Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn đang thử nghiệm trang chủ mới (vẫn đang trong quá trình hoàn thiện). BQT sẽ ra thông báo cụ thể trong ít ngày tới.

Hình ảnh

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên ($n$, $x$, $y$) sao cho ($m$, $n$)=1 và $(x^2+y^2)^m=(xy)^n$.

cần gấp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị

Đã gửi 17-09-2012 - 16:33

Cho $m$ nguyên dương, tìm tất cả các bộ ba số nguyên ($n$, $x$, $y$) sao cho ($m$, $n$)=1 và $(x^2+y^2)^m=(xy)^n$.

----

Chú ý tiêu đề em nhé!
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 17-09-2012 - 20:18

Cho $m$ nguyên dương, tìm tất cả các bộ ba số nguyên ($n$, $x$, $y$) sao cho ($m$, $n$)=1 và $(x^2+y^2)^m=(xy)^n$.

Giải như sau:
Ta nhận thấy $(x^2+y^2)^m\geq 0$ suy ra $(xy)^n \geq 0$ khi ấy ta có thể giả sử luôn được rằng $x,y\geq 0$ (kể cả $n$ chẵn)
Nếu trong $x,y$ có một số bằng $0$ thì số còn lại bằng $0$
Nếu $x,y$ khác $0$ suy ra $x,y>0$
$gcd(x,y)=d \Rightarrow x=da,y=db,gcd(a,b)=1$
Suy ra $d^m(a^2+b^2)^m=d^n(ab)^n$
TH1: $m>n$ (do $m \neq n$ vì $gcd(m,n)=1$)
Suy ra $d^{m-n}(a^2+b^2)^m=(ab)^n$
Ta có $gcd(a^2+b^2,a)=gcd(a^2+b^2,b)=1 \Rightarrow gcd(a^2+b^2,ab)=1$
Mà ta lại có $(ab)^n \vdots (a^2+b^2)^m \Rightarrow a^2+b^2=1 \Rightarrow False!$ vì $a,b>0$
TH2: $m<n$ suy ra $(a^2+b^2)^m=d^{n-m}.(ab)^n$
Thấy $gcd(a^2+b^2,ab)=1$ mà $(a^2+b^2)^m \vdots (ab)^n \Rightarrow ab=1 \Rightarrow a=b=1$
Suy ra $(a^2+b^2)^m=d^{m-n} \Rightarrow 2^m=d^{m-n}$
Do đó $d=2^x$ với $x\geq 1$ suy ra $2^m=2^{x(m-n)} \Rightarrow m=x(m-n) \Rightarrow m=xm-xn \Rightarrow xn=(x-1)m$ mà $gcd(x,x-1)=1$ do đó $m=xk,n=(x-1)k$
Từ đấy suy ra $x,y,n,m$ và do giả sử $x,y \geq 0$ nên ta sẽ có thêm nghiệm âm từ nghiệm không âm đã tìm được (chú ý rằng $x,y$ khác tính âm dương thì $n$ chẵn, và khi đó ta được hai nghiệm :) )

#3 reddevil1998

reddevil1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatoric

Đã gửi 03-10-2012 - 13:53

Korea MO 1995





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh