Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn đang thử nghiệm trang chủ mới (vẫn đang trong quá trình hoàn thiện). BQT sẽ ra thông báo cụ thể trong ít ngày tới.

Hình ảnh

Italy MO 2012

4th may 2012

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 21-05-2012 - 19:10

$\fbox{1}.$ On the sides of a triangle $ABC$ right angled at $A$ three points $D, E$ and $F$ (respectively $BC, AC$
and $AB$) are chosen so that the quadrilateral $AFDE$ is a square. If $x$ is the length of the side of the square, show that
\[\frac{1}{x}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\]

$\fbox{2}.$ Determine all positive integers that are equal to $300$ times the sum of their digits.

$\fbox{3}.$ Let $n$ be an integer greater than or equal to $2$. There are $n$ people in one line, each of which is either a scoundrel (who always lie) or a knight (who always tells the truth). Every person, except the first, indicates the person in front of him/her and says "This person is a scoundrel" or "This person is a knight." Knowing that there are strictly more scoundrel than knights, seeing the statements show that it is possible to determine each person whether he/she is a scoundrel or a knight.

$\fbox{4}.$ Let $x_1,x_2,x_3, \cdots$ be a sequence defined by the following recurrence relation:
\[\left\{ \begin{array}{cc} x_1=4 \\ x_{n+1} = x_1x_2x_3 \cdots x_n+5 \ \ \text{for} \ n \ge 1\end{array} \right.\]
The first few terms of the sequence are $x_1=4,x_2=9,x_3=41 \cdots$

Find all pairs of positive integers $\{a,b\}$ such that $x_a x_b$ is a perfect square.

$\fbox{5}.$ $ABCD$ is a square. Describe the locus of points $P$, different from $A, B, C, D$, on that plane for which
\[\widehat{APB}+\widehat{CPD}=180^\circ\]

$\fbox{6}.$ Determine all pairs $\{a, b\}$ of positive integers with the following property: in whatever manner you color the positive integers with two colors $A$ and $B$, there always exist two positive integers with the color $A$ difference of those two positive integers being $a$ or with color $B$ difference being $b$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 21-05-2012 - 19:12

"God made the integers, and else is the work of man."

#2 tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 22-05-2012 - 00:38

$\fbox{1}.$

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$. Trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ lấy tương ứng ba điểm $D, E$ and $F$ thỏa mãn tứ giác $AFDE$ là hình vuông. Gọi $x$ là độ dài cạnh hình vuông. CMR :
\[\frac{1}{x}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\]

$\fbox{2}.$


Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn số đó bằng $300$ lần tổng các chữ số của nó.

$\fbox{3}.$


Cho số nguyên $n$ $(n\geq 2)$. Giả sử có $n$ người, trong đó có những người luôn nói dối và những người luôn nói thật . Tất cả mọi người ( trừ người đầu tiên) chỉ về người phía trước họ và nói : : "Đây là người luôn nói dối" hoặc "Đây là người luôn nói thật". Biết rằng người luôn nói dối nhiều hơn người luôn nói thật. CMR : có thể xác định mỗi người là người luôn nói dối hoặc luôn nói thật nhờ các dữ kiện trên.

$\fbox{4}.$

Cho dãy $(x_{n} )$ được xác định bởi công thức :
\[\left\{ \begin{array}{cc} x_1=4 \\ x_{n+1} = x_1x_2x_3 \cdots x_n+5 \ \ \text{for} \ n \ge 1\end{array} \right.\]
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\{a,b\}$ thỏa mãn $x_a x_b$ là số chính phương.


$\fbox{5}.$

Cho hình vuông $ABCD$. Tìm quỹ tích của điểm $P$ $(P\neq A, B, C, D)$ trên mặt phẳng sao cho : $\widehat{APB}+ \widehat{CPD}=180^{o}$

$\fbox{6}.$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\{a, b\}$ có tính chất: khi bạn tô màu các số nguyên dương với hai màu $A$ và $B$, luôn tồn tại hai số nguyên dương màu $A$ khác số nguyên dương $a$ hoặc màu $B$ khác số $b$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 22-05-2012 - 11:08


#3 nthoangcute

nthoangcute

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1992 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 11

Đã gửi 14-06-2012 - 06:36

$\fbox{1}.$

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$. Trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ lấy tương ứng ba điểm $D, E$ and $F$ thỏa mãn tứ giác $AFDE$ là hình vuông. Gọi $x$ là độ dài cạnh hình vuông. CMR :
\[\frac{1}{x}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\]

Vì $AB$ vuông góc với $AC$
$DE$ vuông góc với $AB$
Suy ra $AB$ song song với DE
Suy ra $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}$
CMTT ta được: $\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{CB}$
Từ đó suy ra $\frac{DE}{AB}+\frac{DF}{AC}=1$
Hay $\frac{1}{x}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Xem thêm các thủ thuật CASIO ở đây :
www.youtube.com/nthoangcute/

Các bạn có thể Like, Subscribe, Share, ... để kênh của mình phát triển hơn !
Thanks All !


#4 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 29-06-2012 - 22:57

$\fbox{2}.$

Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn số đó bằng $300$ lần tổng các chữ số của nó.


Gọi $S(n), k$ là tổng các chữ số, số chữ số của $n$.
Ta có: $n=300S(n)$
Mà $n\equiv S(n) (mod 9)$ nên $299S(n)\equiv 0 (mod 9) \Rightarrow S(n)\equiv 0(mod 9)$
$\Rightarrow 2700|n$
$\Rightarrow n$ có ít nhất $2$ chữ số $0$ tận cùng và $k\geq 4$
$\Rightarrow n\geq 10^{k-1}; S(n)\leq 9(k-2)$
$\Rightarrow 2700(k-2)\geq 10^{k-1}$
$\Rightarrow k=4 \Rightarrow n=2700$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#5 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 29-06-2012 - 23:08

$\fbox{4}.$

Cho dãy $(x_{n} )$ được xác định bởi công thức :
\[\left\{ \begin{array}{cc} x_1=4 \\ x_{n+1} = x_1x_2x_3 \cdots x_n+5 \ \ \text{for} \ n \ge 1\end{array} \right.\]
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\{a,b\}$ thỏa mãn $x_a x_b$ là số chính phương.


Từ gt suy ra $x_n\not \equiv o (mod 5), \forall n$
$\Rightarrow gcd(x_a; x_b)=gcd(x_1.x_2...x_{a-1}+5; x_b)=gcd(x_b;5)=1$
Nên để $x_a.x_b$ là SCP thì $x_a; x_b$ đều là SCP với $a\neq b$ hoặc $a=b$
Ta có: $x_1=4; x_2=9 \Rightarrow x_n\equiv 5 (mod 36) với n>3$
$\Rightarrow x_n$ không phải là SCP với $\forall n>3$
Vậy $(a; b)$ tm là $(1; 2)$ và $(n; n)$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh