Đến nội dung


Hình ảnh

Phần khó hiểu của 2 bài toán về BĐT Chebyshev


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 aries34

aries34

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-09-2012 - 02:02

Bài 1: Với a, b, c là các số thực không âm cho trước. Chứng minh:
$\frac{a^{2}-bc}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\geq 0$

Em làm thế này:
Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ số$(a^{2}-bc , b^{2}-ca , c^{2}-ab)$ và $(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}},\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}},\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})$
ta có:
$VT \geq \frac{1}{3}(a^{2}-bc + b^{2}-ca + c^{2}-ab)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})\geq 0$$\geq \frac{1}{3}(a^{2}-bc + b^{2}-ca + c^{2}-ab)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})\geq 0$ (đúng)

Nhưng mà: xét 2 bộ số ta dùng bđt, với $a\geq b\geq c$
thì:
$a^{2}-bc \geq b^{2}-ca \geq c^{2}-ab$
$\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}\leq \frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}\leq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}$
Chúng đơn điệu ngược chiều trên R. Vậy thì BĐT phải đổi chiều
$VT\leq \frac{1}{3}(a^{2}-bc + b^{2}-ca + c^{2}-ab)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})\geq 0$
như vậy ngược dấu mất rồi.

Bài 2: Chứng minh với mọi a, b, c không âm.
$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

Hướng dẫn làm như sau:
$3a-\sqrt{a^{2}+8bc}=\frac{8(a^{2}-bc)}{3a+\sqrt{a^{2}+8bc}}=\frac{8(a^{2}-bc)(b+c)}{(3a+\sqrt{a^{2}+8bc})(b+c)}$
Suy ra:$VT\geq \frac{8}{3}((a^{2}-bc)(b+c)+(b^{2}-ac)(c+a)+(c^{2}-ba)(a+b))(\frac{1}{(3a+\sqrt{a^{2}+8bc})(b+c)}+\frac{1}{(3b+\sqrt{b^{2}+8ca})(c+a)}+\frac{1}{(3c+\sqrt{c^{2}+8ab})(a+b)})=0$

Vậy nên xét tính đơn điệu như thế nào ????

P.S:
Đấy là 2 bài BĐT trong Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng phần Kĩ thuật phân tách Chebyshev.
mong các anh chị giúp đỡ cho em thêm về phần BĐT Chebyshev này. Công thức ko khó để áp dụng như khi xét mấy bộ số này em thấy rất rắc rối.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aries34: 18-09-2012 - 02:10

Hình đã gửi

Tôi chờ đợi giây phút chiến thắng,
Chiến thắng được bản thân và chinh phục ước mơ của chính mình.


#2 Toc Ngan

Toc Ngan

    Cristiano Ronaldo

  • Điều hành viên Đại học
  • 2350 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐH KTQD
  • Sở thích:Toán và bóng đá

Đã gửi 18-09-2012 - 09:21

Bài 1 nhé: Theo cách làm của bạn thì $\left ( a^{2}-bc,b^{2}-ac,c^{2}-ab \right )$ và $(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}},\frac{1}{a^{2}+c^{2}+2b^{2}},\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}} )$ sẽ là 2 bộ ngược chiều khi g/s: $a\geq b\geq c$ hay $a\leq b\leq c$ nên không thể áp dụng Chybyshev cho phần đầu đc,theo cách của anh Hùng thì nhân $\frac{a^{2}-bc}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}$ với b+c mà?
----------------------------
Chú ý $\LaTeX$ nhé bạn :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-09-2012 - 11:12


#3 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 623 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 18-09-2012 - 10:47

Bài 2: Chứng minh với mọi a, b, c không âm.
$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$



Vậy nên xét tính đơn điệu như thế nào ????




Bạn thấy \[
(a^2 - bc)(b + c),(b^2 - ac)(a + c),(c^2 - ab)(a + b)
\]
là dãy đơn điệu tăng và \[
\frac{1}{{(3a + \sqrt {a^2 + 8bc} )(b + c)}},\frac{1}{{(3b + \sqrt {b^2 + 8ac} )(a + c)}},\frac{1}{{(3c + \sqrt {c^2 + 8ba} )(b + a)}}
\]
cũng vậy khi giả sử \[
a \ge b \ge c
\]
. Để chứng minh thì bạn chỉ cần trừ 2 cái lần luợt cho nhau thôi

Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#4 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 623 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 18-09-2012 - 10:59

Bài 1: Với a, b, c là các số thực không âm cho trước. Chứng minh:
$\frac{a^{2}-bc}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\geq 0$


Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ số$(a^{2}-bc , b^{2}-ca , c^{2}-ab)$ và $(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}},\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}},\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})$






2 bộ số trên khi ta giả sử \[
a \ge b \ge c
\]
hay \[
c \ge b \ge a
\]
đều là 2 bộ ngược chiều nên BDT sẽ đổi chiều, việc chứng minh thì rất đơn giản.
Với 2 bộ ngược chiều thì BDT sẽ đổi chiều. Bạn nên xem kĩ lại lời giải và phần BDT chebyshev ở đầu mục. Khi áp dụng Chebyshev chú ik đến tính đơn điệu 2 bố nhé.

Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh