Đến nội dung


Hình ảnh

Đi tìm mối liên hệ giữa đạo hàm, nguyên hàm và vi phân ?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 04-07-2012 - 15:22

Mình đang dạy lớp 11 + 12, nhưng gặp khó khăn khi chỉ cho học sinh thấy sự liên hệ giữa đạo hàm, vi phân, nguyên hàm :

+ Vi phân là gì ? Ý nghĩa của vi phân ?
+ Từ đâu có khái niệm vi phân ? Phục vụ mục đích gì ?
+ Nguyên hàm : Ví dụ $\int$ sinx dx. Tại sao lại có cái dx ở cuối.
+ Vi phân và nguyên hàm ( Tích phân ) liên hệ với nhau như thế nào ?

Mong bạn nào rành chỉ giùm mình. ^_^ Cảm ơn nhiều !
---------------------------------
Dưới đây là 1 đoạn trả lời trên yahoo, nhưng mình thấy còn chưa rõ ràng :


Vi phân và đạo hàm khác nhau về bản chất, về đơn vị đo.. nói chung là không thể so sánh điểm giống và khác khi chúng thuộc hai phạm trù khác nhau...
ta thường ghi gọn một hám số dạng y = f(x)
ta hiểu nó gồm hai đại lượng biến thiên:
* đại lượng x (gọi là biến số, đối số) thuộc tập D (Domain : tập xác định)
* đại lương y = f(x) (gọi là giá trị hàm tại x) thuộc tập Y (tập giá trị, thường lấy trên R)
hai tập D và Y đều là tập con của R nhưng đơn vị đo khác nhau, bản chất khác nhau và không nhất thiết phải cùng kiểu đơn vị đo (nếu cần sẽ giải thích sau)

* Đạo hàm: bản chất là tỉ số của hai đại lượng trên, hiễn nhiên là phải định nghĩa chặt chẻ như bạn đã được biết

* Vi phân để đơn giản ta có thể định nghĩa theo đạo hàm: df = f '(x).dx
như vậy về bản chất vi phân df (hoặc dy) tương thích với giá trị hàm

Lấy ví dụ dễ hiểu: xét chuyển động của 1 chất điểm: sau khoảng thời gian t (giây), đi được quãng đường là S (met)
ta xét từ thời điểm to, chất điểm đi trong tgian ∆t = t-to được quãng đường là ∆S
khi đó tỉ số: ∆S/∆t khi ∆t --> 0 chính là vận tốc tưc thời tại đó
Lim (∆S/∆t) [khi ∆t-> 0] = v
thấy ngay: v = S'(t) = dS/dt đơn vị đo là m/s

giờ nếu ta chia quãng đường đi thành những đoạn rất nhỏ, mỗi đoạn như vậy gọi là vi phân, kí hiệu là dS
có dS = S'.dt và như vậy đơn vị của vi phân dS là met

cái bản chất khác nhâu là chổ đó, đơn vị của vi phân chính là đơn vị đo của hàm, trong khi đạo hàm không có đơn vị (hoặc là tỉ số hai đơn vị)
- - - - -
ý nghĩa hình học:
xét đường cong ©: y = f(x)
điểm Mo(xo, f(xo)) thuộc ©, đường thẳng d qua Mo cắt © tại điểm thứ 2 là M(x,f(x))
khi cho M --> Mo thì (d) thành tiếp tuyến của © tại Mo
có đạo hàm của f(x) tại xo chính là hệ số góc k của tiếp tuyến
k = f '(xo) = tanα (α là góc tạo bởi nhánh > 0 của d và tia ox)
thấy ngay đạo hàm chính là tanα (là một tỉ số, nên không có đơn vị)
trong khi vi phân chính là đoạn f(x) - f(xo)
nếu ta gọi M'1, M'o là hình chiếu của M và Mo trên Ox
M", M"o là hình chiếu của M trên Oy thì có:
M' - M'o = dx ; M" - M"o = dy
có: f '(xo) = k = tanα = (M"-M"o) /(M' - M'o) = dy / dx
vi phân = dy = M" - M"o = (M'-M'o).tanα = f '(xo).dx

ý nghĩa hình học: đạo hàm là tanα (là tỉ số: đối trên kề), vi phân là đoạn M"M"o
~~~~~~~~~~~~~~
thôi đủ rồi, bận quá ko ghi đc nữa

(Các) nguồn

__|trituyet|__


#2 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3130 Bài viết
  • -2 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-07-2012 - 15:53

Giải thích như vậy là chuẩn rồi còn gì...

Vi phân $\mathrm df = \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.\Delta x$ khi $\Delta x \to 0$
hay $\mathrm df=f'(x)\mathrm dx$

Nếu $f$ có đơn vị là mét; $x$ có đơn vị là giây, thì rõ ràng $f'(x)$ có đơn vị là mét/giây
Nếu bỏ hết vi phân đi, thì từ $f'(x)$ ta suy ra $f(x)$ bằng đơn vị nào?

Trong ký hiệu $\int f(x)\mathrm dx$, vi phân $\mathrm dx$ là đại lượng cho biết hàm $f(x)$ được lấy nguyên hàm theo biến nào ($x$)
Ví dụ $\int f(x)\mathrm d(2x)$ thì hàm cần lấy nguyên hàm $f(x)$ phải được lấy theo biến $(2x)$; $(2x)$ mới là biến chứ $x$ vẫn còn là hàm!
Thế mới có chuyện đổi biến, từng phần, đạo hàm hàm hợp, ...

#3 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 05-07-2012 - 00:44

http://www.scribd.co...h-nghĩa-vi-phan

Theo link này thì được hiểu :
Số gia hàm số = tổng của vi phân và vô cùng bé của số gia $\Delta$x

Mình muốn hỏi người ta đưa ra khái niệm vi phân để làm gì ?
$\int$d(Fx) = Fx ? Điều này thể hiện gì ?

^_^ Vi phân liên quan tới tích phân và đạo hàm như thế nào ?
Có phải đạo hàm cũng được hiểu là 1 dạng vi phân ?

#4 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 05-07-2012 - 01:26

http://tailieu.vn/xe...g-be.78783.html

Theo link này về Vô cùng bé :

Có thể hiểu : $\Delta$ y / $\Delta$ x --> f'(x) khi $\Delta$ x --> 0

suy ra : $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ - $\frac{f'(x)* \Delta x}{\Delta x}$ = K( $\Delta$ x ) là Vô cùng bé trong quá trình đó

suy ra : $\Delta$ y - f'(x) * $\Delta$ x = K( $\Delta$ x ) * $\Delta$ x

Đến đây đặt d(fx) = f'(x) * $\Delta$ x.

suy ra : f'(x) = dy / $\Delta$ x

Xét hàm số y = x. suy ra : dx = $\Delta$ x.
Vậy kết luận : f'(x) = dy / dx

=> dy = f'(x) * dx

Quá trình người ta nghĩ ra vi phân có phải vậy không nhỉ ?

Mong mọi người góp ý !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baba33: 05-07-2012 - 02:00


#5 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 05-07-2012 - 02:03

Thực ra đến đây mình cũng không hiểu tại sao từ định nghĩa f'(x) = lim ... đi đến kết luận : f'(x) = dy / dx để làm gì ?
Phục vụ mục đích gì ?
Tại sao lại thế nhỉ ?

và từ vi phân , người ta đi đến khái niệm tích phân như thế nào ?

Có phải mục đích đi tìm nguyên hàm của hàm f(x) là :
Tìm hàm nguyên bản F(x) sao cho F'(x) = f(x).
Tức là người ta thêm dấu $\int$ vào trước dy. Giống như 1 kiểu delete yếu tố vi phân d đi.

Khi đó $\int$d(Fx) = $\int$ f'(x) dx = F(x)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baba33: 05-07-2012 - 02:15


#6 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3140 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 05-07-2012 - 07:44

Rất vui vì bạn có nhiều câu hỏi như vậy. Mình xin trình bày một phần như sau:

Trong lịch sử toán học, Phép tính đạo hàm và phép tính tích phân được tìm ra gần như đồng thời với nhau (chứ không như ta học phổ thông, học đạo hàm trước và tích phân sau). Sau này, Newton và Leibniz độc lập với nhau tìm được mối liên hệ giữa nguyên hàm (phép tính ngược của đạo hàm) và tích phân.

Ban đầu (và cũng là bản chất) tích phân được định nghĩa như sau:


Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Ta phân hoạch đoạn $[a;b]$ thành $n$ đoạn con $[x_i;x_{i+1}];i=1,2,...,n;a=x_1<x_2<...<x_n=b$ sao cho khi $n \to +\infty$ thì $max |x_{i+1}-x_{i}| \to 0$
Lấy $t_i \in [x_i;x_{i+1}], \forall i = 1,2,..,n$. Lập tổng (gọi là tổng tích phân)
$$S_n=\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta_i = \sum_{i=1}^{n}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)$$
Nếu giới hạn $\lim_{n \to +\infty }S_n$ tồn tại và hữu hạn thì nó không phụ thuộc vào phép phân hoạch cũng như chọn $t_i$ở trên (mà chỉ phụ thuộc vào $a, b$ và hàm số $f$) và gọi là tích phân của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$


Như vậy, ban đầu, tích phân "sinh ra" không họ hàng gì với nguyên hàm (và đạo hàm, vi phân) cả.

Sau đó, Leibniz đề xuất kí hiệu tích phân là $\int_{a}^{b}f(x)dx$. Kí hiệu $\int$ là thay cho chữ $S$ - thường được viết tắt cho chữ Sum (tổng). Còn $f(x)dx$ là thay cho biểu thức $f(t_i)\Delta_i$

Như vậy việc xuất hiện $f(x)dx$ một cách hình thức là từ định nghĩa tích phân.

Tương tự vậy, từ định nghĩa đạo hàm:
$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
người ta kí hiệu: $f'(x) = \frac{dy}{dx}$ (giống như ở trên, thay chữ $d$ cho $\Delta$)

Để dễ dàng cho các phép tính gần đúng, người ta biết đổi một chút, thế là có vi phân
$dy = f'(x).dx$



Sau này, hai nhà bác học nêu trên tìm ra mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm. Ta có công thức Newton-Leibniz nổi tiếng:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\left.\begin{matrix}F(x)\end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

Vì thế nguyên hàm được kí hiệu là $\int f(x)dx$
Nguyên hàm là phép tính ngược của đạo hàm. Vi phân là phép tính ngược của tích phân

Rất mong được bạn cùng trao đổi

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#7 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 05-07-2012 - 14:05

Cảm ơn bạn E. Galois rất nhiều về bài viết lịch sử Vi phân - Tích phân
Mình còn chút thắc mắc :
1. Vậy khi trình bày kiến thức về Đạo hàm - Vi phân - Tích phân - Nguyên hàm. Mình sẽ trình bày như thế nào để học sinh thấy được sự liên quan giữa các phần với nhau.
2. Bạn có thể giải thích rõ hơn ý "Vi phân là phép tính ngược của tích phân" được không ?
3. Tại sao từ định nghĩa đạo hàm:

f(x)=limΔx0 Δy/Δx


người ta bỏ lim và đi tới được công thức :

f(x)=dy/dx


4. Sự liên hệ giữa vi phân và tích phân là như thế nào ?
Vi phân có liên hệ với Nguyên hàm không ?

------------
Cảm ơn bạn nhiều, hi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baba33: 05-07-2012 - 14:06


#8 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3140 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 05-07-2012 - 14:28

Hì, xin trả lời bạn theo hiểu biết của bản thân mình:
1 - Ở phổ thông, học sinh được học theo thứ tự là: đạo hàm - vi phân -nguyên hàm - tích phân.
vi phân tự nó đã liên hệ với đạo hàm ngay từ trong định nghĩa rồi.
Nguyên hàm là phép tính ngược của đạo hàm nên có thể dễ dàng giới thiệu với học sinh như SGK hiện tại trình bày.
Tích phân được định nghĩa từ nguyên hàm theo công thức Newton-Leibniz
Dĩ nhiên ta không cần cố gắng giải thích cho học sinh hiều hết những gì đã nói về lịch sử tích phân, vi phân. Người giáo viên tốt biết 10 chỉ dạy 1.

3 - Việc bỏ lim trong định nghĩa cũng đã được giải thích trong SGK là vì $\Delta x \to 0$ nên với $\Delta x$ đủ nhỏ, ta có:
$$f'(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Những câu hỏi còn lại, rất mong được bạn cùng trao đổi

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#9 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 05-07-2012 - 18:12

Theo định nghĩa trong SGK thì Tích phân bất định là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x).
Như giả thiết ở bài viết trước

Tìm hàm nguyên bản F(x) sao cho F'(x) = f(x).
Tức là người ta thêm dấu $\int$vào trước dy. Giống như 1 kiểu delete yếu tố vi phân d đi.

Khi đó

$\int$d(Fx) = $\int$F'(x)dx = $\int$f(x)dx = F(x)

Tích phân là gì nhĩ ? Thật ra đó chỉ là một phép cộng mà thôi
Vậy có thể suy ra. Tích phân là tổng của các vi phân d(Fx)
trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x).
---------------------------
Đi vào khái niệm Tích phân xác định. Theo SGK :
Diện tích S(x) của hình thang cong giới hạn bởi hàm số f(x) , trục Ox, 2 đường thẳng x=a, x=b
là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

S(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b)

Sau 1 số phép toán thì chứng minh được Diện tích hình thang cong = F(a) - F(b).
------
Theo wiki :

Đối với trường hợp đơn giản nhất, tích phân của một hàm số thực f(x) trên x, được viết là: Hình đã gửi
Với:
  • ∫ là "sự tích phân"
-------------------
Khái niệm Vi phân :

Vi phân

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi Δx là số gia của biến số tại x0. Tích f'(x0).Δx được gọi là vi phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0). Ký hiệu : df(x0) = f'(x0).Δx = f'(x0) dx
----------------------
vẫn chưa hiểu. hic

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baba33: 05-07-2012 - 19:07


#10 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3130 Bài viết
  • -2 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-07-2012 - 20:15

Mình cũng không hiểu bạn không hiểu vì không hiểu hay không hiểu điều không hiểu, không hiểu bạn không hiểu hay không hiểu nếu vẫn không hiểu điều không hiểu là gì?
:P

#11 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 05-07-2012 - 21:52

mình đơn giản chỉ muốn đi tìm sự liên hệ giữa đạo hàm,vi phân, nguyên hàm và tích phân để có 1 cách giải thích dễ hiểu nhất cho học sinh thôi,chứ không có mong muốn nào khác,hi

#12 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3140 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 05-07-2012 - 22:00

mình đơn giản chỉ muốn đi tìm sự liên hệ giữa đạo hàm,vi phân, nguyên hàm và tích phân để có 1 cách giải thích dễ hiểu nhất cho học sinh thôi,chứ không có mong muốn nào khác,hi

Tức là bạn đã hiểu rồi chứ, chỉ là muốn giải thích cho HS thôi chứ gì. Bạn ạ, bạn không thể mơ ước giải thích cho HS mọi chuyện được. Nghệ thuật sư phạm là hướng dẫn người học tự tìm hiểu chứ không phải là dạy hết cho người học. Ngườ thầy tốt biết 10 dạy 1. Người thầy dở biết 5 dạy cả 5.

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#13 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1302 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-07-2012 - 22:25

Ngườ thầy tốt biết 10 dạy 1. Người thầy dở biết 5 dạy cả 5.

Có thật hay không anh Thế?
À, vấn đề baba hỏi thấy khó nhằng! Liên hệ giữa chúng thì có đấy nhưng thật khó để chỉ ra sự khác biệt giữa vi phân và đạo hàm. Khác chăng là kí hiệu? :icon6:

#14 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 06-07-2012 - 00:30

compute the rate of change as the limiting value of the ratio of the differences Δy / Δx as Δx becomes infinitely small.

In Leibniz's notation, such an infinitesimal change in x is denoted by dx, and the derivative of y with respect to x is written

dy / dx

suggesting the ratio of two infinitesimal quantities. (The above expression is read as "the derivative of y with respect to x", "d y by d x", or "d y over d x". The oral form "d y d x" is often used conversationally, although it may lead to confusion.)


Đạo hàm f'(x) = dy / dx ( Thuơng của 2 vô cùng bé khi Delta x --> 0 )
Như vậy, có thể thay thế khái niệm f'(x) = lim, bằng định nghĩa trên được không
( Vẫn rất trực quan nếu lấy ví dụ về cát tuyến và tiếp tuyến của đường cong tại 1 điểm )

Hoặc là đưa ra cả 2 công thức này cùng lúc và coi chúng là tuơng đuơng nhau.
Như vậy khái niệm đạo hàm và vi phân có liên quan rất chặt chẽ với nhau.
Vừa là công thức tính đạo hàm, vừa là công thức tính vi phân
( Giống như công thức tính chu kì và tần số trong Vật lý )
-------------------------------------------

This expression is Newton's difference quotient. The derivative is the value of the difference quotient as the secant lines approach the tangent line. Formally, the derivative of the function f at a is the limit Hình đã gửi
of the difference quotient as h approaches zero, if this limit exists. If the limit exists, then f is differentiable at a. Here f′ (a) is one of several common notations for the derivative (see below).
Equivalently, the derivative satisfies the property that Hình đã gửi
which has the intuitive interpretation (see Figure 1) that the tangent line to f at a gives the best linear approximation Hình đã gửi
to f near a (i.e., for small h). This interpretation is the easiest to generalize to other settings (see below).
Substituting 0 for h in the difference quotient causes division by zero, so the slope of the tangent line cannot be found directly using this method. Instead, define Q(h) to be the difference quotient as a function of h: Hình đã gửi
Q(h) is the slope of the secant line between (a, f(a)) and (a + h, f(a + h)). If f is a continuous function, meaning that its graph is an unbroken curve with no gaps, then Q is a continuous function away from h = 0. If the limit Hình đã gửi exists, meaning that there is a way of choosing a value for Q(0) that makes the graph of Q a continuous function, then the function f is differentiable at a, and its derivative at a equals Q(0).
In practice, the existence of a continuous extension of the difference quotient Q(h) to h = 0 is shown by modifying the numerator to cancel h in the denominator. This process can be long and tedious for complicated functions, and many shortcuts are commonly used to simplify the process.


http://en.wikipedia....wiki/Derivative

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baba33: 06-07-2012 - 00:38


#15 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 06-07-2012 - 06:36

The founders of the calculus thought of the integral as an infinite sum of rectangles of infinitesimal width. A rigorous mathematical definition of the integral was given by Bernhard Riemann. It is based on a limiting procedure which approximates the area of a curvilinear region by breaking the region into thin vertical slabs


Những người sáng lập của giải tích nghĩ tích như là một tổng vô hạn của hình chữ nhật có chiều rộng vô cùng. Một định nghĩa toán học nghiêm ngặt của thể tách rời được đưa ra bởi Bernhard Riemann.Nó dựa trên một thủ tục giới hạn xấp xỉ diện tích của một khu vực đường cong bằng cách phá vỡ các khu vực thành những tấm mỏng theo chiều dọc.

The integral sign ∫ represents integration. The dx indicates that we are integrating over x; dx is called the variable of integration. In correct mathematical typography, the dx is separated from the integrand by a space (as shown). Some authors use an upright d (that is, dx instead of dx). Inside the ∫...dx is the expression to be integrated, called the integrand. In this case the integrand is the function f(x). Because there is no domain specified, the integral is called an indefinite integral.


dx chỉ rằng chúng ta đang lấy tích phân theo x. dx được gọi là biến tính phân. Trong ký hiệu chính xác của toán học, dx được tách ra khỏi hàm lấy tích phân bởi khoảng trống (như chỉ ra trên hình). 1 vài tác giải sử dụng dấu thẳng đứng d (tức là dx thay vì dx). Bên trong dấu ... dx là biểu thức bị tích phân, gọi là hàm lấy tích phân. Trong trường hợp này, hàm lấy tích phân là f(x). Bởi vì không có miền xác định, nên tích phân được gọi là tích phân ko giới hạn

*************************
Như vậy giữa f(x)dx có phải là f(x) * dx không. Nếu không phải thì tại sao : f'x = dy/dx. Dấu / có phải dấu chia không ?

#16 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 06-07-2012 - 06:57

Tích phân xác định có thể đuợc hiểu như tổng rất nhiều hình chữ nhật có diện tích : f(x) * dx.
Kí hiệu $\int$ f(x) dx tượng trưng cho việc lấy tổng các hình chữ nhật, với dx là vô cùng bé ( dx -> 0 )

Theo SGK thì sẽ có Tích phân xác định [a;b] = F(b) - F(a). Trong đó F(x) là nguyên hàm.

Quay lại định nghĩa về vi phân : d(fx) = f'(x)*dx
suy ra $\int$ f(x) dx = $\int$ d(Fx) ( Trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x) )

mà $\int$ d(Fx) = F(x) nên có thể hiểu vi phân và tích phân là 2 khái niệm "ngược nhau" ? (1)
---------
Xin quay lại 1 chút :
$\int$ f(x) dx = F(x) nên suy ra : f(x) = ($\int$ f(x)dx)'

Như vậy có thể hiểu nguyên hàm và đạo hàm là ngược nhau ? (2)

Từ (1) và (2) suy ra :
f(x) = ($\int$ f(x)dx)' = $\int$ d(fx) = $\int$ f'(x)dx
--------------------
http://en.wikipedia....rem_of_calculus

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baba33: 06-07-2012 - 07:22


#17 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 06-07-2012 - 07:32

Mình xin phép thêm 1 bài viết cuối ^_^ ( chắc sẽ hết ý để mà quanh quẩn với chủ đề này,hi ) :

Nếu bây giờ SGK "không đưa" khái niệm lim vào phân đạo hàm mà chỉ nêu : f'(x) = dy/dx = d(fx) / dx
( Không đưa - hay có thể diễn giải là nói trứơc, dẫn dắt trước khi vào phần đạo hàm )

Bây giờ chỉ còn 2 công thức cho cả phần đạo hàm, vi phân, tích phân :

1> y' = dy / dx.

2> y + c = d(y) = y'dx ( dễ nhớ )
y = ( ydx)'

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baba33: 06-07-2012 - 12:39


#18 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 518 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air
  • Sở thích:The Shiek of Araby

Đã gửi 06-07-2012 - 07:51

Như vậy giữa f(x)dx có phải là f(x) * dx không. Nếu không phải thì tại sao : f'x = dy/dx. Dấu / có phải dấu chia không ?

Dấu $/$ là dấu chia đ ^_^ , đạo hàm $f(x)$ là slope của nó http://en.wikipedia.org/wiki/Slope
$f'(x_{0})=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Đạo hàm tại 1 điểm là xấp xỉ tuyến tính của hàm tại điểm đó ^_^
http://www.sosmath.c...er06/der06.html

#19 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3130 Bài viết
  • -2 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-07-2012 - 08:05

Khổ nỗi trong một số sách Giải Tích người ta cũng định nghĩa đạo hàm $f\;'(x)=\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx}$ thật!

Tuy nhiên viết (nguyên hàm trước đạo hàm sau)
$f(x)=\left(\int f(x)\;\mathrm dx\right)'=\dfrac{\mathrm d\left(\int f(x)\;\mathrm dx\right)}{\mathrm dx}$
thì đúng, chứ đạo hàm rồi mới nguyên hàm thì không ổn
$f(x)\not\equiv \int f\;'(x)\;\mathrm dx \not\equiv \int \mathrm d(f(x))$

#20 baba33

baba33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:Đủ thứ

Đã gửi 06-07-2012 - 12:37

chứ đạo hàm rồi mới nguyên hàm thì không ổn
$f(x)\not\equiv \int f\;'(x)\;\mathrm dx \not\equiv \int \mathrm d(f(x))$


xin sửa lại 1 chút f(x) + C = $\int f\;'(x)\;\mathrm dx =\int \mathrm d(f(x))$

thì vẫn ổn ^_^




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh