)Chẳng hạn với bài toán sau:
Khảo sát hàm số:
$$y=\frac{5x-1}{2x-1}$$
LG: (đại khái thế)
TXĐ: D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}$
$y'=\frac{-3}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}<0$, $\forall x\in D$
…
Vậy hàm số nghịch biến trên D (hay trên TXĐ, hay trên $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right)\cup \left( \frac{1}{2};+\infty \right)$, hay với mọi $x\ne \frac{1}{2}$…)
____________
Ngày xưa đi học thầy giáo dạy mình là phải viết là "hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right)$ và $\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$", hồi đấy mình học thầy bảo thế thì nghe thế chứ cũng không thắc mắc gì!
Bây giờ đi dạy mình cũng nhắc học sinh như thầy mình nhắc mình, và học sinh thắc mắc tại sao lại thế ạ, viết như thế thì có gì khác gì nhau đâu…
____________
Vâng, có lẽ vì suy nghĩ không khác gì nhau nên học sinh thường mắc sai lầm trong các bài toán kiểu như sau chăng:
Giải phương trình:
$$x\left( 5-{{2}^{2x+1}} \right)=1-{{2}^{2x}}$$ (*)
LG: (sai)
$\left( * \right)\Leftrightarrow {{2}^{2x}}=\frac{5x-1}{2x-1}$ (do $x=\frac{1}{2}$ không phải là nghiệm của (*))
Ta thấy, $f\left( x \right)={{2}^{2x}}$ đồng biến với mọi x, và $g\left( x \right)=\frac{5x-1}{2x-1}$ nghịch biến với mọi $x\ne \frac{1}{2}$ nên
Với $x=0$ thì $f\left( 0 \right)=g\left( 0 \right)$, nên $x=0$ là nghiệm của phương trình
Với $x>0$ thì $\left\{ \begin{align}
& f\left( x \right)>f\left( 0 \right) \\
& g\left( x \right)<g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right) \\
\end{align} \right.$ nên $x>0$ không là nghiệm.
Với $x<0$ thì $\left\{ \begin{align}
& f\left( x \right)<f\left( 0 \right) \\
& g\left( x \right)>g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right) \\
\end{align} \right.$ nên $x<0$ không là nghiệm.
Vậy $x=0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Rõ ràng lời giải của bài toán trên có vấn đề vì $x=1$ cũng là nghiệm của phương trình.
_____________
Quay trở lại với bài toán ban đầu, muốn trao đổi với các thầy cô và các ban một số vấn đề như sau:
1. Lỗi trên có phải một lỗi lớn không? ( tức là nó sai hoàn toàn về bản chất hay có thể chấp nhận được)
2. Lỗi trên có ảnh hưởng đến các bài toán khác không? Nếu có thì đó là bài toán nào?
3. Vấn đề này cần trao đổi với học sinh như thế nào để các em có thể hiểu một cách dễ dàng nhất, và sâu sắc nhất.
4. Thực tế hiện nay giáo viên có quan tâm đến lỗi này không?
p/s: chỉ là suy nghĩ nhỏ của mình thôi, có thể mình đã quá cường điệu nó lên chăng
