Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh BDT: $\frac{\sum \sqrt{a^2+3}}{a+b+c} < \sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1458 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A0 K46 Tổng hợp

Đã gửi 17-07-2012 - 09:55

Cho các số thực duơng $a,b,c$ thảo mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng:
$\frac{\sum \sqrt{a^2+3}}{a+b+c} < \sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}$

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


94e8dcf4f558448c8c8e808278c0c65e.0.gif


#2 duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:tất nhiên là ở Việt Nam rồi

Đã gửi 22-07-2012 - 17:05

Cho các số thực duơng $a,b,c$ thảo mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng:
$\frac{\sum \sqrt{a^2+3}}{a+b+c} < \sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}$

$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow abc(a+b+c)=ab+bc+ca$
Ta có:$(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)=3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+3}\leq \sum \sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}=\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2(a+b+c)$
Do đó :$VT\leq 2$
Lại có:$VP=\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}$
Theo BĐT Schur bậc 4 ta có:$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{2}b^{2} \Rightarrow \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})^{2})-abc(a+b+c)}\geq 2 \Rightarrow VP\geq 2$
Từ đó suy ra $VT\leq VP$.Dấu bằng không xảy ra. :icon6:
FC.Fruit

#3 duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:tất nhiên là ở Việt Nam rồi

Đã gửi 22-07-2012 - 19:56

Với cùng điều kiện như trên ta có một BĐT chặt hơn một chút là:
$\frac{\sum \sqrt{a^{2}+3}}{a+b+c}\leq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}-\frac{1}{2}bc+c^{2}}$
FC.Fruit

#4 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1458 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A0 K46 Tổng hợp

Đã gửi 23-07-2012 - 21:10

$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow abc(a+b+c)=ab+bc+ca$
Ta có:$(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)=3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+3}\leq \sum \sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}=\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2(a+b+c)$
Do đó :$VT\leq 2$
Lại có:$VP=\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}$
Theo BĐT Schur bậc 4 ta có:$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{2}b^{2} \Rightarrow \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})^{2})-abc(a+b+c)}\geq 2 \Rightarrow VP\geq 2$
Từ đó suy ra $VT\leq VP$.Dấu bằng không xảy ra. :icon6:

Ngược dấu đoạn cuối bạn ơi :D

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


94e8dcf4f558448c8c8e808278c0c65e.0.gif


#5 duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:tất nhiên là ở Việt Nam rồi

Đã gửi 23-07-2012 - 21:46

Ngược dấu đoạn cuối bạn ơi :D

Chỉ rõ hộ mình chỗ nào với,mình chưa nhìn ra
FC.Fruit

#6 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1458 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A0 K46 Tổng hợp

Đã gửi 24-07-2012 - 22:07

Đoạn $\sum a^4 \ge 2\sum a^2b^2-abc(a+b+c) $ thì đoạn cuối là ngược dấu !
Mình thì biến đổi
S.O.S thôi :D

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


94e8dcf4f558448c8c8e808278c0c65e.0.gif


#7 duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:tất nhiên là ở Việt Nam rồi

Đã gửi 25-07-2012 - 09:07

Đoạn $\sum a^4 \ge 2\sum a^2b^2-abc(a+b+c) $ thì đoạn cuối là ngược dấu !
Mình thì biến đổi
S.O.S thôi :D

Là thế này:$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}\geq \frac{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}\geq 2$
$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\geq 0$
Sao lại ngược dấu nhỉ? :mellow:
FC.Fruit




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh