Chủ đề này có 4 trả lời

[hxthanh]

Một băng giấy mỏng hình chữ nhật có chiều dài là $x$ chiều rộng là $y$ được quấn quanh một hình trụ đứng (đường sinh song song với đoạn chiều rộng của băng giấy) có bán kính đáy bằng $1$ (Chẳng hạn như viên phấn:D).

"Chém đôi" hình trụ bằng một mặt phẳng không song song với đáy. (Bỏ viên phấn đi) Trải tờ giấy bị cắt ra mặt phẳng, lấy đoạn chiều dài $x$ (chưa bị cắt) làm trục hoành. Góc vuông phía dưới bên trái làm gốc tọa độ.

Viết phương trình đường viền bị cắt của tờ giấy
______________________________________________________________________________
p/s: Không biết để bài này vào đâu!

[hxthanh]

Có ai thực nghiệm bài này chưa? (thí nghiệm thôi, chưa cần giải)
Nếu đã thí nghiệm rồi thì có nhận xét gì không?

[hxthanh]

Đây là kết quả của thí nghiệm.
Mong các bạn tìm lời giải cho bài toán hoặc đặt câu hỏi

[daothanhoai]

Đây là kết quả của thí nghiệm.
Mong các bạn tìm lời giải cho bài toán hoặc đặt câu hỏi

Em phỏng đoán: Là một trong các hình conic đổi dấu chăng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 18-07-2012 - 21:21

[hxthanh]

Một đánh giá về diện tích

- Coi độ dài băng giấy vừa đủ quấn một vòng quanh hình trụ có bán kính đáy bằng $1$, nghĩa là băng giấy có độ dài $2\pi$
- Chiều rộng nhỏ nhất (sau khi bị cắt) là $a$
- Chiều rộng lớn nhất (sau khi bị cắt) là $a+b;\;\;(a,b>0)$

Như vậy diện tích xung quanh của băng giấy trên là $S_{xq}=2\pi a+\pi b$
______________________________________________
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{b}{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+a+\dfrac{b}{2}$ trên đoạn $[0,2\pi]\quad(*)$
Rõ ràng
$\mathop \min\limits_{[0,2\pi]}f(x)=a\quad(\text{tại $x=0$ và $x=2\pi$})$

$\mathop \max\limits_{[0,2\pi]}f(x)=a+b\quad(\text{tại $x=\pi$})$

Diện tích chắn bởi trục hoành của đồ thị hàm số trên trên đoạn $[0,2\pi]$ là

$\int\limits_0^{2\pi}\left(\dfrac{b}{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+a+\dfrac{b}{2}\right) \;\mathrm dx = 2\pi a+\pi b$


Tiếp theo sẽ đánh giá đến độ dài

Thiết diện bị cắt là một elip có bán trục nhỏ là $1$ bán trục lớn là $\dfrac{\sqrt{2^2+b^2}}{2}$
Vậy khi đặt elip trên vào tọa độ cực thì elip có phương trình tham số là
$\left\{\begin{array}{} x=\dfrac{\sqrt{4+b^2}}{2}\cos t\\ y=\sin t\end{array}\right.$

Khi đó thì chu vi của elip được tính bởi công thức
$p_E=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{x_t'^2+y_t'^2} \;\mathrm dt=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{\dfrac{4+b^2}{4}\cos^2t+\sin^2t} \;\mathrm dt = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{b^2\sin^2t+4} \;\mathrm dt$
________________________________________
Độ dài đường cong là đồ thị của hàm số $(*)$ trên đoạn $[0,2\pi]$ được tính bởi công thức:

$p_S=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{f_x'^2+1} \;\mathrm dx=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{\dfrac{b^2}{2^2}\cos^2\big(x-\dfrac{\pi}{2}\big)+1} \;\mathrm dx=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{b^2\sin^2x+4} \;\mathrm dx$


Mời các bạn đặt tiếp câu hỏi!