Đến nội dung


Hình ảnh

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN YÊN DŨNG - NĂM HỌC 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 C a c t u s

C a c t u s

    Fly

  • Thành viên
  • 339 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-08-2012 - 18:46

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN - HUYỆN YÊN DŨNG


NĂM HỌC 2011-2012


MÔN: TOÁN


Câu 1 (6 điểm)
Cho biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$
1) Rút gọn biểu thức $A$
2) Tìm giá trị của $x$ để $A < 1$
3) Tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $A$ là số nguyên.
Câu 2 (4 điểm)
1) Cho phương trình: $x^2-5x+(2+m)(3-m)=0$(1), với $m$ là tham số.
Tìm các giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn điều kiện: $x_1^2+x_2^2=17-9m$
2) Cho parabol (P) :$y=\frac{1}{4}x^2$ và điểm M $(-1;-2)$. Tìm phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (P) tại một điểm duy nhất.
Câu 3 (3 điểm)
1) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x+y-\sqrt{xy}=3\\\sqrt {x+1}+\sqrt{y+1} = 4\end{array} \right.$
2) Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho hai số $2(p+1)$ và $2(p^2 + 1)$ là hai số chính phương.
Câu 4 (6 điểm)
Cho hai đường tròn $(O ; R)$ và $(O’ ; R’)$ cắt nhau tại $I$ và $J (R’ > R)$. Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở $A$. Gọi $B$ và $C$ là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với $(O’ ; R’); D$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $AB$ với $(O ; R)$ (điểm $I$ và điểm $B$ ở cùng nửa mặt phẳng bờ là $O’A$). Đường thẳng $AI$ cắt $(O’ ; R’)$ tại $M$ (điểm $M$ khác điểm $I$ ).
1) Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $IJ$ với $BD$. Chứng minh $KB^2=KI.KJ$, từ đó suy ra $KB = KD.$
2) $AO’$ cắt $BC$ tại $H$. Chứng minh 4 điểm $I, H, O’, M$ nằm trên một đường tròn.
3) Chứng minh đường thẳng $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle IBD$
Câu 5 (1 điểm)
Cho $a \ge 1342; b \ge 1342$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+ab \ge 2013(a+b)$. Dấu "=" xảy ra khi nào?
--------------------------Hết--------------------------

P.s: Đây là đề thi của huyện mình năm ngoái, dù đã cũ nhưng vẫn post lên :(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 21-08-2012 - 19:36

Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực


#2 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 21-08-2012 - 11:54

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN - HUYỆN YÊN DŨNG


NĂM HỌC 2011-2012


MÔN: TOÁN


Câu 1 (6 điểm)
Cho biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$
1) Rút gọn biểu thức $A$
2) Tìm giá trị của $x$ để $A < 1$
3) Tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $A$ là số nguyên.

Bài 1 :
TXD :$x \neq 4 ,9$ và $x \geq 0$
$A =\frac{2\sqrt{x} -9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}-\frac{x-9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)} +\frac{(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$A =\frac{2\sqrt{x}-x+2x -3\sqrt{x} -2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$A=\frac{x-\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$A=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$
b,$A <1 $
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} <1 $
$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}-3} < 0$
Mà $\frac{4}{\sqrt{x}-3} > 0 $
$\Rightarrow :\text{không có giá trị nào}$
c, Để $A \in Z$
$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}-3} \in Z$
$\Leftrightarrow \sqrt{x} -3 \in Ư(4) ={1,2,4,-1,-2,-4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x} \in {4,5,7,2,1,-1}$
Mà $\sqrt{x} =2 ; -1 :\text{loại}$
Vậy $A \in Z \Leftrightarrow x \in {16,25,49,1}$
-----------------------------------------------------------------
Bài 2 :
Xét $\Delta = 25-4(2+m)(3-m)=1-4m+4m^2 =(2m-1)^2 >0$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $m >\frac{1}{2}$
$x_{1} =\frac{5+2m-1}{2}=2+m$
$x_{2} =\frac{5-2m +1}{2}=3-m$
Để$ x_{1}^2 +x_{2}^2 =17 -9m$
$\Leftrightarrow m^2 +4m +4 +m^2 -6m +9 =17 -9m$
$\leftrightarrow 2m^2 +7m -4=0$
$\leftrightarrow (m+4)(2m-1)=0$
$\Leftrightarrow m =-4 :\text{Kết hợp với DK}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 21-08-2012 - 12:06


#3 minhdat881439

minhdat881439

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-08-2012 - 16:56

Câu 3 (3 điểm)
1) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x+y-\sqrt{xy}=3\\\sqrt {x+1}+\sqrt{y+1} = 4\end{array} \right.$

ĐK: $\left\{\begin{matrix} x\geq -1 & \\ y\geq -1 & \end{matrix}\right.$
HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=3 & \\ x+y+2\sqrt{x+y+xy+1}=2 & \end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a & \\ \sqrt{xy}=b; b\geq 0 & \end{matrix}\right.$
Đến đây .....

Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng


Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF


#4 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 617 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \mathfrak{The} \ \mathfrak{K46} \ \mathfrak{Math} \ \mathfrak{1} \ \mathfrak{CSP}$
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 21-08-2012 - 19:35

Câu 5 (1 điểm)
Cho $a \ge 1342; b \ge 1342$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+ab \ge 2013(a+b)$. Dấu "=" xảy ra khi nào?

BĐT tương đương với:
$a^{2}+b^{2}+ab-2013a-2013b\geqslant 0$
$\Leftrightarrow (\frac{3a^{2}}{4}-2013a+1342^{2})+(\frac{3a^{2}}{4}-2013b+1342^{2})+(\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-\frac{ab}{2})+\frac{3ab}{2}\geqslant 1,5.1342^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4}(a^{2}-2684a+1342^{2})+\frac{3}{4}(a^{2}-2684b+1342^{2})+\frac{1}{4}(a-b)^{2}+\frac{3ab}{2}\geqslant 1,5.1342^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4}(a-1342)^{2}+\frac{3}{4}(b-1342)^{2}+\frac{1}{4}(a-b)^{2}+\frac{3ab}{2}\geqslant 1,5.1342^{2}$
Có $\frac{3ab}{2}\geqslant 1,5.1342^{2}$
Vậy ta có đpcm

Hình đã gửi


#5 chmod

chmod

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 21-08-2012 - 21:07

Câu 3 (3 điểm)

2) Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho hai số $2(p+1)$ và $2(p^2 + 1)$ là hai số chính phương.

--------------------------Hết--------------------------

p=2 không thỏa mãn đề bài nên $p>2$
Nhận xét do đây đều là các SCP chẵn nên ta đặt $2(p+1)=4a^2$ , $2(p^2+1)=4b^2$
trừ 2 vế ta được $p(p-1)=2(b+a)(b-a)$ do đó p là ước của $(b+a)(b-a)$ , cũng do p nguyên tố nên có ít nhất 1 trong 2 số $b+a , b-a$ chia hết cho p
giả sử $b-a$ chia hết cho p thì $p\leq b-a$ do đó $p-1\geq 2(b+a) $ điều này là vô lý nên $b-a$ không chia hết cho p
vậy $a+b \vdots p$ nên $p \leq b+a$
TH1 : nếu $p < b+a \Rightarrow p\leq \frac{b+a}{2}$ ta viết lại biểu thức dưới dạng $p(p-1)=\frac{b+a}{2}.4(b-a)$
$\Rightarrow p-1\geq 4(b-a)$ $\Rightarrow \frac{b+a}{2}\geq 4(b-a)$ $\Rightarrow a\geq \frac{7}{9}b$

do đó $p\leq \frac{b+a}{2}\leq \frac{8}{7}a$ thay vào phương trình đầu $2(p+1)=4a^2$
ta được $4a^2 \leq \frac{23}{7}a$ vô lý
vậy $p=b+a$ khi đó $p-1=2(b-a)$ suy ra $\Rightarrow p=4a-1$ thay vào phương trình $2(p+1)=4a^2$ ta tìm được $a=2$
suy ra p=7 là gia tri duy nhất cần tìm

chiu khog the sua latex duoc ! mod sua giup toi voi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chmod: 21-08-2012 - 21:27





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh