Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng: \[\sum {\frac{a}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} - \frac{4}{{\prod {\left( {a + 1} \right)} }} \le \frac{1}{4}} \]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 29-06-2012 - 14:36

$\fbox{Bài toán}$. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$, chứng minh rằng

$$\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{b}{(b+1)^2}+\frac{c}{(c+1)^2}-\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)} \leq \frac{1 }{4}$$

P/S: Trình bày cả về ý tưởng nữa nhé !! Tks.Hình đã gửi
ĐCG !

#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 29-06-2012 - 22:54

Hì, lâu quá không có người giải, anh chém vậy :D
Bất đẳng thức được viết lại như sau :
$$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}-\left [\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}\right ]\le \dfrac{1}{4}$$
Đặt $ab+bc+ca+1=m, a+b+c+1=n$ thì
$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=\dfrac{ab+bc+ca+2(a+b+c)+3}{ab+bc+ca+a+b+c+2}=\dfrac{m+2n}{m+n}$
$\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}$
$=\left (\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right )^2 -\dfrac{2(a+b+c+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\dfrac{(m+2n)^2}{(m+n)^2}-\dfrac{2n}{m+n}$
Lúc này
$VT=\dfrac{m+2n}{m+n}+\dfrac{2n}{m+n}-\dfrac{(m+2n)^2}{(m+n)^2}=\dfrac{mn}{(m+n)^2}\le \dfrac{1}{4}$
Ý tưởng : Đưa về đồng bậc.
Bất đẳng thức đã được chứng minh.Và từ đây, ta nhận thấy rằng, đâu cần điều kiện $a,b,c>0$ Đúng không các bạn :D
Và cách đặt ẩn phụ đặc biệt này cũng có thể được áp dụng thông qua bài toán sau, mọi người hãy làm nhé !
Bài toán [Tuyển tập 500 bất đẳng thức cổ điển hay-Nguyễn Đình Thi]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{4a}{a+b}+\dfrac{4b}{b+c}+\dfrac{4c}{c+a}+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}\ge 7$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 29-06-2012 - 23:45

Bài toán [Tuyển tập 500 bất đẳng thức cổ điển hay-Nguyễn Đình Thi]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{4a}{a+b}+\dfrac{4b}{b+c}+\dfrac{4c}{c+a}+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}\ge 7$$

Đặt $\dfrac{b}{a}=x; \dfrac{c}{b}=y; \dfrac{a}{c}=z \Rightarrow xyz=1$
Bđt $\Leftrightarrow \dfrac{4}{1+x}+\dfrac{4}{1+y}+\dfrac{4}{1+z}+\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1}{x+y+z+1}\geq 7$
Đặt tương tự như bài trên ta đc
$4.\dfrac{m+2n}{m+n}+\dfrac{m}{n}\geq 7$
$\Leftrightarrow (m-n)^2 \geq 0$ (đúng)
Vậy ta có đpcm.
P/s: Huy ơi hình như tớ nhớ trong TTT có chuyên đề về đặt kiểu này phải ko nhỉ?
Số đó cũng lâu rồi ko biết còn nữa ko.
_______
Nỏ biết nựa. Vì tình cờ gặp bài của Nguyễn Đình Thi, rứa là chém luôn thôi :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 29-06-2012 - 23:54

TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh