Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

$$\left\{\begin{array}{1}x+y+z=a+b+c \\4xyz-a^2x-b^2y-c^2z=abc \end{array}\right.$$

THI HSG. 3 bài

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 24-06-2012 - 17:38

Bài toán 1.
Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{array}{1}2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y \\y=2x^2-1+2xy\sqrt{1+x} \end{array}\right.$$
Bài toán 2.
Cho các tham số dương $a,b,c$. Tìm nghiệm dương của hệ :
$$\left\{\begin{array}{1}x+y+z=a+b+c \\4xyz-a^2x-b^2y-c^2z=abc \end{array}\right.$$
Bài toán 3.
Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{array}{1}2z(x+y)+1=x^2-y^2 \\y^2+z^2=1+2xy+2zx-2yz \\y(3x^2-1)=-2x(x^2+1) \end{array}\right.$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 24-06-2012 - 18:45

Bài toán 1.
Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{array}{1}2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y \\y=2x^2-1+2xy\sqrt{1+x} \end{array}\right.$$


Lời giải.

$$(1)\Leftrightarrow 2y^3+y=(1+2(1-x))\sqrt{1-x}$$

Xét $f(t)=2t^3+t\rightarrow f'(t)=6t^2+1>0 \forall t\in \mathbb{R}$

$$\Rightarrow y=\sqrt{1-x}\rightarrow (2)$$

Nên $(2)\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2} (*)$

Với $x\in[-1;1]$ đặt $x=sint$ với $t\in[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$

$$(*)\Rightarrow 2sin^2t-1+2sintcost=\sqrt{1-sint}\Leftrightarrow sin2t-cos2t=\sqrt{1-sint}\Leftrightarrow sin4t=sint\\\Leftrightarrow4t=t+k2\pi \vee 4t=(\pi-t)+k2\pi \Leftrightarrow t=0\pi+k2\pi \vee t = \frac{\pi}{5}+k2\pi$$

Đối chiều điều kiện $t\in[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}] \Rightarrow t=\frac{\pi}{5} \vee t=0$

$t=0 \Rightarrow x=0$, $\fbox{Sai}$

Giờ ngồi tính $sin36^o\\$



$$sin36^o=cos54^o\Rightarrow 2sin18.cos18=4cos^318-3cos18\\
\Leftrightarrow 2sin18=4cos^218-3\\
\Leftrightarrow2sin18=1-4sin^218\Leftrightarrow sin18=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\
\Rightarrow sin36=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})}
\\\Rightarrow x=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})} $$

Vậy $\fbox{$x=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})} \\ y=\sqrt{1-\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})}}$}$

:D Bài lượng giác đầu tiên của mềnh :(. Sai sót chỗ nào mọi người chỉ giúp nha :D Mới làm nên lạ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 24-06-2012 - 19:20

ĐCG !

#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 28-06-2012 - 22:15

Bài toán 2.
Cho các tham số dương $a,b,c$. Tìm nghiệm dương của hệ :
$$\left\{\begin{array}{1}x+y+z=a+b+c \\4xyz-a^2x-b^2y-c^2z=abc \end{array}\right.$$


Xem hướng dẫn tại đây.

#4 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 28-06-2012 - 22:26

Xem hướng dẫn tại đây.

Bài này còn một cách độc đáo nữa anh à. Cách này em làm ngơ không ngờ cũng ra :D Còn với bài này, lượng giác đã quá quen thuộc rồi :D

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh