Đến nội dung


Hình ảnh

Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc mặt phẳng đường thẳng không gian

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 kvthanh

kvthanh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán học, Thủ thuật tin học, latex, bóng đá

Đã gửi 11-06-2012 - 21:41

Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong các nội dung xuất hiện trong đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng. Từ giờ đến khi thi, mathblog sẽ giới thiệu một số dạng toán liên quan đến nội dung này. Bài giảng này nói về góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Trước tiên ta nhắc lại các công thức tính góc.
Giả sử $\Delta$ đi qua $M_0$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$,
$\Delta'$ đi qua $M'_0$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}$,
mặt phẳng $(P): Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$,
mặt phẳng $(Q): A'x+B'y+C'z+D'=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n'}=(A';B';C')$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa $\Delta$ và $\Delta'$; $\beta$ là góc giữa $\Delta$ và $(P)$; $\gamma$ là góc giữa $(P)$ và $(Q)$..
Khi đó ta có
$\cos \alpha=\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{u'}\right|}, \sin\beta=\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}$.
$\cos \gamma=\left|\cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{n'}\right|}$
Bây giờ xét một số ví dụ.
Ví dụ 1.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $(\alpha): x-y+z-5=0$ và $\Delta: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(3;-1;1)$, nằm trong mp$(\alpha)$ và hợp với $\Delta$ một góc $45^o$.
Lời giải.
Giả sử VTCP của $d$ là $\overrightarrow{u}=(a;b;c), (a^2+b^2+c^2\neq 0)$.
VTPT của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n}=(1;-1;1)$.
VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;2;2)$.
Do $d\subset (\alpha)$ nên $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$
$\Leftrightarrow a-b+c=0$ (1).
Vì goc giữa $d$ và $\Delta$ là $45^o$ nên $\cos 45^o=\left|\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u_{\Delta}})\right|$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left|a+2b+2c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\sqrt{4+4+1}\Leftrightarrow 3\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2\left|a+2b+2c\right|$ (2)
Thế (1) vào (2) ta có $3\sqrt{2}\sqrt{a^2+(a+c)^2+c^2}=2\left|a+2(a+c)+2c\right|\Leftrightarrow 3\sqrt{a^2+ac+c^2}=\left|3a+4c\right|$
$\Leftrightarrow 15ac+7c^2=0\Leftrightarrow c(15a+7c)=0\Leftrightarrow c=0$ hoặc $15a+7c=0$.
Với $c=0$ chọn $a=b=1$, ta được $d: \begin{cases}
x=3+t&\\
y=-1+t&\\
z=1
\end{cases}$
Với $15a+7c=0$, chọn $a=7,c=-15,b=-8$, ta được $d: \begin{cases}
x=3+7t&\\
y=-1-8t&\\
z=1+15t
\end{cases}$
Nhận xét: Bài toán trên là bài toán có 3 ẩn số phải tìm là $a,b,c$. Ta lập được hệ gồm hai phương trình. Trong trường hợp này thì hệ PT luôn là hệ vô định, tức là có vô số nghiệm. Lý do có vô số nghiệm ở đây (có thể chọn $a,b,c$) là vì nếu $\overrightarrow{u}$ là VTCP của $d$ thì $k.\overrightarrow{u},k\neq 0$ cũng là VTCP của $d$.
Khi giải hệ loại này thường dẫn ta đến phương trình vô định thuần nhất bậc hai dạng $Ax^2+Bxy+Cy^2=0$. Do đó các bạn cần nắm vững cách giải PT này. Cần xét 2 trường hợp: TH1 xét với $y=0$; TH2 xét $y\neq 0$, chia cả hai vế cho $y^2$ được PT bậc 2.
Ví dụ 2.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\Delta: \begin{cases}
x=-t&\\
y=-1+2t&\\
z=2+t
\end{cases}$
và $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$.
Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và tạo với $(\alpha)$ một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Giả sử $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{P}}=(A;B;C), (A^2+B^2+C^2\neq 0)$.
Ta có VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=(-1;2;1)$.
$(\alpha)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{\alpha}}=(2;-1;-2)$.
Do $(P)$ chứa $\Delta$ nên $\overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{u_{\Delta}}=0\Leftrightarrow -A+2B+C=0$ (1)
Gọi $\varphi$ là góc giữa $(\alpha)$ và $(P)$ thì ta có $\cos\varphi=\left|\cos(\overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{n_{\alpha}})\right|$
$\Leftrightarrow \cos\varphi=\dfrac{\left|2A-B-2C\right|}{3\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ (2)
Thế (1) vào (2) ta có
$(5\cos^2\varphi-1)B^2+4B.C.\cos^2\varphi+2C^2\cos^2\varphi=0$ (*).
Đặt $a=\cos^2\varphi$, ta có
$(5a-1)B^2+4aBC+2aC^2=0$
Với $C=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{5}$ hoặc $B=0\Rightarrow A=0$.
Với $C\neq 0\Rightarrow (5a-1)\left(\dfrac{B}{C}\right)^2+4a\left(\dfrac{B}{C}\right)+2a=0$
PT này có nghiệm $\Delta'=\Leftrightarrow -3a^2+a\geq 0\Leftrightarrow 0\leq a\leq \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \varphi$ nhỏ nhất khi $\cos^2\varphi=\dfrac{1}{3}$, thay vào PT (*) ta tìm được $B=1,C=-1,A=1$.
KL: $(P): x+y-z+3=0$.
Để nắm vững cách giải của dạng này, các bạn nên làm thêm một số bài tập dưới đây.
Bài tập đề nghị
Bài 1.
Cho $\Delta_1$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x-ay-z-1=0$ và $y-2=0$; $\Delta_2$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ax+3y-a-3=0$ và $z-1=0$.
Xác định $a$ để góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ bằng $45^o$.
Bài 2.
Cho $\Delta:\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$. Gọi $\alpha,\beta,\gamma$ lần lượt là góc hợp bởi $\Delta$ với các trục tọa độ. CMR $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$.
Bài 3.
Cho $d_1$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x+y-2=0$ và $y+z-2=0$; $d_2:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+5}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng chứa $d_1$ và tạo với $d_2$ một góc $60^o$.

Nguồn: mathblog.org







Bài viết liên quan

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh