Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geq 3+\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1}...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hoangnhathuy

hoangnhathuy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 20-06-2012 - 06:58

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca = 1 chứng minh rằng :

$\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 3 + \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+1}$

#2 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 20-06-2012 - 13:19

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca = 1 chứng minh rằng :

$\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 3 + \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+1}$


Theo $AM-GM$ ta có:

\[\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + 1} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{a} = \frac{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}{a} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{a} + \frac{{a + c}}{a}} \right) = 1 + \frac{{b + c}}{{2a}}\]

Vậy ta cần chứng minh BĐT mạnh hơn:

\[\sum {\frac{1}{{ab}}} \ge 3 + \frac{1}{2}\sum {\frac{{b + c}}{a}} \]

\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{ab}} \ge 3 + } \frac{1}{2}\sum {\frac{{a + b}}{c}} \]

\[ \Leftrightarrow 2\sum {{c^2}} \left( {a + b} \right) \ge 6abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} \]

\[ \Leftrightarrow \sum {{c^2}} \left( {a + b} \right) \ge 6abc\]

BĐT cuối hiển nhiên đúng theo $AM-GM$ nên BĐT được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{{\sqrt 3 }}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 20-06-2012 - 13:20





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh