Đến nội dung



Chuyên mục

 Photo

Tuần 4 tháng 7/2016: Một năm "Mỗi tuần một bài toán"

24-07-2016

Trích lời dẫn của thầy Trần Quang Hùng trên blog "Hình học sơ cấp".

 


"Đôi lời chia sẻ cho hành trình một năm của "Mỗi tuần một bài toán"!

 

Như vậy là chuyên mục "Mỗi tuần một bài toán" bắt đầu từ tuần 1 tháng 8 năm 2015 cho tới hết tuần 4 tháng 7 năm 2016 đã tròn một năm. Chuyên mục đã giữ được một sự ổn định tương đối để có thể duy trì đều đặn hàng tuần trong một năm qua. Chuyên mục đã nhận được sự ủng hộ nhiệt tình từ rất nhiều bạn đọc trên cả nước và đặc biệt là được ban quản trị diễn đàn toán học hết sức tạo điều kiện hỗ trợ để có một box riêng tại đây. Đó thực sự là sự ủng hộ và đồng thuận rất lớn từ cộng đồng các bạn yêu toán trên diễn đàn toán học. Nhân dịp bài toán kết thúc một năm, mình xin được gửi lời cám ơn chân thành tới ban quan trị diễn đàn toán học cùng với tất cả các bạn đã tham gia giải bài, nhiệt tình ủng hộ chuyên mục và đặc biệt là các học trò của tôi là các bạn Phạm Quang ToànNguyễn Tiến Dũng và Nguyễn Đức Bảo đã luôn sát cánh bên tôi để chuyên mục có được một sự ổn định và đều đặn. Mình xin hứa sẽ làm cho chuyên mục tiếp diễn đều và sẽ luôn phát triển hơn nữa về chất lượng để cám ơn sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn yêu toán và yêu hình học.

 

Tuần cuối, tháng 7 năm 2016.

Trần Quang Hùng"

 

Lời giải bài cũ đã được thầy Hùng đưa lên tại tuần 4 tháng 7 và kèm theo đó là bài toán mới.

Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường cao $AD,BE,CF.M,N$ là trung điểm của $HC,HE$. Trên $EF$ lấy $P$ sao cho $MP\parallel DE.Q$ thuộc $BC$ sao cho $AQ\perp AB.AD$ cắt $EF$ tại $R$. Trên $BR$ lấy $S$ sao cho $ES\parallel NP$. Chứng minh rằng $QE,AB,SD$ đồng quy.

Post 269.PNG

 

 

hhdsdhaksdhkasd.

  216 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

 Photo

TRƯỜNG HÈ TOÁN HỌC MIỀN BẮC 2016

19-07-2016

TRƯỜNG HÈ TOÁN HỌC MIỀN BẮC 2016

Nguồn: Thầy Trần Mạnh Sang- THPT Chuyên Lê Hồng Phong

 

Bài 1: 

Cho 2016 tập hợp, mỗi tập có 45 phần tử, hai tập bất kì có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại 1 phần tử thuộc tất cả các tập.

 

Bài 2:

Cho tập $X$ hữu hạn phần tử. Các tập $A_{1},A_{2},...A_{50}$ là các tập con của $X$, mỗi tập có nhiều hơn một nửa số phần tử của $X$

Chứng minh: 

a, Tồn tại phần tử $a$ thuộc ít nhất 26 tập con đã cho.

b, Tồn tại $A\subset X$ thỏa mãn $\left | A \right |\leq 5$ mà $A\cap A_{i}\neq \oslash (i=\overline{1,50})$

 

Bài 3: Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 2016 thỏa mãn số đó chia hết cho 3 hoặc 4 nhưng không chia hết cho 5.

 

Bài 4: Cho S= \left \{ 1,2,...,2014 \right \} 

Cần phải bỏ đi ít nhất bao nhiêu phần tử của $S$ để tập còn lại thỏa mãn không phần tử nào bằng tích hai phần tử khác.

