Chủ đề này có 6 trả lời

[NguyThang khtn]

Cho các số thực duơng $a,b,c$ thảo mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng:
$\frac{\sum \sqrt{a^2+3}}{a+b+c} < \sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}$

[duongvanhehe]

Cho các số thực duơng $a,b,c$ thảo mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng:
$\frac{\sum \sqrt{a^2+3}}{a+b+c} < \sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}$

$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow abc(a+b+c)=ab+bc+ca$
Ta có:$(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)=3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+3}\leq \sum \sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}=\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2(a+b+c)$
Do đó :$VT\leq 2$
Lại có:$VP=\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}$
Theo BĐT Schur bậc 4 ta có:$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{2}b^{2} \Rightarrow \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})^{2})-abc(a+b+c)}\geq 2 \Rightarrow VP\geq 2$
Từ đó suy ra $VT\leq VP$.Dấu bằng không xảy ra.

[duongvanhehe]

Với cùng điều kiện như trên ta có một BĐT chặt hơn một chút là:
$\frac{\sum \sqrt{a^{2}+3}}{a+b+c}\leq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}-\frac{1}{2}bc+c^{2}}$

[NguyThang khtn]

$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow abc(a+b+c)=ab+bc+ca$
Ta có:$(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)=3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+3}\leq \sum \sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}=\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2(a+b+c)$
Do đó :$VT\leq 2$
Lại có:$VP=\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}$
Theo BĐT Schur bậc 4 ta có:$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{2}b^{2} \Rightarrow \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})^{2})-abc(a+b+c)}\geq 2 \Rightarrow VP\geq 2$
Từ đó suy ra $VT\leq VP$.Dấu bằng không xảy ra.

Ngược dấu đoạn cuối bạn ơi

[duongvanhehe]

Ngược dấu đoạn cuối bạn ơi

Chỉ rõ hộ mình chỗ nào với,mình chưa nhìn ra

[NguyThang khtn]

Đoạn $\sum a^4 \ge 2\sum a^2b^2-abc(a+b+c) $ thì đoạn cuối là ngược dấu !
Mình thì biến đổi
S.O.S thôi

[duongvanhehe]

Đoạn $\sum a^4 \ge 2\sum a^2b^2-abc(a+b+c) $ thì đoạn cuối là ngược dấu !
Mình thì biến đổi
S.O.S thôi

Là thế này:$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}\geq \frac{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}\geq 2$
$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\geq 0$
Sao lại ngược dấu nhỉ?