Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng: $\alpha\vec{MA}+\beta\vec{MB}=\vec{0}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 L Lawliet

L Lawliet

    Ngọa Long

  • Thành viên
  • 1252 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-07-2012 - 23:23

Cho hai điểm $A$, $B$ phân biệt và hai số $\alpha$, $\beta$ không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng nếu $\alpha+\beta\neq 0$ thì tồn tại duy nhất điểm $M$ sao cho:
$$\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=0$$
Từ đó nêu cách dựng điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu.
---
Phần chứng minh em đã chứng minh được nhưng phần nêu cách dựng thì em không làm được :(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 18-07-2012 - 13:22

The woman

#2 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 454 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 17-07-2012 - 23:49

Cho hai điểm $A$, $B$ phân biệt và hai số $\alpha$, $\beta$ không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng nếu $\alpha+\beta\neq 0$ thì tồn tại duy nhất điểm $M$ sao cho:
$$\alpha\vec{MA}+\beta\vec{MB}=\vec{0}$$
Từ đó nêu cách dựng điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu.
---
Phần chứng minh em đã chứng minh được nhưng phần nêu cách dựng thì em không làm được :(


Không biết cách chứng minh của em như thế nào, mình đưa ra cách chứng minh như sau (mà theo mình nó thể hiện luôn cách vẽ rồi)

Giả sử $\beta \ne 0$. Ta có:
$$\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=0$$

$$\Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} \right)=0$$
$$\Leftrightarrow \left( \alpha +\beta \right)\overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{AB}=0$$
$$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{-\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$$
Do $\beta \ne 0$,$\alpha +\beta \ne 0$ nên tồn tại điểm $M$, và cách dựng điểm $M$ là dựng véctơ $\overrightarrow{AM}$ theo véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đã biết thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 17-07-2012 - 23:53

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!



Hình đã gửi$\sqrt{\text{MF}}$


#3 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 18-07-2012 - 00:56

Cái này có thể mở rộng cho bộ n điểm $(A_1; A_2;...; A_n)$ và bộ n số $(a_1; a_2;...;a_n)$ thì tồn tại duy nhất 1 điểm $M$ thỏa mãn:
$a_1.\overrightarrow{MA_1}+a_2.\overrightarrow{MA_2}+...+a_n.\overrightarrow{MA_n}=\overrightarrow{0}$
$M$ đc gọi là trọng tâm của hệ điểm $(A_1; A_2;...; A_n)$ với hệ số $(a_1; a_2;...;a_n)$
Em xem thêm quyển TLGK chuyên toán 10
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#4 L Lawliet

L Lawliet

    Ngọa Long

  • Thành viên
  • 1252 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-07-2012 - 07:08

Không biết cách chứng minh của em như thế nào, mình đưa ra cách chứng minh như sau (mà theo mình nó thể hiện luôn cách vẽ rồi)

Giả sử $\beta \ne 0$. Ta có:
$$\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=0$$

$$\Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} \right)=0$$
$$\Leftrightarrow \left( \alpha +\beta \right)\overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{AB}=0$$
$$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{-\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$$
Do $\beta \ne 0$,$\alpha +\beta \ne 0$ nên tồn tại điểm $M$, và cách dựng điểm $M$ là dựng véctơ $\overrightarrow{AM}$ theo véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đã biết thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$

Em chứng minh giống anh nhưng ở phần dựng: dựng điểm $M$ là dựng véctơ $\overrightarrow{AM}$ theo véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đã biết thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$ là cái em muốn hỏi anh à :(
The woman

#5 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 454 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 18-07-2012 - 10:16

Em chứng minh giống anh nhưng ở phần dựng: dựng điểm $M$ là dựng véctơ $\overrightarrow{AM}$ theo véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đã biết thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$ là cái em muốn hỏi anh à :(



Này nhá, $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta}\overrightarrow{AB}$ tức là $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương đúng chưa, vậy dựng đường tròn tròn tâm A bán kính $\frac{\beta }{\alpha +\beta }AB}$ giao điểm của đường tròn và đường thẳng $AB$ là điểm $M$, tùy vào việc $\frac{\beta }{\alpha +\beta }$ là số dương hay âm mà chọn giao điểm nào!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 18-07-2012 - 10:20

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!



Hình đã gửi$\sqrt{\text{MF}}$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh