Đến nội dung


Hình ảnh

Từ đường thẳng chia ba cạnh đến bài toán chia tam giác


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đã gửi 17-07-2012 - 23:49

Các giao điểm của đường thẳng nối từ ba đỉnh xuống các điểm chia ba cạnh đối diện của một tam giác tạo thành một tam giác có cùng trọng tâmcó các cạnh song song với tam giác ban đầu.
Trên hình vẽ là: Tam giác A3B3C3 đồng dạng và có cùng trong tâm với tam giác ABC
Hình đã gửiChứng minh:

a. Chứng minh hai tam giác đồng dạng: Dùng định lý Ceva cho tam giác BB1C và tam giác BB2A. Do ba điểm C2A3C thẳng hàng và B1C3A thẳng hàng nên ta có tỷ số $\frac{BC3}{BB2}=\frac{BA3}{BB1}$ do đó theo định lý Talet A3C3 song song với CA. Tương tự ta chứng minh được B3A3 song song với AB và B3C3 song song với CB=> hai tam giác trên đồng dạng.

Chú ý: Tam giác A3B3C3 ở trên là tam giác rất đặc biệt, ví dụ nó cùng trọng tâm với tam giác ABC; chân đường cao, chân đường phân giác, hạ từ điểm A xuống cạnh BC là H; từ đỉnh A3 xuống cạnh B3C3 là H3 thì AA3 giao với HH3 tại trọng tâm tam giác......

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 19-07-2012 - 14:43


#2 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 18-07-2012 - 00:48

Dễ thấy $\dfrac{BA_3}{BB_1}=\dfrac{BC_3}{BB_2}=\dfrac{CB_3}{CC_1}=k$
$\Rightarrow \overrightarrow{AA_3}=k.\dfrac{2}{3}.\overrightarrow{AC}+(1-k)\overrightarrow{AB}$
Tương tự ta tính đc: $\overrightarrow{BB_3}$ và $\overrightarrow{CC_3}$
Và đc: $\overrightarrow{AA_3}+\overrightarrow{BB_3}+\overrightarrow{CC_3}=\overrightarrow{0}$
Vậy ta có đpcm
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#3 daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đã gửi 18-07-2012 - 01:02

Dễ thấy $\dfrac{BA_3}{BB_1}=\dfrac{BC_3}{BB_2}=\dfrac{CB_3}{CC_1}=k$
$\Rightarrow \overrightarrow{AA_3}=k.\dfrac{2}{3}.\overrightarrow{AC}+(1-k)\overrightarrow{AB}$
Tương tự ta tính đc: $\overrightarrow{BB_3}$ và $\overrightarrow{CC_3}$
Và đc: $\overrightarrow{AA_3}+\overrightarrow{BB_3}+\overrightarrow{CC_3}=\overrightarrow{0}$
Vậy ta có đpcm


Em đã chứng minh nên chỉ ra dễ thấy là dễ thấy theo định lý ceva hay ta let...hay tính chất gì nhé.

tại sao dòng anh bôi màu đỏ lại suy ra dòng bôi màu xanh. Mong em làm rõ hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 18-07-2012 - 01:04


#4 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 18-07-2012 - 01:27

Dạ có 1 định lí là thế này ạ:
Nếu điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ thì với mọi điểm $A$ ta có:
$\overrightarrow{AD}=\dfrac{BD}{BC}.\overrightarrow{AC}+\dfrac{DC}{BC}.\overrightarrow{AB}$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#5 L Lawliet

L Lawliet

    Ngọa Long

  • Thành viên
  • 1250 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-07-2012 - 08:30

Em xin chứng minh định lý chị Trang nói ở trên luôn ạ ^^
a.png
Ta có:
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$
$\Rightarrow MC.\overrightarrow{AM}=MC.\overrightarrow{AB}+MC.\overrightarrow{BM}$ $(1)$
và:

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$
$\Rightarrow MB.\overrightarrow{AM}=MB.\overrightarrow{AC}+MB.\overrightarrow{CM}$ $(2)$
Cộng từng vế $(1)$ với $(2)$, chú ý rằng hai vectơ $MC.\overrightarrow{BM}$ và $MB.\overrightarrow{CM}$ là hai vectơ đối nhau (ngược hướng và cùng độ dài), ta có:
$$BC.\overrightarrow{AM}=MC.\overrightarrow{AB}+MB.\overrightarrow{AC}$$
$$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{MC}{BC}.\overrightarrow{AB}+\frac{MB}{BC}.\overrightarrow{AC}$$
The woman

#6 daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đã gửi 18-07-2012 - 23:56

Bài 2: Đánh dấu các điểm như trên hình vẽ. Chứng minh bốn tam giác A1A2A3;B1B2B3;C1C2C3 và A3B3C3 bằng nhau và đồng dạng với tam giác ABC.(Nếu khó xem click vào hình rồi save lại).

Nhận xét: Riêng về đồng dạng thì có hàng nghì tỉ tam giác đồng dạng rút ra từ bài này. Các giáo viên THCS có thể tham khảo để giảng cho các em học sinh. Riêng về bốn tam giác bằng nhau đó theo tác giả là đặc biệt nhất.
Hình đã gửi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 19-07-2012 - 00:35


#7 daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đã gửi 19-07-2012 - 14:04

Trong bài hai trên chỉ là một cách làm để ra được các tam giác bằng nhau, thực ra bài toán này có 49 tam giác nhỏ bằng nhau (chứ không chỉ có 4). Nhân đó tác giả phát hiện ra hai bài toán sau:

Hình đã gửi

Bài 1-Một tam giác bất kỳ luôn có thể chia thành $n^2$ , $(n>0, n\in N)$ tam giác bằng nhau cách chia này là duy nhất.

Bài 2-Một tam giác bất kỳ không thể chia thành a tam giác bằng nhau nếu a không phải số chính phương. (Trường hợp đặc biệt nhất là: Một tam giác bất kỳ không thể chia thành hai tam giác bằng nhau, thành ba tam giác bằng nhau, thành năm tam giác bằng nhau)

Nhận xét: Đây là bài toán liên quan giữa hình học và số học mời các bạn chứng minh

Hình đã gửi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 19-07-2012 - 16:36


#8 daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đã gửi 19-07-2012 - 20:14

Bài toán 3. Ba đường thẳng nối từ đỉnh của Tam giác lớn xuống Trung điểm cạnh của Tam giác nhỏ đồng quy tại trọng tâm Tam giác nhỏ.

Hình đã gửi

Bài 4: Tìm một cách quy ước toạ độ cho tam giác sau đó giải bài toán đưởng thẳng đi qua đỉnh tam giác lớn và tam giac đó sẽ cắt các cạnh đối diện tam giác lớn tại tam giác có toạ đội bao nhiêu? Chứng minh giao điểm đi qua đỉnh thứ nhất xuống đáy càng bất định thì càng xác định ở đỉnh còn lại. (đây là bài toán Liên quan hình học và xác suất - phần nào khiến tác giả Liên tưởng đến định luật bất định Haizenbeg). Thiết lập hệ thức bất định. Mà giới hạn của định lý bất định này khi n tiến tới vô cùng sẽ là định lý melenauyt.


Bài 5. Một đường thẳng đi qua hai tam giác nhỏ. Thiết lập hệ thức bất định cho trường hợp này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 24-07-2012 - 15:00





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh