Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn đang thử nghiệm trang chủ mới (vẫn đang trong quá trình hoàn thiện). BQT sẽ ra thông báo cụ thể trong ít ngày tới.

Hình ảnh

Tìm tất cả các đa thức không hằng số T(y) sao cho: $T(y)T(y+1) = T(y^2+y+1)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2012 - 10:21

Tìm tất cả các đa thức không hằng số T(y) sao cho:
$T(y)T(y+1) = T(y^2+y+1)$

#2 Friedrich Engels

Friedrich Engels

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 18-07-2012 - 18:34

Bài này rất cơ bản cho những bạn nào muốn giải đa thức qua số phức.
ta có \[T\left( y \right)T\left( {y + 1} \right) = T\left( {{y^2} + y + 1} \right) \Rightarrow T\left( {y - 1} \right)T\left( y \right) = T\left( {{y^2} - y + 1} \right)\]
Vậy nếu y là nghiệm của T thì ${y^2} + y + 1\& {y^2} - y + 1$ cũng là nghiệm của T
T có hữu hạn nghiệm, trong đó ta chọn nghiệm m có module lớn nhất, tức là

\[\begin{array}{l}
\left| {{m^2} + m + 1} \right| \le \left| m \right|;\left| {{m^2} - m + 1} \right| \le \left| m \right|\\
\Rightarrow 2\left| m \right| \ge \left| {{m^2} + m + 1} \right| + \left| {{m^2} - m + 1} \right| \ge \left| {\left( {{m^2} + m + 1} \right) - \left( {{m^2} - m + 1} \right)} \right| = 2\left| m \right|
\end{array}\]
Vậy đẳng thức xảy ra nên ${m^2} + m + 1 = - \left( {{m^2} - m + 1} \right) \Rightarrow m = \pm i$ và ${x^2} + 1$ là thừa số của T
Gọi r là số lớn nhất sao cho có thể đặt
\[T\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^r}P\left( x \right) \Rightarrow P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {{x^2} + x + 1} \right)\]
Nếu P có nghiệm thì theo chứng minh trên thì ${x^2} + 1$ là thừa số của P, mâu thuẫn với cách chọn r
Vậy P là hằng số, tức là P=1, vậy $T\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^r}$ với r là số nguyên dương nào đó

#3 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 19-07-2012 - 19:56

Một cách khác:
Nếu T(x)=ax+b
Thay vào và dùng đồng nhất hệ số ta thấy ko tồn tại đa thức tmbt.
Nếu $degP$ lẻ thì $\exists x_0$ tm: $T(x_0)=0$
$\Rightarrow x_0^2+x_0+1$ là nghiệm
Do đó dãy số tăng đc xđ:
$\left\{\begin{matrix}
x_1=x_0\\
x_{n+1}=x^2_n+x_n+1
\end{matrix}\right.$ đều là nghiệm
$\Rightarrow T(x)$ có vô số nghiệm
$T(x)=const$ (MT)
Nếu $degP$ chẵn
Đặt $T(x)=(x^2+1)^m+P(x)$ ($deg P=q<2m$)
Dễ thấy hệ số cao nhất của P là 1.
Thay vào ta đc:
$[(x^2+1)^m+P(x)][[(x+1)^2+1]^m+P(x+1)]=[(x^2+x+1)^2+1]^m$
$\Rightarrow degP=2m (MT)$
$\Rightarrow T(x)=(x^2+1)^m$
Vậy $\boxed{T(x)=(x^2+1)^m, m\in \mathbb{N}^*}$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#4 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 19-07-2012 - 19:59

Bạn xem thêm ở file này nhé :D

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 25-07-2012 - 00:26

TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh