Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

1.4 - Sự tương giao của các đồ thị

chuyên đề ôn thi đh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 23 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 08-09-2012 - 19:26

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ


I – Lý thuyết:
1) Sự tương giao của hai đồ thị:
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là nghiệm của phương trình:


$$f(x) = g(x), \ \ \ (*)$$

Từ đó suy ra số giao điểm của hai đồ thị đã cho bằng số nghiệm của phương trình $(*)$.
2) Đường thẳng với hệ số góc:
Hệ số góc của đường thẳng là tang của góc tạo bởi phần đường thẳng phía trên $Ox$ và chiều dương trục $Ox$
Đường thẳng $y=ax+b$ có hệ số góc là $a$.
Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục $Ox$ thì có hệ số góc bằng 0.
Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục $Oy$ thì không có hệ số góc.
Đường thẳng đi qua $M(x_0 ;y_0)$ và có hệ số góc $k$ thì có phương trình $y = k(x – x_0) + y_0$.
Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc.
Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1.
3) Định lý Bézout và lược đồ Horner:
Đa thức bậc $n$ là biểu thức có dạng $f(x) = a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + ... + a_1x + a_0.$
Số $x_0$ được gọi là nghiệm của đa thức $f(x)$ nếu $f(x_0) = 0.$
Định lý Bézout:
Nếu $x_0$ là một nghiệm của $f(x)$ thì tồn tại đa thức $g(x)$ sao cho:

$$f(x) = (x – x_0).g(x)$$

Lược đồ Horner dùng để chia đa thức $f(x)$ cho đa thức $x-\alpha$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{} & a_n & a_{n-1} & … & a_1 & a_0 \\
\hline
\alpha & b_n=a_n & b_{n – 1} = a_n \alpha + a_{n – 1} & … & b_1 & b_0\\
\hline
\end{array}$$
Khi đó:


$$f(x) = (x – \alpha)(a_nx^{n – 1} + ... + b_1) + b_0.$$

Đặc biệt, khi $\alpha$ là nghiệm của $f(x)$ thì $b_0=0$

4) Tam thức bậc hai: $f(x) = ax^2 + bx + c (a \neq 0).$
a) Định lí Viète:
Nếu $f(x)$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{­2}$ thì
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}; x_1.x_2 = \frac{c}{a}$$.
b) Nhận xét:
* $f(x)$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac < 0$
* $f(x)$ có hai nghiệm dương khi và chỉ khi
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\ \frac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$
* $f(x)$ có hai nghiệm âm khi và chỉ khi:
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ - \frac{b}{a} < 0\\ \frac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$
* $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt cùng lớn hơn $\alpha$ khi và chỉ khi:
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ x_1+x_2 > 2\alpha\\ (x_1-\alpha)(x_2-\alpha) > 0 \end{array} \right.$$
* $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn $\alpha$ khi và chỉ khi:
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ x_1+x_2 < 2\alpha\\ (x_1-\alpha)(x_2-\alpha) > 0 \end{array} \right.$$
* $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt, $x_1 < \alpha <x_2$ khi và chỉ khi:
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ (x_1-\alpha)(x_2-\alpha) < 0 \end{array} \right.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:23

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 08-09-2012 - 19:46

II – Các dạng toán thường gặp
1. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định
Trong đề thi ĐH một số năm gần đây, thường có câu phụ của bài toán khảo sát, yêu cầu tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định. Đối với các bài toán ấy, cách làm chung là ta xét phương trình $(*)$, biến đổi nó về dạng bậc hai và sử dụng định lý Viète. Ta hãy bắt đầu với 1 ví dụ đơn giản

Ví dụ 1.1. Xác định $m$ để đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số $y = (x – 1)(x^2 + mx + m)$ cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt.
Giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình :
$$(x – 1)(x^2 + mx + m) = 0$$
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + mx + m = 0 \ \ \ \ (1.1)\end{array} \right.\].
Đồ thị $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1.1)$ có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với:


$$\left\{ \begin{array}{l}1 + m + m \neq 0\\m^2 - 4m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \neq - \frac{1}{2}\\ \left [ \begin{array}{l} m < 0 \\ m > 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}
-\frac{1}{2} \neq m < 0 \\ m > 4\end{array} \right.$$

Ví dụ 1.2. Cho hàm số $y = 2x^3 – 3x^2 – 1$ có đồ thị $\left ( C \right )$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A(0;-1)$ và có hệ số góc bằng $k$. Tìm $k$ để $d$ cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt.
Giải
b) Đường thẳng $d$ có phương trình: $y = kx – 1$.
Hoành độ giao điểm của $\left ( C \right )$ và $d$ là nghiệm của phương trình:
$$2x^3 – 3x^2 – 1 = kx – 1$$
$$\Leftrightarrow x(2x^2 – 3x – k) = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} - 3x - k = 0 \ \ \ \ (1.2) \end{array} \right.$$
$\left ( C \right )$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1.2)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}k \neq 0\\9 + 8k > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow -\frac{9}{8} < k \neq 0$$.

Ví dụ 1.3. Cho hàm số $y = x^3 – (2m + 3)x^2 + (2m^2 – m + 9)x – 2m^2 + 3m – 7$ ($m$ là tham số) có đồ thị là $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn 1.

Phân tích:
Ngoài việc tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm, ta còn cần tìm điều kiện để ba nghiệm không vượt quá 1. Dễ thấy, $x=1$ là một nghiệm của phương trình đó. Để hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng lớn hơn 1 thì $x_1+x_2>2$ và $(x_1-1).(x_2-1)>0$

Giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị $(C_m)$ và trục hoành là nghiệm của phương trình:
$$x^3 – (2m + 3)x^2 + (2m^2 – m + 9)x – 2m^2 + 3m – 7 = 0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)\left [ x^2-2(m+1)x+ 2m^2-3m+7 \right ]=0$$
$$\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=1\\ x^2-2(m+1)x+ 2m^2-3m+7=0, \ \ \ \ (1.3)\end{matrix}\right.$$
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình $(1.3)$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Điều này tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix}\Delta '&>0\\x_1+x_2&>2 \\(x_1-1).(x_2-1) &>0\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-m^2+5m-6&>0\\2(m+1)&>2 \\ 2m^2-5m+6&>0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2<m<3\\m>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2<m<3$$

Ví dụ 1.4. Cho hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x$ có đồ thị là $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Phân tích:
Dễ thấy phương trình hoành độ giao điểm chắc chắn có nghiệm là $x=0$. Do đó có 2 trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:
TH1: Ba hoành độ giao điểm lần lượt là $-a;0;a,(a>0)$. Trong trường hợp này hai nghiệm khác $0$ của phương trình đối nhau. Tức là tổng của chúng bằng $0$
TH2: Ba hoành độ giao điểm lần lượt là $0;a;2a,(a>0)$ hoặc $-2a,-a,0, (a>0)$. Trong trường hợp này hai nghiệm khác $0$ của phương trình có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.

Giải
Hoành độ giao điểm của $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình:
$$x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3mx + 3(2m - 1) = 0 \ \ \ \ (1.4) \end{array} \right.$$.
Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:
TH1 : phương trình $(1.4)$ có hai nghiệm khác 0 và hai nghiệm đó đối nhau. Điều này tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}3m = 0\\2m - 1 \neq 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0$$
TH2: phương trình $(1.4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_­2$ khác 0 và $x_1 = 2x_2.$ Điều này tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \neq 0\\{x_1} + {x_2} = 3{x_2}\end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \neq 0\\3m = 3{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \ne 0\\ - 2{m^2} + 6m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$$.
KL: $m = 0$ hoặc $m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$.


Ví dụ 1.5. Cho $K(1;3), \left ( C \right )$ là đồ thị của hàm số $y = x^3 + 2mx^2 + (m + 3)x + 4$ và đường thẳng $d: y = x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt $A(0;4), B, C$ sao cho $\Delta KBC$ có diện tích bằng $8\sqrt 2 $.

Phân tích:
Ta biết rằng $S_{\Delta KBC} = \frac{1}{2}.BC.d_{K,BC}$. Mà $d_{K,BC}$ dễ dàng tính được. Từ đó ta tính được độ dài $BC$. Độ dài này hoàn toàn phụ thuộc vào hoành độ của $B,C$ (cũng chính là 2 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm). Ta dễ dàng liên hệ với định lý Viète.

Giải
Hoành độ giao điểm của $d$ và $\left ( C \right )$ là nghiệm của phương trình:
$$x^3 + 2mx^2 + (m + 3)x + 4 = x + 4$$
$$ \Leftrightarrow x(x^2 + 2mx + m + 2) = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}
x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0 \ \ \ \ (1.5)\end{array} \right.$$
Điều kiện cần và đủ để $\left ( C \right )$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt là phương trình $(1.5)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:
$$\left \{ \begin{array}{l}m + 2 \neq 0\\m^2 - m - 2 > 0\end{array} \right. (1.5')$$
Với điều kiện $(1.5')$, ta có hai giao điểm $B(x_B; x_B + 4)$ và $C(x_C; x_C + 4)$. Gọi $KH$ là đường cao của tam giác $KBC$. Khi đó:
$$KH = d_{(K, BC)} = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \sqrt{2}$$
Từ đó, ta có:
$$BC = \frac{2S_{\Delta KBC}}{KH} = 16$$
$$BC = 16 \Leftrightarrow \sqrt2 |x_B – x_C | = 16 \Leftrightarrow (x_B – x_C)^2 = 128 \Leftrightarrow m^2 – m – 34 \Leftrightarrow m = \frac{1 \pm \sqrt {137}}{2}$$.
KL: nghiệm của bài toán là: $m = \frac{{1 \pm \sqrt {137}}}{2}$

Ví dụ 1.6. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0$ cắt $Ox$ tại $3$ điểm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ điểm có hoành độ âm.

Phân tích:
Trực tiếp tìm điều kiện để 1 phương trình có 3 nghiệm phân biệt, có ít nhất 1 nghiệm âm e là hơi khó. Ta sẽ tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm không âm. Khi đó, yêu cầu của bài toán chính là phần bù của điều kiện vừa tìm.
Do hệ số của $x^3$ dương nên ta có 2 trường hợp sau:
baiI3h1.png
Trong cả hai trường hợp trên, $y(0) \leq 0$ và $y_{CD}, y_{CT}$ trái dấu, thêm nữa, các điểm cực đại, cực tiểu đều dương. Như vậy ta đã tạm hình dung ra điều kiện cần giải quyết.

Giải
Yêu cầu của bài toán tương đương với Tìm $m$ phương trình
$$x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0 \ \ \ \ (1.6)$$
có $3$ nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ nghiệm âm.

Ta có:
$$y'=3x^2-6(m+1)x+3m; y = \frac{1}{3}y'(x-m-1)-2(m^2+m+1)x+m^2+1$$
$y'$ là tam thức bậc hai có:
$$\Delta = 9(m^2+m+1)>0$$
Vậy phương trình $y'=0$ luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$

Điều kiện cần và đủ để phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm phân biệt là
$$y(x_1).y(x_2) < 0 \Leftrightarrow (m+1)(m^3-m^2-m-3) > 0 \ \ \ (1.6a)$$
Với điều kiện $(1.6a)$, phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm không âm khi và chỉ khi:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y(0) \leq 0}\\{{x_1}.{x_2} > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- m + 1 \leq 0\\m > 0\\2\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \geq 1\\m > 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \geq 1\]
Vậy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:
$$\left\{\begin{matrix} m &< 1\\ (1.6a) \end{matrix}\right. \ \ \ (1.6b)$$
Xét hàm số $g(m) = m^3-m^2-m-3$, bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số:
$$\begin{array}{|c|ccccccccc|}
\hline
m & -\infty & \; & - \dfrac{1}{3} & \; & \; & 1 &\; &\; +\infty\\
\hline
g'\left( m \right) & \; & + & 0 & - & \; & 0 \; & + &\; \\
\hline
& \;& \; & \; - \frac{{76}}{{27}} & \; & \; & \; & \; & \; +\infty \\
g\left( m \right) & \; & \nearrow& \; & \searrow & \; & \; & \nearrow & \; \\
& -\infty\; & \; & \; & \; & \; & -4 & \; \\
\hline
\end{array}$$
ta có:
$$g(m) < 0, \forall m \leq 1$$
Từ đó, ta có
$$(1.6b) \Leftrightarrow -1 < m < 1$$

Ví dụ 1.7. Cho đường thẳng $(d):y=x+m$ và đồ thị $(G):y=\frac{2x+1}{x-1}$
a) CMR: Với mọi $m$,$(d)$ luôn cắt $(G)$ tại 2 điểm phân biệt $E,F$.Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn $EF$ khi $m$ thay đổi
b) Xác định $m$ để đoạn $EF$ ngắn nhất

Phân tích:
a) Ta chỉ cần chứng minh phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt là xong
b) Ta sẽ biểu diễn độ dài $EF$ qua $m$. Muốn vậy, cần dùng định lý Vi-et

Giải
a) Hoành độ giao điểm (nếu có) của $(G)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình:
$$\dfrac{2x+1}{x-1} = x+m,\,\,\,\, (1.7a)$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq 1\\x^2+(m-3)x-m-1=0,\,\,\, (1.7b)\end{matrix}\right.$$
Ta có:
$$\Delta = m^2-2m+10>0$$
Nên phương trình $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt. Dễ thấy $x=1$ không phải là nghiệm của $(1.7b)$. Từ đó, phương trình $(1.7a)$ có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $(G)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt:
$$E\left ( e;e+m \right ),F\left ( f;f+m \right )$$
trong đó $e,f$ là các nghiệm của $(1.7b)$. Ta có:
$$e+f=-m+3$$
Trung điểm của $EF$ là: $H\left ( \frac{e+f}{2}; \frac{e+f}{2}+m \right )$ hay: $H\left ( \frac{3-m}{2}; \frac{m+3}{2}\right )$. Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng: $y=3-x$

b) Ta có:
$$EF=\sqrt{2(e-f)^2}=\sqrt{2(e+f)^2-8ef} = \sqrt{2(3-m)^2+8(m+1)}=\sqrt{2(m^2-2m+13}$$
Vậy
$$minEF=\sqrt{24} \Leftrightarrow m = 1$$

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 08-09-2012 - 21:56

Bài tập tự luyện
1.1) D-2006. Tương ví dụ 2 với $y = x^3 – 3x + 2$ và $A(3;20)$. (ĐA: $k \neq 24$ và $k > \frac{15}{4}$).

1.2) Xác định $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – mx^2 + m – 1$ cắt trục $Ox$ tại 4 điểm phân biệt. (ĐA: $m \neq 2, m>1$)

1.3) D-2003. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ và đường thẳng $d: y=mx+2-2m$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. (ĐA: $m > 1$).

1.4) A-2003. Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} + x + m}}{{x - 1}}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. (ĐA: $-\frac{1}{2}<m<0$).

1.5) A-2004. Cho hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 3}}{{2(x - 1)}}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để đường thẳng y = $m$ cắt $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $AB = 1$. (ĐA: $m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$).

1.6) D-2008. Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 4$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số trên.
b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua $I(1;2)$ có hệ số góc $k > -3$ đều cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt $A, B, I$ và $I$ là trung điểm $AB$.

1.7) D-2009. Cho hàm số $y = x^4 – (3m + 2)x^2 + 3m$ có đồ thị là $(C_m)$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi $m = 0$.
b) Tìm $m$ để đường thẳng $y = -1$ cắt $(C_m)$tại 4 điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 2.
(ĐA:$m \neq 0,-\frac{1}{3}<m<1$).

1.8) Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + mx - 1}}{{x - 1}}$ có đồ thị là $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để đường thẳng y = $m$ cắt $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $OA \perp OB$. (ĐA: $m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$).

1.9) Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}$ và hai đường thẳng $d_1: y = - x + m, d_2: y = x + 3$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt $d_1$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ đối xứng với nhau qua $d_2$. (ĐA: $m$ = 9).

1.10) Cho hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Chứng minh rằng đường thẳng $y = 3x + m$ luôn cắt $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Tìm $m$ để $I$ thuộc đường thẳng $y=2x+3$. (ĐA: $m = 4$)

1.11) Tìm tất cả các đường thẳng đi qua $A(4;4)$ và cắt đồ thị hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x$ tại 3 điểm phân biệt. (ĐA: $y = kx – 4k + 4, 9 \neq k > 0$).

1.12) Tìm $a$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3ax^2 + 4a^3$ cắt đường thẳng $y = x$ tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau. (ĐA: $a = 0, a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$).

1.13) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, đường thẳng $y = 2x + m$ luôn cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $M, N$. Tìm $m$ để $MN$ bé nhất. (ĐA: $m = 3$).

1.14) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – (2m + 1)x^2 + 2m$ cắt trục $Ox$ tại bốn điểm phân biệt cách đều nhau. (ĐA: $m = \frac{9}{2}$ hoặc $m = \frac{1}{18}$)

1.15) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt: $y = x^3 – 3m^2x + 2m$.
(ĐA: $m = \pm 1$).

1.16) Cho hàm số $y = x^4 + 2(2a + 1)x^2 – 3a$ có đồ thị là $\left ( C \right )$. Tìm $a$ để $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau. (ĐA: $a = -3$).

1.17) Cho hàm số $y=x^4-3x^2-2 $ có đồ thị là $\left( C \right)$. Tìm các giá trị của $m>0$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $2$ điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$.

1.18) Hàm số $y = x^4 – 4x^2 + m$ $\left ( C \right )$.
Giả sử $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Xác định $m$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left ( C \right )$ và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau.

1.19) B-2010. Cho hàm số $y =\frac{{2x + 1}}{{x + 1}},\left ( C \right )$. Tìm $m$ để đường thẳng $y = -2x+m$ cắt đồ thị $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\sqrt 3$ ($O$ là gốc tọa độ).

1.20) A – 2010. Cho hàm số $y = x^3 – 2x^2 + (1 – m)x + m$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số
b) Tìm $m$ để đồ thị $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2, x_3$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < 4$.

1.21) Cho hàm số $y=x^{4}+2mx^{2}-m+1$,có đồ thị $\left ( C \right )$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sao cho $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}\leq 20$

1.22) Cho hàm số: $y=\frac{x+2}{2x+1}$. Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $d_{m}$: $y=mx+m-1$ cắt đồ thị tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị.

1.23) cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-3mx+3m$,có đồ thị $\left( C \right)$.Tìm $m$ để $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $d:y=-3x-1$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ sao cho $x_1<1<x_2<2<x_3$

1.24) Cho đường cong $\left( C \right): y= \frac{2x + 1}{x+1}$ . Tìm $m$ để đường thẳng $(d): y= -2x +m$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ sao cho diện tích tam giác $AOB$ nhỏ nhất.

1.25) D-2011.Cho hàm số $\frac{2x+1}{x+1}$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Tìm $k$ để đường thẳng $y=kx+2k+1$ cắt đồ thị $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho khoảng cách từ $A$ và $B$ đến trục hoành bằng nhau.

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#4 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-09-2012 - 09:26

2. Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình:
Dạng toán này ít gặp trọng đề thi ĐH, vì nó tương đối dễ. Dưới đây là một vài ví dụ.

Ví dụ 2.1. Cho hàm số $y=x^3-3x$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $x^3-x=m^3-3m \ \ \ \ (2.1)$.
Giải
a)Đồ thị:
vd2-1.png

Số nghiệm của phương trình $(2.1)$ bằng số giao điểm của đồ thị $\left ( C \right )$ và đường thẳng $y=m^3-m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1: $\left [ \begin{matrix}m^3-m2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}m < -2\\m > 2 \end{matrix}\right.$ Khi đó phương trình $(2.1)$ có đúng 1 nghiệm duy nhất.

*TH2: $\left [ \begin{matrix}m^3-3m=-2\\m^3-3m=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}m=\pm 2\\m = \pm 1 \end{matrix}\right.$. Khi đó phương trình $(2.1)$ có 2 nghiệm phân biệt

*TH3: $-2<m^3-m<2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2<m<2\\m\neq \pm 1\end{matrix}\right.$. Khi đó phương trình $(2.1)$ có đúng 3 nghiệm phân biệt

 

Ví dụ 2.2. Cho hàm số $y=x^3+3x^2-4$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $\left |x^3+3x^2-4 \right |=m \ \ \ \ (2.2)$.
Giải
a) Đồ thị:
vd2-2.png
b) Đặt $f(x)=x^3+3x^2-4$. Ta có:
$$g(x)=\left |x^3+3x^2-4 \right | = \left | f(x) \right | = \left\{\begin{matrix} f(x)&\textrm{khi } f(x) \geq 0\\ -f(x)&\textrm{khi } f(x) < 0\end{matrix}\right.$$
Như vậy, muốn vẽ đồ thị hàm số $y=g(x)$, ta làm như sau:
- Giữ nguyên phần phía trên trục $Ox$ của đồ thị $\left ( C \right )$,
- Lấy đối xứng phần phía dưới $Ox$ của $\left ( C \right )$ qua $Ox$
- Xóa phần phần phía dưới $Ox$ của $\left ( C \right )$.
Ta có đồ thị hàm số $y=g(x)$ là đường màu xanh trong hình sau:
vd2-2b.png
Số nghiệm của phương trình $(2.2)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=g(x)$ và đường thẳng $y=m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1:Nếu $m<0$ thì phương trình $(2.2)$ vô nghiệm
*TH2: Nếu $m=0$ hoặc $m>4$ thì phương trình $(2.2)$ có đúng 2 nghiệm phân biệt
*TH3: Nếu $0<m<4$ thì phương trình $(2.2)$ có đúng 4 nghiệm phân biệt
*TH4: Nếu $m=4$ thì phương trình $(2.2)$ có đúng 3 nghiệm.

Câu hỏi: Để vẽ đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ khi biết đồ thị $y=f(x)$, ta làm thế nào?

Ví dụ 2.3. Cho hàm số $y=-x^3+ 3x^2-4x+2$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $-|x|^3+ 3x^2-4|x|+2 = m \ \ \ \ (2.3)$.
Giải
a) Đồ thị
vd2-3.png
b) Đặt $g(x)=-|x|^3+ 3x^2-4|x|+2$. Dễ thấy hàm số $y=g(x)$ là hàm số chẵn. Mặt khác, $g(x) = f(x), \textrm{khi } x \geq 0$. Do đó để có đồ thị hàm số $y=g(x)$, ta làm như sau:
- Xóa bỏ phần bên trái trục $Oy$ của $\left ( C \right )$, giữ nguyên phần bên phải
- Lấy đối xứng phần bên phải của $\left ( C \right )$ qua $Oy$.
Ta có đồ thị hàm số $y=g(x)$ màu đỏ trong hình sau:
vd2-3b.png
Số nghiệm của phương trình $(2.3)$ bằng số giao điểm của đô thị $y=g(x)$ và đường thẳng $y=m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1: Nếu $m>2$ thì phương trình $(2.3)$ vô nghiệm
* TH2: Nếu $m=2$ thì phương trình $(2.3)$ có nghiệm duy nhất $x=0$
* TH3: Nếu $m<2$ thì phương trình $(2.3)$ có 2 nghiệm phân biệt

Câu hỏi: Để vẽ đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ khi biết đồ thị $y=f(x)$, ta làm thế nào?

Ví dụ 2.4. Cho hàm số $y=-x^3+3x^2+4$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy vẽ đô thị $\left ( C' \right )$ của hàm số $|y|=-x^3+3x^2+4$.
Giải
a) Đồ thị:
vd2-4.png
b) Ta có:
\[y = f(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) \geq 0\\ \left[ \begin{array}{l} y = f(x)&\textrm{khi } y \geq 0\\y = - f(x)&\textrm{khi } y < 0\end{array} \right. \end{array} \right.\]
Vậy để vẽ đồ th ị$\left ( C' \right )$, ta làm như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị $\left ( C \right )$ nằm phía trên trục hoành
- Bỏ phần đồ thị $\left ( C \right )$ dưới trục hoành
- Lấy đối xứng phần phía trên $Ox$ qua $Ox$
Đồ thị $\left ( C' \right )$ là đường cong màu đỏ trên hình vẽ
vd2-4b.png

Câu hỏi: Để vẽ đồ thị hàm số $|y|=f(x)$ khi biết đồ thị $y=f(x)$, ta làm thế nào?

Ví dụ 2.5. