Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn đang thử nghiệm trang chủ mới (vẫn đang trong quá trình hoàn thiện). BQT sẽ ra thông báo cụ thể trong ít ngày tới.

Hình ảnh

Giải phương trình nghiệm nguyên dương ${x^{{x^{{x^x}}}}} = (19 - {y^x}){y^{{x^y}}} - 74$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2852 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-08-2012 - 10:11

$\fbox{Problem}$ Giải phương trình nghiệm nguyên dương \[\LARGE{{x^{{x^{{x^x}}}}} = (19 - {y^x}){y^{{x^y}}} - 74}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-08-2012 - 12:24

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫

#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 01-08-2012 - 12:44

$\fbox{Problem}$ Giải phương trình nghiệm nguyên dương \[\LARGE{{x^{{x^{{x^x}}}}} = (19 - {y^x}){y^{{x^y}}} - 74}\]

Giải như sau:
Vì $x,y$ nguyên dương suy ra $x^{x^{x^x}}+74>0 \Rightarrow 19-y^x>0 \Rightarrow 19>y^x$
TH1: $x=1 \Rightarrow 75=(19-y)y$ đến đây suy ra vô nghiệm
TH2: $x=2$ suy ra $2^{2^{2^2}}+74=(19-y^2)y^{2^y}$
Suy ra $(19-y^2)y^{2^y}$ chẵn nhưng thấy $2^{2^{2^2}}+74 \equiv 2 \pmod{4}$ suy ra $y$ không thể chẵn vì nếu $y$ chẵn thì $y^{2^y}$ chia hết cho $4$ vô lý do đó $19-y^2 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow y^2=1,9$ nên $y=1,3$
Nếu $y=1$ suy ra $VT>VP$ vô lý
Nếu $y=3$ suy ra chọn nên $(x,y)=(2,3)$
TH3: $x=3$
Nhưng $3^{3^{3^3}}+74$ lẻ nên $(19-y^x)y^{x^y}$ lẻ vô lý vì nó luôn chẵn
TH4: $x=4 \Rightarrow 19>y^4 \Rightarrow y\le 2$
Nếu $y=2 \Rightarrow 4^{4^{4^4}}+74=(19-2^4)2^{4^2}$ suy ra vô lý do $VT \equiv 2 \pmod{4}$ còn $VP \equiv 0 \pmod{4}$
TH5: $x\geq 5 \Rightarrow 19>y^x\geq y^5 \Rightarrow y=1$
Suy ra $x^{x^{x^x}}+74=18$ suy ra vô lý
Vậy $\boxed{(x,y)=(2,3)}$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh