Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm tất cả các đa thức không hằng số T(y) sao cho: $T(y)T(y+1) = T(y^2+y+1)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2012 - 10:21

Tìm tất cả các đa thức không hằng số T(y) sao cho:
$T(y)T(y+1) = T(y^2+y+1)$

#2 Friedrich Engels

Friedrich Engels

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 18-07-2012 - 18:34

Bài này rất cơ bản cho những bạn nào muốn giải đa thức qua số phức.
ta có \[T\left( y \right)T\left( {y + 1} \right) = T\left( {{y^2} + y + 1} \right) \Rightarrow T\left( {y - 1} \right)T\left( y \right) = T\left( {{y^2} - y + 1} \right)\]
Vậy nếu y là nghiệm của T thì ${y^2} + y + 1\& {y^2} - y + 1$ cũng là nghiệm của T
T có hữu hạn nghiệm, trong đó ta chọn nghiệm m có module lớn nhất, tức là

\[\begin{array}{l}
\left| {{m^2} + m + 1} \right| \le \left| m \right|;\left| {{m^2} - m + 1} \right| \le \left| m \right|\\
\Rightarrow 2\left| m \right| \ge \left| {{m^2} + m + 1} \right| + \left| {{m^2} - m + 1} \right| \ge \left| {\left( {{m^2} + m + 1} \right) - \left( {{m^2} - m + 1} \right)} \right| = 2\left| m \right|
\end{array}\]
Vậy đẳng thức xảy ra nên ${m^2} + m + 1 = - \left( {{m^2} - m + 1} \right) \Rightarrow m = \pm i$ và ${x^2} + 1$ là thừa số của T
Gọi r là số lớn nhất sao cho có thể đặt
\[T\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^r}P\left( x \right) \Rightarrow P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {{x^2} + x + 1} \right)\]
Nếu P có nghiệm thì theo chứng minh trên thì ${x^2} + 1$ là thừa số của P, mâu thuẫn với cách chọn r
Vậy P là hằng số, tức là P=1, vậy $T\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^r}$ với r là số nguyên dương nào đó

#3 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 19-07-2012 - 19:56

Một cách khác:
Nếu T(x)=ax+b
Thay vào và dùng đồng nhất hệ số ta thấy ko tồn tại đa thức tmbt.
Nếu $degP$ lẻ thì $\exists x_0$ tm: $T(x_0)=0$
$\Rightarrow x_0^2+x_0+1$ là nghiệm
Do đó dãy số tăng đc xđ:
$\left\{\begin{matrix}
x_1=x_0\\
x_{n+1}=x^2_n+x_n+1
\end{matrix}\right.$ đều là nghiệm
$\Rightarrow T(x)$ có vô số nghiệm
$T(x)=const$ (MT)
Nếu $degP$ chẵn
Đặt $T(x)=(x^2+1)^m+P(x)$ ($deg P=q<2m$)
Dễ thấy hệ số cao nhất của P là 1.
Thay vào ta đc:
$[(x^2+1)^m+P(x)][[(x+1)^2+1]^m+P(x+1)]=[(x^2+x+1)^2+1]^m$
$\Rightarrow degP=2m (MT)$
$\Rightarrow T(x)=(x^2+1)^m$
Vậy $\boxed{T(x)=(x^2+1)^m, m\in \mathbb{N}^*}$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#4 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 19-07-2012 - 19:59

Bạn xem thêm ở file này nhé :D

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 25-07-2012 - 00:26

TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh