặc biệt là BĐT

Đã gửi 20-05-2012 - 18:48

Bài 3:
Chứng minh rằng với mọi $x,y,z$ ta có:
$$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+zy+z^2}\ge \sqrt{z^2+xz+x^2}$$
Bài 4: Tìm Min của hàm số
$$y=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 21-05-2012 - 19:58

@@@@@@@@@@@@

#7 ducthinh26032011

ducthinh26032011

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hội những người độc thân thích chém gió !

Đã gửi 21-05-2012 - 14:44

Bài 3:
Chứng minh rằng với mọi $x,y,z$ ta có:
$$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+zy+z^2}\ge \sqrt{z^2+xz+x^2}$$
Bài 4: Tìm Min của hàm số
$$y=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}$$


4)Sử dụng Bđt Min-cốp-xki
$y=\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}+\sqrt{(\frac{1}{2}-x)^{2}+\frac{3}{4}}\geq \sqrt{(x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-x)^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=2$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 05-06-2012 - 07:59

Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh