Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn đang thử nghiệm trang chủ mới (vẫn đang trong quá trình hoàn thiện). BQT sẽ ra thông báo cụ thể trong ít ngày tới.

Hình ảnh

Chứng minh rằng: \[\sum {\frac{a}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} - \frac{4}{{\prod {\left( {a + 1} \right)} }} \le \frac{1}{4}} \]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 29-06-2012 - 14:36

$\fbox{Bài toán}$. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$, chứng minh rằng

$$\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{b}{(b+1)^2}+\frac{c}{(c+1)^2}-\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)} \leq \frac{1 }{4}$$

P/S: Trình bày cả về ý tưởng nữa nhé !! Tks.Hình đã gửi
ĐCG !

#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 29-06-2012 - 22:54

Hì, lâu quá không có người giải, anh chém vậy :D
Bất đẳng thức được viết lại như sau :
$$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}-\left [\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}\right ]\le \dfrac{1}{4}$$
Đặt $ab+bc+ca+1=m, a+b+c+1=n$ thì
$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=\dfrac{ab+bc+ca+2(a+b+c)+3}{ab+bc+ca+a+b+c+2}=\dfrac{m+2n}{m+n}$
$\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}$
$=\left (\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right )^2 -\dfrac{2(a+b+c+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\dfrac{(m+2n)^2}{(m+n)^2}-\dfrac{2n}{m+n}$
Lúc này
$VT=\dfrac{m+2n}{m+n}+\dfrac{2n}{m+n}-\dfrac{(m+2n)^2}{(m+n)^2}=\dfrac{mn}{(m+n)^2}\le \dfrac{1}{4}$
Ý tưởng : Đưa về đồng bậc.
Bất đẳng thức đã được chứng minh.Và từ đây, ta nhận thấy rằng, đâu cần điều kiện $a,b,c>0$ Đúng không các bạn :D
Và cách đặt ẩn phụ đặc biệt này cũng có thể được áp dụng thông qua bài toán sau, mọi người hãy làm nhé !
Bài toán [Tuyển tập 500 bất đẳng thức cổ điển hay-Nguyễn Đình Thi]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{4a}{a+b}+\dfrac{4b}{b+c}+\dfrac{4c}{c+a}+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}\ge 7$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 29-06-2012 - 23:45

Bài toán [Tuyển tập 500 bất đẳng thức cổ điển hay-Nguyễn Đình Thi]
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{4a}{a+b}+\dfrac{4b}{b+c}+\dfrac{4c}{c+a}+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}\ge 7$$

Đặt $\dfrac{b}{a}=x; \dfrac{c}{b}=y; \dfrac{a}{c}=z \Rightarrow xyz=1$
Bđt $\Leftrightarrow \dfrac{4}{1+x}+\dfrac{4}{1+y}+\dfrac{4}{1+z}+\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1}{x+y+z+1}\geq 7$
Đặt tương tự như bài trên ta đc
$4.\dfrac{m+2n}{m+n}+\dfrac{m}{n}\geq 7$
$\Leftrightarrow (m-n)^2 \geq 0$ (đúng)
Vậy ta có đpcm.
P/s: Huy ơi hình như tớ nhớ trong TTT có chuyên đề về đặt kiểu này phải ko nhỉ?
Số đó cũng lâu rồi ko biết còn nữa ko.
_______
Nỏ biết nựa. Vì tình cờ gặp bài của Nguyễn Đình Thi, rứa là chém luôn thôi :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 29-06-2012 - 23:54

TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh