Đến nội dung


Hình ảnh

Đẳng thức khai triển tổ hợp và ứng dụng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#21 daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 05-08-2012 - 17:44

Định nghĩa các biểu thức $J$ như trên, rõ ràng phụ thuộc vào $2$ biến
Một là số thứ tự phần tổ hợp (như đã gọi tên là $J_2,J_3,...$)
Hai là giá trị của biến cần tổ hợp (là $n$)

Đừng quên tất cả tổ hợp chập $k$ của $n$ đều có thể sắp xếp thứ tự
Khi đó ta có thể định nghĩa:

$J(n,k)=\dfrac{1}{kC_n^k} \sum\limits_{1 \le i_1<...<i_k \le n} \left(\left(\lambda_{i_1}+...+\lambda_{i_k}\right) f\left(\dfrac{\lambda_{i_1} x_{i_1}+...+\lambda_{i_k} x_{i_k}}{\lambda_{i_1}+...+\lambda_{i_k}}\right)\right)$


Cảm ơn anh Hxthanh. Vì anh hiểu được cách chứng minh và hiểu cả ký hiệu theo kiểu của em và ký hiệu theo quy ước ký hiệu toán học anh có thể cho biết nếu ký hiệu như anh vừa trình bày thì có gặp phải khó khăn gì trong quá trình chứng minh không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 05-08-2012 - 17:45


#22 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3130 Bài viết
  • -2 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-08-2012 - 18:17

Định nghĩa như thế này

$J(n,k)=\dfrac{1}{kC_n^k} \sum\limits_{1 \le i_1<...<i_k \le n} \left(\left(\lambda_{i_1}+...+\lambda_{i_k}\right) f\left(\dfrac{\lambda_{i_1} x_{i_1}+...+\lambda_{i_k} x_{i_k}}{\lambda_{i_1}+...+\lambda_{i_k}}\right)\right)$

có vài điểm đáng lưu ý:
Thứ nhất: Nó khá rõ ràng, người đọc sẽ không phải thắc mắc rằng tổng được lấy trên cơ sở như thế nào!
Thứ hai: Nó mang tính tổng quát cao, (với $k, n$ dương bất kỳ). Mỗi số hạng tương ứng với một bộ chỉ số $(i_1,...,i_k)$ sao cho $1\le i_1<...<i_k\le n$ tương ứng với một tổ hợp chập $k$ của tập $n$ phần tử $\{1,...,n\}$ được sắp thứ tự; có $C_n^k$ bộ như vậy tương ứng với $C_n^k$ số hạng.
Thứ ba: Việc chứng minh các bất đẳng thức (chẳng hạn $J(n,k)\ge J(n,k+1)$) không phụ thuộc vào việc ta biểu diễn các ký hiệu như thế nào, mà cái chính là ta phân tích và viết sao cho đúng thôi. Việc "chuẩn hóa" các ký hiệu sẽ giúp cho bài viết của bạn sẽ có giá trị quốc tế cao!
_______________________________
P/s: Hầu hết sách báo tạp chí nước ngoài người ta ký hiệu $\binom{n}{k}$ thay cho $C_n^k$

#23 daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 05-08-2012 - 21:13

Định nghĩa như thế này

có vài điểm đáng lưu ý:
Thứ nhất: Nó khá rõ ràng, người đọc sẽ không phải thắc mắc rằng tổng được lấy trên cơ sở như thế nào!
Thứ hai: Nó mang tính tổng quát cao, (với $k, n$ dương bất kỳ). Mỗi số hạng là một bộ chỉ số $(i_1,...,i_k)$ sao cho $1\le i_1<...<i_k\le n$ tương ứng với một tổ hợp chập $k$ của tập $n$ phần tử $\{1,...,n\}$ được sắp thứ tự; có $C_n^k$ bộ như vậy tương ứng với $C_n^k$ số hạng.
Thứ ba: Việc chứng minh các bất đẳng thức (chẳng hạn $J(n,k)\ge J(n,k+1)$) không phụ thuộc vào việc ta biểu diễn các ký hiệu như thế nào, mà cái chính là ta phân tích và viết sao cho đúng thôi. Việc "chuẩn hóa" các ký hiệu sẽ giúp cho bài viết của bạn sẽ có giá trị quốc tế cao!
_______________________________
P/s: Hầu hết sách báo tạp chí nước ngoài người ta ký hiệu $\binom{n}{k}$ thay cho $C_n^k$


Cảm ơn anh đã động viên. Em sẽ tiếp tục tìm hiểu cái ký hiệu anh đề cập. Em vẫn muốn nhấn mạnh rằng cái hay của việc đưa ra $J_k$ là ở chỗ nó dễ dàng biểu diễn các ý tưởng. Còn việc viết báo thì chỉ là ý tưởng thôi chứ cũng khó lắm anh ạ
$ J_1 \ge J_2 \ge J_3 \ge J_4 $(ý tưởng này đã được chứng minh) (1)
$J_1 + J_3 \ge 2J_2 $ (2)
$J_2 + J_4 \ge 2J_3 $ (3)
$J_1 + J_4 \ge J_2 + J_3$ (4)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh