Jump to content


Photo

Italy MO 2012

4th may 2012

  • Please log in to reply
4 replies to this topic

#1 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3,292 posts
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Posted 21-05-2012 - 19:10

$\fbox{1}.$ On the sides of a triangle $ABC$ right angled at $A$ three points $D, E$ and $F$ (respectively $BC, AC$
and $AB$) are chosen so that the quadrilateral $AFDE$ is a square. If $x$ is the length of the side of the square, show that
\[\frac{1}{x}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\]

$\fbox{2}.$ Determine all positive integers that are equal to $300$ times the sum of their digits.

$\fbox{3}.$ Let $n$ be an integer greater than or equal to $2$. There are $n$ people in one line, each of which is either a scoundrel (who always lie) or a knight (who always tells the truth). Every person, except the first, indicates the person in front of him/her and says "This person is a scoundrel" or "This person is a knight." Knowing that there are strictly more scoundrel than knights, seeing the statements show that it is possible to determine each person whether he/she is a scoundrel or a knight.

$\fbox{4}.$ Let $x_1,x_2,x_3, \cdots$ be a sequence defined by the following recurrence relation:
\[\left\{ \begin{array}{cc} x_1=4 \\ x_{n+1} = x_1x_2x_3 \cdots x_n+5 \ \ \text{for} \ n \ge 1\end{array} \right.\]
The first few terms of the sequence are $x_1=4,x_2=9,x_3=41 \cdots$

Find all pairs of positive integers $\{a,b\}$ such that $x_a x_b$ is a perfect square.

$\fbox{5}.$ $ABCD$ is a square. Describe the locus of points $P$, different from $A, B, C, D$, on that plane for which
\[\widehat{APB}+\widehat{CPD}=180^\circ\]

$\fbox{6}.$ Determine all pairs $\{a, b\}$ of positive integers with the following property: in whatever manner you color the positive integers with two colors $A$ and $B$, there always exist two positive integers with the color $A$ difference of those two positive integers being $a$ or with color $B$ difference being $b$.

Edited by Phạm Quang Toàn, 21-05-2012 - 19:12.

"God made the integers, and else is the work of man."

#2 tieulyly1995

tieulyly1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 posts
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ

Posted 22-05-2012 - 00:38

$\fbox{1}.$

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$. Trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ lấy tương ứng ba điểm $D, E$ and $F$ thỏa mãn tứ giác $AFDE$ là hình vuông. Gọi $x$ là độ dài cạnh hình vuông. CMR :
\[\frac{1}{x}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\]

$\fbox{2}.$


Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn số đó bằng $300$ lần tổng các chữ số của nó.

$\fbox{3}.$


Cho số nguyên $n$ $(n\geq 2)$. Giả sử có $n$ người, trong đó có những người luôn nói dối và những người luôn nói thật . Tất cả mọi người ( trừ người đầu tiên) chỉ về người phía trước họ và nói : : "Đây là người luôn nói dối" hoặc "Đây là người luôn nói thật". Biết rằng người luôn nói dối nhiều hơn người luôn nói thật. CMR : có thể xác định mỗi người là người luôn nói dối hoặc luôn nói thật nhờ các dữ kiện trên.

$\fbox{4}.$

Cho dãy $(x_{n} )$ được xác định bởi công thức :
\[\left\{ \begin{array}{cc} x_1=4 \\ x_{n+1} = x_1x_2x_3 \cdots x_n+5 \ \ \text{for} \ n \ge 1\end{array} \right.\]
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\{a,b\}$ thỏa mãn $x_a x_b$ là số chính phương.


$\fbox{5}.$

Cho hình vuông $ABCD$. Tìm quỹ tích của điểm $P$ $(P\neq A, B, C, D)$ trên mặt phẳng sao cho : $\widehat{APB}+ \widehat{CPD}=180^{o}$

$\fbox{6}.$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\{a, b\}$ có tính chất: khi bạn tô màu các số nguyên dương với hai màu $A$ và $B$, luôn tồn tại hai số nguyên dương màu $A$ khác số nguyên dương $a$ hoặc màu $B$ khác số $b$.

Edited by tieulyly1995, 22-05-2012 - 11:08.


#3 nthoangcute

nthoangcute

    Đại úy

  • Biên tập viên
  • 1,984 posts
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 11

Posted 14-06-2012 - 06:36

$\fbox{1}.$

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$. Trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ lấy tương ứng ba điểm $D, E$ and $F$ thỏa mãn tứ giác $AFDE$ là hình vuông. Gọi $x$ là độ dài cạnh hình vuông. CMR :
\[\frac{1}{x}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\]

Vì $AB$ vuông góc với $AC$
$DE$ vuông góc với $AB$
Suy ra $AB$ song song với DE
Suy ra $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}$
CMTT ta được: $\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{CB}$
Từ đó suy ra $\frac{DE}{AB}+\frac{DF}{AC}=1$
Hay $\frac{1}{x}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Xem thêm các thủ thuật CASIO ở đây :
www.youtube.com/nthoangcute/

Các bạn có thể Like, Subscribe, Share, ... để kênh của mình phát triển hơn !
Thanks All !


#4 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 posts
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Posted 29-06-2012 - 22:57

$\fbox{2}.$

Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn số đó bằng $300$ lần tổng các chữ số của nó.


Gọi $S(n), k$ là tổng các chữ số, số chữ số của $n$.
Ta có: $n=300S(n)$
Mà $n\equiv S(n) (mod 9)$ nên $299S(n)\equiv 0 (mod 9) \Rightarrow S(n)\equiv 0(mod 9)$
$\Rightarrow 2700|n$
$\Rightarrow n$ có ít nhất $2$ chữ số $0$ tận cùng và $k\geq 4$
$\Rightarrow n\geq 10^{k-1}; S(n)\leq 9(k-2)$
$\Rightarrow 2700(k-2)\geq 10^{k-1}$
$\Rightarrow k=4 \Rightarrow n=2700$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#5 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 posts
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Posted 29-06-2012 - 23:08

$\fbox{4}.$

Cho dãy $(x_{n} )$ được xác định bởi công thức :
\[\left\{ \begin{array}{cc} x_1=4 \\ x_{n+1} = x_1x_2x_3 \cdots x_n+5 \ \ \text{for} \ n \ge 1\end{array} \right.\]
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\{a,b\}$ thỏa mãn $x_a x_b$ là số chính phương.


Từ gt suy ra $x_n\not \equiv o (mod 5), \forall n$
$\Rightarrow gcd(x_a; x_b)=gcd(x_1.x_2...x_{a-1}+5; x_b)=gcd(x_b;5)=1$
Nên để $x_a.x_b$ là SCP thì $x_a; x_b$ đều là SCP với $a\neq b$ hoặc $a=b$
Ta có: $x_1=4; x_2=9 \Rightarrow x_n\equiv 5 (mod 36) với n>3$
$\Rightarrow x_n$ không phải là SCP với $\forall n>3$
Vậy $(a; b)$ tm là $(1; 2)$ và $(n; n)$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC




1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users