 

Bài 5: Tìm tất cả các tập hữu hạn $A\subset \mathbb{N}$  và $B\subset \mathbb{N}$ thỏa mãn $A\subset \mathbb{B}$ và $\sum x_{b}=\sum x_{a}^{2}$

 

Bài 6: Cho tập $S$ thỏa mãn 

+> Mỗi phần tử của $S$ là một dãy có 15 kí tự, chỉ sử dụng $a,b$

+> Hai phần tử trong $S$ được gọi là khác nhau nếu chúng khác nhau ở ít nhất ba phần tử 

CMR: $\left |S  \right |\leq 2^{11}$

 

Bài 7: Cho tập $S$ có 2008 phần tử và $S_{1},S_{2},...S_{50}$ là tập con của $S$ thỏa mãn

+> $\left | S_{1} \right |=100 (i=\overline{1,50})$

+> $S_{1}\cup S_{2}\cup ....\cup S_{i}=S$

CMR: tập $S_{i}, S_{j}$ $i$ khác $j$ thỏa $\left | S_{1}\cap S_{j} \right |\leq 3$

 

Bài 8: Cho $n,k\in N$ và $S=\left \{ 1,2,...,n \right \}$ 

$A_{1},A_{2},.....A_{k}$ là các tập con của $S$ thỏa:

+> $\left | A_{i} \right |\geq \frac{n}{2}\left ( i=\overline{1,k} \right )$

+> $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |\leq \frac{n}{4}(i\neq j)$

CMR: $\left | A_{1}\cup A_{2}....\cup A_{k} \right |\geq \frac{k}{k+1}$

 

Bài 9: Cho số tự nhiên dương $n$ nhỏ hơn $2014$ 

Tập $A=\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n} \right \}$ là tập con của $S= \left \{ 1,2,3,...,2014 \right \}$ thỏa nếu $a_{i}\neq a_{j}\leq 2014(i\leq i\leq j\leq n)$ thì $a_{i}+a_{j}\in A$

Chứng minh: $\frac{a_{1}+a_{2}+.....+a^{n}}{n}\geq \frac{2015}{2}$

 

Bài 10: Cho $S$ có 2016 phần tử. Tìm số bộ sắp thứ tự $(S_{1},S_{2},....,S_{n})$ với $S_{i}$ là tập con của $S$ thỏa $S_{1}\cap S_{2}\cap S_{3}\cap ....S_{2015}\neq \oslash $

 

Bài 11: Cho $S$ là tập các số nguyên dương nhỏ hơn $15$ thỏa không có hai tập con rời nhau của $S$ có tổng các phần tử bằng nhau. 

a, Chứng minh: số phần tử của $S$ không quá 5

b, Tìm tổng lớn nhất của số các phần tử của $S$

 

Bài 12: Cho $S\subset A= \left \{ 1,2,3,...n \right \}$n với $n$ nguyên dương. Tạo ra tập mới theo các luật sau: 

+> Nếu $1\notin S$ thì thêm $1$ vào $S$

+> Nếu $n\in S$ thì bỏ $n$

+> Với $1\leq t< n,t\in S,t+1\notin S$ thì bỏ $t$ thêm $t+1$

Ta bắt đầu từ tập rỗng.

Chứng minh $n= 2^{m}=1$ với m nguyên dương.

 

Bài 13: Cho các số nguyên dương $m,n$ không nhỏ hơn 2 thảo $S$ là tập có $n$ phần tử. $A_{1},A_{2},...,A_{m}$ là các tập con của $S$ mà mỗi tập có ít nhất 2 phần tử và thỏa mãn nếu $A_{i}\cap A_{j}\neq \oslash$, $A_{i}\cap A_{k}\neq \oslash$, $A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$ thì $A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\neq \oslash$

Chứng minh: $m\leq 2^{n-1}-1$

 

Bài 14: Có tồn tại hay không một tập có 2010 số nguyên dương thỏa mãn nếu bỏ bất kỳ một phần tử nào của tập này thì tập còn lại có thể chia thành hai tập mà tổng các phần tử trong mỗi tập này bằng nhau?

 

P/s: Chuyên đề này được thầy hoàn thành trong 6 giờ làm việc, và đây là những bài đã giải quyết xong trên lớp, mình gõ lên để cho các bạn không có điều kiện tham gia trường hè giải thử. Các bài tập ở đây về độ khó khá đa dạng, từ khá dễ đến khó, được thầy sưu tầm lại, minh đã xin phép thầy để đăng lên đây.

Mong các bạn ở trường hè các miền khác có thể chia sẻ các bài tập của các bạn để có thể trao đổi!

Mong các bạn tham gia giải quyết hết các bài tập trên.

  2231 Lượt xem · 11 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi JUV )

 Photo

Chuyên đề thú vị về giới hạn dãy số

19-07-2016

Tự nhiên lục lại thấy cái chuyên đề viết dở năm cấp 3, tặng anh em diễn đàn mình tham khảo (chỉ sợ nó lỗi thời rồi) , nếu bạn nào quan tâm thì liên hệ vs mình qua facebook mình sẽ gửi bản word và bạn tìm hiểu + giúp mình hoàn thành nốt phần còn lại nhé.  :D

  391 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi superpower )

 Photo

Tuần 3 tháng 7/2016 :$CQ\parallel BR$

17-07-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ tại tuần 3 tháng 7 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán đó :

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường cao $AH,I$ là trung điểm của $BC.P$ là điểm thuộc cung $BC$ không chứa $A.AP$ cắt $BC$ tại $M$. Lấy điểm $N$ nằm trên $AM$ sao cho $2\frac{NM}{NA}=\frac{MH}{IH}$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T.TN$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc $AP$ cắt $PE,PF$ lần lượt tại $Q,R$. Chứng minh rằng $CQ\parallel BR$.

Post 260.png

 

  495 Lượt xem · 3 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

 Photo

ĐỀ THI OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC LẦN VIII

17-07-2016

Olympic GẶP GỠ TOÁN HỌC tại Đồng Nai

Đề thi Olympic GGTH 2016

13775339_1064248156989694_6268703291431238712_n.png 13775759_1064248163656360_8588927644894536061_n.png 13775923_1064248153656361_331095884748842086_n.png

Nguồn : Facebook (Fanpage GGTH)

  2302 Lượt xem · 15 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Nguyenhuyen_AG )

 Photo

Đường tròn phụ trong một số bài toán đường tròn tiếp xúc

16-07-2016

Tóm tắt. Đây là bài viết của mình và anh Nguyễn Tiến Long (babystudymaths) gửi GGTH 2016. Nội dung chủ yếu là các bài toán đường tròn tiếp xúc dựa trên cấu hình về các đường tròn phụ.

 

Cuối bài viết xin được dành lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy Trần Quang Hùng, người đã theo sát quá trình viết bài của tác giả cũng như có những đóng góp, nhận xét quan trọng. Đồng thời xin dành lời cảm ơn tới những thành viên của VMF đã ủng hộ và đóng góp nhiều bài toán hay cho bài viết.

 

File PDF. File gửi kèm  GGTH 2016(Bản chuẩn) (1).pdf   2.23MB   928 Số lần tải

 

Bản chuẩn nhất mới update đúng font của GGTH.File gửi kèm  Duong Tron Phu Trong BT Tiep Xuc.pdf   8.3MB   11 Số lần tải

 

  475 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi conanthamtulungdanhkudo )

 Photo

IMO 2016: Việt Nam xếp thứ 11 toàn đoàn với 1 Vàng, 4 Bạc, 1 Đồng

14-07-2016

2016.gif

 

Trong kỳ thi Olympic Toán Quốc tế lần thứ 57 vừa diễn ra tại Hong Kong, đội tuyển Việt Nam đã giành được 1 HCV, 4 HCB và 1 HCĐ, đạt tổng số điểm 151 (bằng năm 2015). Với kết quả này Việt Nam xếp thứ 11 trên tổng số 109 đoàn tham dự. Năm đoàn đứng đầu là Mỹ (214 điểm với 6 HCV), Hàn Quốc (207 điểm với 4 HCV, 2 HCB), Trung Quốc (204 điểm với 4 HCV, 2 HCB), Singapore (196 điểm với 4 HCV và 2HCB) và Đài Loan (175 điểm với 3 HCV, 3HCB). 

 

HCV duy nhất của tuyển Việt Nam thuộc về em Vũ Xuân Trung (THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình). Các em Đào Vũ Quang (THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam), Phạm Nguyễn Mạnh (PTNK - ĐHQG Tp. HCM), Lê Nhật Hoàng (THPT chuyên Lê Quý Đôn, Tỉnh Bình Định), Hoàng Anh Dũng (THPT chuyên Lam Sơn, Tỉnh Thanh Hoá) đạt HCB, em Vũ Đức Tài (THPT chuyên Lê Hồng Phong, Tỉnh Nam Định) đạt HCĐ.

 

h1.png

 

 

Như vậy Vũ Xuân Trung đã trở thành người thứ 8 giành được 2 HCV trong lịch sử tham dự IMO của Việt Nam, sau Ngô Bảo Châu (1988, 1989), Đào Hải Long (1994, 1995), Ngô Đắc Tuấn (1995, 1996), Vũ Ngọc Minh (2001, 2002), Lê Hùng Việt Bảo (2003, 2004), Phạm Tuấn Huy (2013, 2014), Nguyễn Thế Hoàn (2014, 2015).

 

Kết quả trên đây của đội tuyển Việt Nam là thấp nhất trong vòng 5 năm trở lại đây và cũng thấp hơn so với kì vọng của người hâm mộ. Kết quả khảo sát trên Diễn đàn cho thấy có đến 36,59% kì vọng đội tuyển sẽ xếp thứ 4 hoặc thứ 5. Chỉ có 3,66% nghĩ đến kết quả sau top 10. 

Untitled.png

 

Gây bất ngờ nhất có lẽ là đoàn Hàn Quốc với 3/6 HS đạt điểm tối đa 42/42 điểm. Dưới đây là danh sách các thí sinh đứng đầu.

 

h2.png

 

Xem thêm tại https://www.imo-offi...rg/results.aspx

  2880 Lượt xem · 11 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi dangthihanhtrang )

 Photo

Thảo luận về Đề thi và Lời giải của IMO 2016

11-07-2016

IMO.png

 

IMO 2016

 

Ngày 11-07-2016

 

 

Bài 1. Tam giác $BCF$ vuông tại $B.A$ là một điểm trên đường thẳng $CF$ sao cho $FA=FB,F$ nằm giữa $A$ và $C$. Chọn điểm $D$ sao cho $DA=DC$ và $AC$ là phân giác của $\angle DAB$. Chọn điểm $E$ sao cho $EA=ED$ và $AD$ là phân giác của $\angle EAC$. $M$ là trung điểm $CF$. $X$ là điểm thỏa mãn $AMXE$ là hình bình hành. Chứng minh rằng $BD$, $FX$ và $ME$ đồng quy.

 

Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho có thể điền vào bảng ô vuông $n\times n$ các chữ cái $I$, $M$ và $O$ theo quy tắc

- Mỗi hàng và mỗi cột $I$, $M$, $O$ đều chiếm một phần ba số ô được điền.

- Trong bất kì đường chéo nào, nếu số ô được điền là bội của ba thì một phần ba trong số đó là $I$, một phần ba là $M$ và một phần ba là $O$.

 

Ghi chú. Các hàng và các cột của bảng $n\times n$ được đánh số từ $1$ đến $n$ theo thứ tự thông thường. Do đó mỗi ô đều tương ứng với một cặp số tự nhiên $(i,j)$ với $1\le i,j\le n$. Với $n>1$, bảng có $4n-2$ đường chéo được chia làm hai loại. Đường chéo loại 1 gồm các ô $(i,j)$ mà $i+j$ là hằng số và đường chéo loại 2 gồm các ô $(i,j)$ mà $i-j$ là hằng số.

 

Bài 3. Cho $P=A_1A_2\ldots A_k$ là một đa giác lồi trong mặt phẳng. Các đỉnh $A_1,A_2,\ldots A_k$ có tọa độ là các số nguyên và nằm trên một đường tròn. Gọi $S$ là diện tích của $P$. Một số tự nhiên $n$ lẻ thỏa mãn bình phương độ dài các cạnh của $P$ đều chia hết cho $n$. Chứng minh rằng $2S$ là một số tự nhiên chia hết cho $n$

 

Bài 4. Một tập hợp  các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất 2 phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại . Đặt $P(n)=n^{2}+n+1$. Hãy tìm số nguyên dương $b$ nhỏ nhất sao cho tồn tại số không âm $a$  để tập hợp  $\left \{ P(a+1);P(a+2);...;P(a+b) \right \}$ là tập hương.

 

Bài 5. Người ta viết lên bảng phương trình:

$(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)$

với 2016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hãy tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để có thể xóa đi $k$ nhân tử trong số 4032 nhân tử nêu trên sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.

 

Bài 6. Trong mặt phẳng, cho $n\geq 2$ đoạn thẳng sao cho 2 đoạn thẳng bất kì cắt nhau tại một điểm nằm trên mỗi đoạn và không có ba đoạn thẳng nào đồng quy.Với mỗi đoạn thẳng thầy Minh chọn một đầu mút của nó rồi đặt lên đó một con ếch sao cho mặt con ếch hướng về đầu mút còn lại. Sau đó thầy vỗ tay $n-1$ lần. Mỗi lần vỗ tay con ếch ngay lập tức nhảy đến giao điểm gần nhất trên đoạn thẳng của nó. Tất cả những con ếch đều không thay đổi  hướng nhảy của mình trong toàn bộ quá trình nhảy. Thầy Minh muốn đặt các con ếch sao cho sau mỗi lần vỗ tay không có hai con nào nhảy đến cùng một điểm.

(a). Chứng minh rằng thầy Minh luôn thực hiện được ý định của mình nếu $n$ là số lẻ.

(b).  Chứng minh rằng thầy Minh không thể thực hiện được ý định của mình nếu nếu $n$ là số chẵn.

  8767 Lượt xem · 31 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi libach80 )

 Photo

Tuần 2 tháng 7/2016: Mở rộng Shorlist 2015 G4

10-07-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài toán cũ trong tuần 2 tháng7 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán đó.

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và trung tuyến $AM.P$ nằm trên cung $BC$ không chứa $A$ của $(O).E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $PE\parallel AB,PF\parallel AC.AM$ cắt $(AEF)$ tại $N$ khác $A$. Chứng minh rằng $AP^2=2AM.AN$

  763 Lượt xem · 8 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

 Photo

Dự đoán kết quả của Đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2016

04-07-2016

Gửi bởi E. Galois trong Góc giao lưu

Kỳ thi Olympic toán học quốc tế lần thứ 57 (IMO 2016) được tổ chức từ ngày 06/07 đến ngày 16/07 năm 2016 tại Hồng Kông. Đội tuyển Việt Nam gồm có các thành viên:

  1. Đào Vũ Quang, hs lớp 12 trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, Tp. Hà Nội; 
  2. Vũ Xuân Trung, hs lớp 12 trường THPT chuyên Thái Bình, tỉnh Thái Bình; 
  3. Hoàng Anh Dũng, hs lớp 12 trường THPT chuyên Lam Sơn, Tỉnh Thanh Hoá; 
  4. Phạm Nguyễn Mạnh, hs lớp 11 trường PTNK - ĐHQG Tp. HCM;
  5. Lê Nhật Hoàng, hs lớp 12 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Tỉnh Bình Định; 
  6. Vũ Đức Tài, hs lớp 12 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Tỉnh Nam Định.

Đặc biệt, em Lê Nhật Hoàng (LNH) là thành viên chủ chốt và là điều hành viên của Diễn đàn Toán học trong nhiều năm qua. Em Đào Vũ Quang (daovuquang) là một thành viên lâu năm và đã từng giành Giải Nhì trong cuộc thi Marathon Toán THCS do Diễn đàn Toán học tổ chức vào năm 2013.

 

Theo bạn, Đội tuyển Việt Nam sẽ đứng thứ mấy trong kì thi lần này? (Hãy tham gia bình chọn ở đầu chủ đề này)

 

Thay mặt BQT và các thành viên VMF, xin chúc đội tuyển Việt Nam tự tin, làm bài tốt và đạt kết quả cao.

  2699 Lượt xem · 18 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi DangHongPhuc )


Những bài toán trong tuần

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ ; ta có đẳng thức : $$\frac{1}{\sin^{2} \frac{\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{3\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{5\pi}{4k+2}}+ \cdots+ \frac{1}{\sin^{2} \frac{(2k-1)\pi}{4k+2}} = 2k(k+1)$$

>>Tham gia giải bài toán này<<

Những bài toán đã qua


Mỗi tuần 1 bài toán hình học

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và trung tuyến $AM.P$ nằm trên cung $BC$ không chứa $A$ của $(O).E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $PE\parallel AB,PF\parallel AC.AM$ cắt $(AEF)$ tại $N$ khác $A$. Chứng minh rằng $AP^2=2AM.AN$.

 

Tham gia giải bài toán này

Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học

 

 

 

Bài viết mới


Portal v1.4.0 by DevFuse | Based on IP.Board Portal by IPS