Đến nội dung


Hình ảnh

[IMO 2012 - P.4] Tìm tất cả các hàm số: \[f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)\]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Quản lý
  • 5509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-07-2012 - 00:26

Problem. Find all functions $f:Z\rightarrow Z$, such that for all $a+b+c=0$ holds:
\[f{(a)^2} + f{(b)^2} + f{\left( c \right)^2} = 2f(a)f(b) + 2f(b)f\left( c \right) + 2f\left( c \right)f(a)\]

BÀI TOÁN. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, sao cho với mọi $a + b + c = 0$ thì \[f{(a)^2} + f{(b)^2} + f{\left( c \right)^2} = 2f(a)f(b) + 2f(b)f\left( c \right) + 2f\left( c \right)f(a)\]

#2 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 12-07-2012 - 09:23

Giải
Trước hết ta cho $a=b=c=0$ thế thì ta dễ suy ra được $f(0)=0$
Tiếp theo ta cho $c=0$ từ $a+b+c=0 $ suy ra $a=-b$
Ta có $f^2(a)+f^2(b)=2f(a)f(b)$
Hay là $[f(a)-f(b)]^2=0$ từ đây ta có $f(a)=f(-a)$
Thay $c=-a-b$ ta được
$f^2(a)+f^2(b)+f^2(-a-b)=2f(a)f(b)+2f(-a-b)f(b)+2f(-a-b)f(a)$
Do $f(-a-b)=f(a+b)$ nên ta được
$f^2(a)+f^2(b)+f^2(a+b)=2f(a)f(b)+2f(a+b)(f(a)+f(b))$
Cho $a=b$ ta được
$f(2a)[f(2a)-4f(a)]=0$
Vậy
$f(2a)=0$ ta được hàm số $f(a)=0$ thoả mãn
Nếu hàm $f(a)$ khác $0$ thế thì
$f(2a)-4f(a)=0$
Bây giờ ta thay tiếp $b=2a$ vào biểu thức ta được
$[f(3a)-f(a)][f(3a)-9f(a)]=0$
Với $f(3a)=f(a)$ ta có $f(3^{-n}a)=f(a)$ vậy thì $f(a)=f(0)=0$ vô lý
Vậy $f(3a)=9f(a)$
từ đây bằng phương pháp quy nạp ta suy ra $f(ma)=m^2f(a)$
Vậy cho $a=1$ thì có $f(m)=m^2a$ với $a$ là một hằng số cho trước
Và $f(a)=0$ là 2 nghiệm của bài toán
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh