Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm GTNN của: P = $\frac{cosx +cosy}{cos^2z}+\frac{cosy +cosz}{cos^2x}+\frac{cosz +cosx}{cos^2y}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 450 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2012 - 10:03

Cho tứ diện OABC vuông tại O.Gọi x, y, z lần lượt là góc giữa đg cao OH với OA, OB, OC. Tìm GTNN của:
P = $\frac{cosx +cosy}{cos^2z}+\frac{cosy +cosz}{cos^2x}+\frac{cosz +cosx}{cos^2y}$

#2 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 12-07-2012 - 23:56

Cho tứ diện OABC vuông tại O.Gọi x, y, z lần lượt là góc giữa đg cao OH với OA, OB, OC. Tìm GTNN của:
P = $\frac{cosx +cosy}{cos^2z}+\frac{cosy +cosz}{cos^2x}+\frac{cosz +cosx}{cos^2y}$(1)


Vẽ chiều cao OH, ta có $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$
$\Rightarrow cos^{2}x+cos^{2}y+ cos^{2}z =1$
Đặt cosx =a, cosy = b, cosz = c thì (1) trở thành: $P=\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+b}{a^{2}}+\frac{a+c}{b^{2}}$

Tìm GTNN như bạn le_hoang1995:

Theo BĐT AM-GM ta có $\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được $VT\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$.
Mà theo BĐT cauchy-schwarz ta có
$$ \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\geq \frac{2.9}{a+b+c}\geq \frac{18}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}=6\sqrt{3}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Thêm câu b: Tìm GTLN của $\frac{cos^{2}x}{sin^{2}y+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}y}{sin^{2}x+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}z}{sin^{2}x+sin^{2}y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 13-07-2012 - 00:06

Học là ..... hỏi ...............

#3 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 450 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-07-2012 - 07:40

Thêm câu b: Tìm GTLN của $\frac{cos^{2}x}{sin^{2}y+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}y}{sin^{2}x+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}z}{sin^{2}x+sin^{2}y}$
Vẽ chiều cao OH, ta có $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$
$\Rightarrow cos^{2}x+cos^{2}y+ cos^{2}z =1$
Đặt cosx =a, cosy = b, cosz = c thì (1) trở thành: $P=\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+b}{a^{2}}+\frac{a+c}{b^{2}}$

Q = $\frac{cos^{2}x}{sin^{2}y+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}y}{sin^{2}x+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}z}{sin^{2}x+sin^{2}y}$
$=\frac{a^{2}}{2 - b^{2}- c^{2}}+\frac{b^{2}}{2 - c^{2}- a^{2}}+\frac{c^{2}}{2 - a^{2}- b^{2}} $
= 3 - ($\frac{1}{2 - b^{2}- c^{2}}+\frac{1}{2 - c^{2}- a^{2}}+\frac{1}{2 - a^{2}- b^{2}}$)
$\le 3 - \frac{9}{4}= \frac{3}{4}$
Vậy MaxQ =$\frac{3}{4}$ <=> a = b = c = $\frac{1}{\sqrt 3} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 13-07-2012 - 09:09


#4 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 13-07-2012 - 23:47

Cho tứ diện OABC vuông tại O.


Câu c) Cho $OA+OB+OC+AB+AC+BC=m$ $(m > 0)$ và $V$ là thể tích tứ diện.
Chứng minh: $V \le \frac{{{m^3}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^3}}}{{162}}$. Khi nào dấu đẳng thức xảy ra.
Học là ..... hỏi ...............




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh