Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên ($n$, $x$, $y$) sao cho ($m$, $n$)=1 và $(x^2+y^2)^m=(xy)^n$.

cần gấp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 286 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 17-09-2012 - 16:33

Cho $m$ nguyên dương, tìm tất cả các bộ ba số nguyên ($n$, $x$, $y$) sao cho ($m$, $n$)=1 và $(x^2+y^2)^m=(xy)^n$.

----

Chú ý tiêu đề em nhé!
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1255 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 17-09-2012 - 20:18

Cho $m$ nguyên dương, tìm tất cả các bộ ba số nguyên ($n$, $x$, $y$) sao cho ($m$, $n$)=1 và $(x^2+y^2)^m=(xy)^n$.

Giải như sau:
Ta nhận thấy $(x^2+y^2)^m\geq 0$ suy ra $(xy)^n \geq 0$ khi ấy ta có thể giả sử luôn được rằng $x,y\geq 0$ (kể cả $n$ chẵn)
Nếu trong $x,y$ có một số bằng $0$ thì số còn lại bằng $0$
Nếu $x,y$ khác $0$ suy ra $x,y>0$
$gcd(x,y)=d \Rightarrow x=da,y=db,gcd(a,b)=1$
Suy ra $d^m(a^2+b^2)^m=d^n(ab)^n$
TH1: $m>n$ (do $m \neq n$ vì $gcd(m,n)=1$)
Suy ra $d^{m-n}(a^2+b^2)^m=(ab)^n$
Ta có $gcd(a^2+b^2,a)=gcd(a^2+b^2,b)=1 \Rightarrow gcd(a^2+b^2,ab)=1$
Mà ta lại có $(ab)^n \vdots (a^2+b^2)^m \Rightarrow a^2+b^2=1 \Rightarrow False!$ vì $a,b>0$
TH2: $m<n$ suy ra $(a^2+b^2)^m=d^{n-m}.(ab)^n$
Thấy $gcd(a^2+b^2,ab)=1$ mà $(a^2+b^2)^m \vdots (ab)^n \Rightarrow ab=1 \Rightarrow a=b=1$
Suy ra $(a^2+b^2)^m=d^{m-n} \Rightarrow 2^m=d^{m-n}$
Do đó $d=2^x$ với $x\geq 1$ suy ra $2^m=2^{x(m-n)} \Rightarrow m=x(m-n) \Rightarrow m=xm-xn \Rightarrow xn=(x-1)m$ mà $gcd(x,x-1)=1$ do đó $m=xk,n=(x-1)k$
Từ đấy suy ra $x,y,n,m$ và do giả sử $x,y \geq 0$ nên ta sẽ có thêm nghiệm âm từ nghiệm không âm đã tìm được (chú ý rằng $x,y$ khác tính âm dương thì $n$ chẵn, và khi đó ta được hai nghiệm :) )

#3 reddevil1998

reddevil1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatoric

Đã gửi 03-10-2012 - 13:53

Korea MO 1995





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh