Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi tuyển sinh chuyên toán Tiền Giang 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3172 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 04-07-2012 - 14:43

ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TIỀN GIANG NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN

Bài 1: (2đ)
1. Tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}$
2. Giải phương trình và hệ phương trình:
a) $5x – 8 – (3x – 8)\sqrt{2x+1}=0$
b) $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + x - 4y - 2 = 0\\\sqrt {x + 2} = y + 1\end{array} \right.$
Bài 2: (2đ)

1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y =\frac{{{x^2}}}{4}$ và đường thẳng $(d): y= mx+1$

a) Chứng minh rằng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$, với mọi $m\in \mathbb{R}$.
b) Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Chứng minh rằng hiệu số giữa nửa độ dài đoạn thẳng $AB$ và tung độ điểm $I$ không phụ thuộc vào $m$.
2. Cho các số thực $m, n$ lớn hơn 1, thỏa điều kiện: $0 \leq m^2 – 4n < 1$. Chứng minh rằng phương trình $x^3 – (m + 1)x^2 + (m + n)x – n = 0$ luôn có 3 nghiệm dương. Giả sử $\Delta ABC$ có độ dài 3 cạnh là 3 nghiệm của phương trình trên, hãy tính diện tích của $\Delta ABC$ theo $m$ và $n$.
Bài 3: (2đ)
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt {{x^2} - 7x + 2012} $
2. Cho 3 số dương $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}$
3. Cho $xy = 2$ và $2x > y$. Chứng minh $\frac{{4{x^2} + {y^2} + 1}}{{2x - y}} \ge 6$. Dấu bẳng xảy ra khi nào?
Bài 4: (1,5đ)
1. Tìm các số nguyên $x$ để $x^2 – 7x + 17$ là số chính phương.
2. Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng.
Bài 5: (2,5đ)
Cho một tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$, tâm $O$. Gọi $P$ là một điểm di động trên cạnh $AB, Q$ và $R$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ trên $AC$ và $BC$. Đặt $AP = x$, với $0 < x < a$.
1. Chứng minh tứ giác $PQCR$ nội tiếp trong một đường tròn.
2. Khi $x = \frac{a}{3}$, hãy tính diện tích $\Delta PQR$ theo $a$.
3. Chứng minh 3 điểm $P, G, O$ thẳng hàng khi $P$ di động, với $G$ là trong tâm của $\Delta PQR$.
4. Tìm tập hợp các trọng tâm $G$ của $\Delta PQR$ khi $P$ di động.

-----------------------------------HẾT--------------------------------------


1) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#2 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 04-07-2012 - 15:07

Chà,đề nhẹ quá nhỉ:
1.1:
A=$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} =\sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^3}+\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3}$=$1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2$
1.2a DKXD: $x\geq \frac{-1}{2}$
PT $<=>(\sqrt{2x+1}-1)(\sqrt{2x+1}-(3x-9))=0$
$<=> \begin{bmatrix}x=0 \\ \sqrt{2x+1}=3x-9 \end{bmatrix}$
$<=> \begin{bmatrix}x=0 \\ 9x^2-56x+80=0(x\geq 3) \end{bmatrix}$
$<=> \begin{bmatrix}x=0 \\ x=4 \end{bmatrix}$

3.1
P= $\sqrt{(x-\frac{7}{2})^2+\frac{7999}{4}}\geq \frac{\sqrt{7999}}{2}$
Dấu = xảy ra khi x=$\frac{7}{2}$
3.2Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số >0,có:
$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq x$
tương tự $\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq y$
$\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq z$
Cộng vế theo vế,ta được $Q\geq x+y+z-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2}=1$
dấu = xảy ra khi x=y=z=$\frac{2}{3}$
3.3 $\frac{4x^2+y^2+1}{2x-y}=\frac{(2x-y)^2+4xy+1}{2x-y}$
=$2x-y+\frac{9}{2x-y}$2x>y nên 2x-y>0,cauchy,xong.Dấu = xảy ra khi x=2,y=1

4.1
$x^2-7x+17=k^2$(k thuộc N)
$<=>4x^2-28x+68=4k^2<=>(2x-7)^2+19=4k^2$
$<=>(2k-\begin{vmatrix}2x-7 \end{vmatrix})(2k+\begin{vmatrix}2x-7 \end{vmatrix})=19$
Do$2k+\begin{vmatrix}2x-7 \end{vmatrix}>2k-\begin{vmatrix}2x-7 \end{vmatrix}$ và $2k+\begin{vmatrix}2x-7 \end{vmatrix}>0$,x nguyên,k tự nhiên nên chỉ xảy ra trường hợp:
$\left\{\begin{matrix}2k+\begin{vmatrix}2x-7 \end{vmatrix}=19 \\ 2k-\begin{vmatrix}2x-7 \\ \end{vmatrix}=1 \end{matrix}\right.$
$\begin{bmatrix}x=8 \\ x=-1 \end{bmatrix}$
Bài toán được giải quyết.
4.2 Gọi 3 số nguyên tố ấy là a,b,c.Giả sử $a\geq b\geq c$
ta có $abc=5(a+b+c)<=> \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{1}{5}$
Xét $c\geq 4=> ac,ab,bc\geq c^2\geq 16$=>$=> \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\leq \frac{3}{16}< \frac{1}{5}$(mâu thuẫn)
Vậy c <4, c nguyên tố nên c=2 hoặc c=3
xét c =2, có$\frac{1}{ab}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=$\frac{1}{5}$$
$<=>2ab-5a-5b=10$$<=>(2b-5)(2a-5)=45$
Đến đây tự giải
Tương tự với c=3, ép ra (3a-5)(3b-5)=70

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-07-2012 - 16:54

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#3 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 04-07-2012 - 17:13

2.2,Phương trình $<=> (x-1)(x^2-mx+n)=0$
PT 2 có delta $\geq 0$ và m,n>0 nên (2) có nghiệm $x_{1},x_{2}>0,1>0$=> chứng minh được ý đầu

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#4 ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Ninh

Đã gửi 04-07-2012 - 20:46

2. Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng 5 lần tổng của chúng.


-Cách này sẽ ngắn gọn hơn:
-Gọi 3 số nguyên tố đó là a,b,c
-Theo bài ra, ta có: $abc=5(a+b+c)$
$\rightarrow abc\vdots 5$
mà 5 là số nguyên tố
$\rightarrow \begin{bmatrix}a\vdots 5 \\ b\vdots 5 \\ c\vdots 5 \end{bmatrix}$
mà 3 số đó là số nguyên tố nên tồn tại 1 số =5.
-Giả sử a=5. Khi đó:
$5bc=5(5+b+c)$
$\Leftrightarrow b+c-bc=-5$
$\Leftrightarrow (b-1)(1-c)=-6$
-Giải pt nghiệm nguyên này ta có (b,c)=(7,2) ; (2;7)
-Vậy (a,b,c)=(5,7,2) và các hoán vị

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#5 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 882 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 05-07-2012 - 03:19

3.2 có cách khác
$Q=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{z^{2}}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}=1$
5.1
a) $\widehat{CQP}+\widehat{PRC}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ tứ giác PQCR nội tiếp
b)Vẽ PD vuông góc QP tại D
$h_{a}=h_{b}=h_{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
$\Rightarrow PQ=\frac{\sqrt{3}}{6}a$
Ta có: $\widehat{APQ}=\widehat{BPR}=30^{\circ}$ và $PR=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
$\Rightarrow DR=\frac{1}{2}a$
$\Rightarrow S_{PQR}=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{6}a.\frac{1}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{24}a^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 05-07-2012 - 04:15


#6 DTH1412

DTH1412

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hóa

Đã gửi 01-08-2012 - 09:52

Bài 2.1:
a) $\Delta =4m^{2}+4 > 0 \Rightarrow$ pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow$ $\left ( P \right )$ luôn cắt $\left ( d \right )$ tại 2 điểm phân biệt A,B với mọi m.
b) Pt hoành độ giao điểm của $\left ( P \right )$ và $\left ( d \right )$ là: $x^{2} - 4mx-4=0$
Theo Viét: $\left\{\begin{matrix} x_{A}+x_{B}=4m\\ x_{A}.x_{B}=-4 \end{matrix}\right.$
độ dài AB=$\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}} = \sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+ \left ( \frac{x_{A}^{2}}{4}-\frac{x_{B}^{2}}{4} \right )}$
$=\sqrt{\left ( x_{A}+x_{B} \right )^{2}-4x_{A}.x_{B}+\frac{\left [ (x_{A}+x_{B})^{2} -2x_{A}.x_{B}\right ]^{2}-4x_{A}^{2}.x_{B}^{2}}{16}}$
=$\sqrt{16m^{2}+16+\frac{\left ( 16m^{2}+8 \right )^2-4.16}{16}}$
=$4(m^2+1)$
$\Rightarrow \frac{AB}{2}=2(m^2+1)$
I là trung điểm của AB $\Rightarrow x_{I}= \frac{x_{A}+x_{B}}{2} = \frac{4m}{2}=2m$
$\Rightarrow y_{I}=m.2m+1=2m^2+1$
$\Rightarrow \frac{AB}{2}-y_{I}=2(m^2+1)-(2m^2+1)=1$
Vậy hiệu số giữa nửa độ dài AB và tung độ điểm I không phụ thuộc vào m.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DTH1412: 01-08-2012 - 09:55


#7 aries34

aries34

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 17-08-2012 - 23:04

cho mình hỏi bài hệ 1.2.b) làm thế nào nhỉ ???

Hình đã gửi

Tôi chờ đợi giây phút chiến thắng,
Chiến thắng được bản thân và chinh phục ước mơ của chính mình.


#8 trannangdaiphu

trannangdaiphu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Vĩnh Kim

Đã gửi 10-12-2012 - 23:15

đề này mình thi được có 6.75 hà, làm không kịp bài hình với bỏ câu hệ phương trình

Ở đâu tôi thấy một gia đình hạnh phúc thì ở đó tôi bắt gặp hình ảnh một bà mẹ biết quên mình.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh