Đến nội dung


Hình ảnh

Tuyển tập các bài toán Đa Thức của VMF


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 06-07-2012 - 18:57

Một tuyển tập các bài toán hay về Đa Thức sẽ được mình và bạn Trần Nguyễn Quốc Cường tổng hợp dựa trên chủ đề này mình mong muốn được các thành viên của diễn đàn ta giúp đỡ rất mong các bạn post những bài toán hay về đa thức (kèm lời giải nếu có) vào chủ đề này để chúng mình tuyển tập lại .Rất mong đây sẽ là vấn đề được các bạn quan tâm giúp đỡ.Mình chân thành cảm ơn
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5528 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 06-07-2012 - 21:59

Sao em không dùng ngay topic này luôn.

#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản lý
  • 472 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-07-2012 - 22:47

Để anh ủng hộ Hoàng nhé :

Bài 1 : Xét đa thức $ \mathbb{Q}(x) = (p-1) \cdot x^p - x -1 $ trong đó $p$ là số nguyên tố lẻ

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên $a$ sao cho : $ p^{p} | \mathbb{Q}(a)$

Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 12-07-2012 - 12:47

1) Thể lệ
2) Tổng hợp điểm
3) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300
Hãy cùng tham gia, giải bài, tích điểm và nhận quà! :D


#4 beestyde

beestyde

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 10-07-2012 - 11:09

Em xin đóng góp 1 bài nhé :
Bài 2: Cho$ p(x)$ có hệ số hữu tỉ ,p(x)>0 với mọi x$\epsilon$R
Chứng minh :$\exists Q(x),P(x)$ sao cho $P(x)=Q(x)^2+R(x)^2$ :wub:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 10-07-2012 - 22:50


#5 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 10-07-2012 - 20:19

Để anh ủng hộ Hoàng nhé :

Bài 1 : Xét đa thức $ \mathbb{Q}(x) = (p-1) \cdot x^p - x -1 $ trong đó $p$ là số nguyên tố lẻ

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên $a$ sao cho : $ p^{p} | \mathbb{Q}(a)$

Giả sử tồn tại $0<a,b \le p^p$ mà $Q(a) \equiv Q(b) (mod p^p)$ khi đó ta có $Q(a)-Q(b)=(p-1)(a^p-b^p)-(a-b) \equiv (p-2)(a-b) (mod p) \Rightarrow a-b \equiv 0 (modp)$. Ngoài ra ta dễ dàng nhận thấy $v_p(a^p-b^p)>v_p(a-b)$ do đó ta có $v_p((p-1)(a^p-b^p)-(a-b))=v_p(a-b)$ suy ra $a-b \vdots p^p$. Điều này mâu thuẫn. Vậy với $A$ là một hệ thặng dư đầy đủ của $p^p$ thì $Q(x)|x \in A$ cũng là một hệ thặng dư đầy đủ của $p^p$, suy ra đpcm.

#6 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 10-07-2012 - 20:55

Em xin đóng góp 1 bài nhé :
Cho$ p(x)$ có hệ số hữu tỉ ,p(x)>0 với mọi x$\epsilon$R
Chứng minh :$\exists Q(x),P(x)$ sao cho $P(x)=Q(x)^2+R(x)^2$ :wub:

Với tam thức bậc 2 thì đơn giản là ta phân tích đc thành dạng $(ax+b)^2+c=U(x)^2+c,c>0$. Giải quyết bài này bằng quy nạp, sử dụng định lí mọi đa thức không có nghiệm thực luôn biểu diễn dưới dạng các tam thức bậc 2 vô nghiệm. Sau đó sử dụng $(Q(x)^2+R(x)^2)(U(x)^2+c)=(Q(x)U(x)-cR(x))^2+(cQ(x)+U(x)R(x))^2$ là có đpcm.

#7 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 10-07-2012 - 22:43

Tốt lắm em ,anh sẽ post tiếp :)Bài toán này không biết có được coi là tổng quát hơn bài trên không ^_^
Bài 3:
Chứng minh rằng nếu đa thức $P(x)$ với hệ số thực chỉ nhận các giá trị không âm với mọi $x \in R$ thì có biểu diễn sau
\[P(x) = Q_1^2(x) + Q_2^2(x) + ............. + Q_n^2(x)\]
Với $Q_1(x);Q_2(x)....;Q_n(x)$ là các đa thức có hệ số thực
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#8 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 472 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi mà giáo dục tiêu cực nhất nước Việt Nam

Đã gửi 10-07-2012 - 22:49

Một tuyển tập các bài toán hay về Đa Thức sẽ được mình và bạn Trần Nguyễn Quốc Cường tổng hợp dựa trên chủ đề này mình mong muốn được các thành viên của diễn đàn ta giúp đỡ rất mong các bạn post những bài toán hay về đa thức (kèm lời giải nếu có) vào chủ đề này để chúng mình tuyển tập lại .Rất mong đây sẽ là vấn đề được các bạn quan tâm giúp đỡ.Mình chân thành cảm ơn


Cộng thêm cái Pic kia nữa chắc cũng đk nhiều.
Em ủng hộ hai đại ca phát.
Bài 4: : Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ hệ số nguyên và $p$ là môt số nguyên tố. Giả sử phương trình $P(x) \equiv 0 (mod p)$ có đúng $m$ nghiệm $x_1;x_2;...;x_m$ thỏa mãn $(P(x_i)) \equiv 0 (mod p)$ với mọi $ i = 1,2,..,m$. Hỏi phương trình $P(x) \equiv 0 (mod p^{2012})$ có bao nhiêu nghiệm trong $[1;p^{2012}]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 10-07-2012 - 23:36

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#9 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 11-07-2012 - 16:11

Một số bài toán đa thức trong đề dự tuyển Olympic sinh viên 2009 mình thấy phù hợp nên post vào đây vì không có đáp án nên các bạn cứ chém thoải mái :)
Bài 5:Cho $a_1;a_2;a_3;.........;a_n$ là các số thực không âm và không đồng thời bằng $0$.
a)Chứng minh rằng phương trình
\[{x^n} - {a_1}{x^{n - 1}} - {a_2}{x^{n - 2}} - .... - {a_{n - 1}}x - {a_n} = 0\]
có đúng là một nghiệm dương duy nhất.
b)
Giả sử $R$ là nghiệm dương của phương trình trên và
\[A = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_j}} ;B = \sum\limits_{j = 1}^n {j{a_j}} \]
Chứng minh rằng
\[{A^A} \le {R^B}\]
Bài 6:Cho hai đa thức $P(x) = {(x - a)^{2n}} + {(x - 3a)^{2n}};Q(x) = {(x - a)^2}{(x - 3a)^2}$ với $n \in N*;a \in R*$.Xác định đa thức dư trong phép chia $P(x)$ cho $Q(x)$
Bài 7:Cho $P(x)$ là một đa thức bậc $n \ge 1$ với các hệ số thực và có $n$ nghiệm thực.Chứng minh rằng
\[(n - 1){{\rm{[}}P'(x){\rm{]}}^2} \ge nP(x)P(x);\forall x \in R\]
Bài 8:Cho đa thức
\[{P_n}(x) = {x^n} - x - 2009(n \in N,n > 1)\]
Chứng minh rằng
1.Đa thức $P_n(x)$ có một nghiệm duy nhất trong khoảng $(1,2009)$ kí hiệu đó là nghiệm $x_n$
2.Dãy số ${x_n}$ là dãy số giảm
Bài 9:Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ có bậc $5$ biết đa thức $f(x)+1$ chia hết cho $(x-1)^3$ và đa thức $f(x)-1$ chia hết cho $(x+1)^3$
Bài 10:Cho $p(x)$ và $q(x)$ là hai đa thức với hệ số thực ,nguyên tố cùng nhau,có bậc dương làn lượt là $m$ và $n$.Giả sử $r(x)$ là một đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ thua $m+n$.Chứng minh rằng tồn tại hai đa thức với hệ số thực $f$ và$g$ sao cho $deg(f) <n$ và $deg(g) <m$ và $pf+qg=r$
Tạm thế nhé :)
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#10 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 13-07-2012 - 12:22

Một số bài toán đa thức trong đề dự tuyển Olympic sinh viên 2009 mình thấy phù hợp nên post vào đây vì không có đáp án nên các bạn cứ chém thoải mái :)
Bài 5:Cho $a_1;a_2;a_3;.........;a_n$ là các số thực không âm và không đồng thời bằng $0$.
a)Chứng minh rằng phương trình
\[{x^n} - {a_1}{x^{n - 1}} - {a_2}{x^{n - 2}} - .... - {a_{n - 1}}x - {a_n} = 0\]
có đúng là một nghiệm dương duy nhất.
Bài 6:Cho hai đa thức $P(x) = {(x - a)^{2n}} + {(x - 3a)^{2n}};Q(x) = {(x - a)^2}{(x - 3a)^2}$ với $n \in N*;a \in R*$.Xác định đa thức dư trong phép chia $P(x)$ cho $Q(x)$

Ý a câu 5. Trước tiên là ta có $f(0)<0,f(x) \to +\infty$ khi $x \to +\infty$. Do đó đa thức luôn có nghiệm dương. Bây giờ ta chứng minh quy nạp.
Với $n=1$ thì hiển nhiên đúng.
Giả sử bài toán đúng đến $n=k$. Xét: $f(x)=x^k-a_1x^{k-1}-...-a_k$
khi đó ta có: $g(x)=\frac{f'(x)}{k}$ là một đa thức bậc $k-1$ và có các hệ số thỏa đề bài nên có nhiều nhất 1 nghiệm dương. Rõ ràng nếu $f(x)$ có nhiều hơn 1 nghiệm dương thì $f(x)$ phải có ít nhất 3 nghiệm dương. Điều này dẫn đến $f'(x)$ sẽ có ít nhất 2 nghiệm dương. Điều này mâu thuẫn nên ta có đpcm.

#11 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 13-07-2012 - 18:49

Bài 6 ta đặt $f(x)=(x-a)^{2n}+(x-3a)^{2n}$ và $f(x)=(x-a)^2(x-3a)^2.T(x)+R(x)$ với $degR \le 3$.
Nếu $n=1$ thì đa thức dư là $f(x)$
Nếu $a=0$ và $n \ge 2$ thì đa thức dư là $0$
Nếu $a \ne 0, n \ge 2$ .Đặt $G(x)=R(x)-2^{2n}.a^{2n}$, Vì $R'(a)=f'(a) \ne 0$ nên $R(x)$ không là hằng số và $G(a)=G(3a)=0$. Đặt $G(x)=(mx+n)(x-a)(x-3a)$ trong đó $m$ vẫn có thể bằng 0. Đến đây sử dụng 2 giả thiết $G'(a)=R'(a)=f'(a)=n.2^{2n}.(-a)^{2n-1},G'(3a)=R'(3a)=f'(3a)=n.2^{2n}.a^{2n-1}$. Giải ra tìm được $m,n$ là xác định được $R(x)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 13-07-2012 - 18:50


#12 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 01-08-2012 - 11:40

Bài 11:Chứng minh rằng tồn tại các đa thức $T_1(x);T_2(x);........;T_n(x)$ với hệ số nguyên dương thoả mãn
$$T_1(x)=P_1(x).T_2(x);T_2(x)=P_2(x).T_3(x)..........;T_{n-1}(x)=P_{n-1}(x).T_n(x)$$
Trong đó $P_k(x)=x^2+a_kx+b_k$ với $a_1;b_1$ là các số nguyên; dãy $(a_n)$ và $(b_n)$ là các cấp số cộng;phương trình $P_1(x)=0;P_{n-1}(x)=0$ vô nghiệm và $n$ là một số nguyên dương cho trước lớn hơn $3$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh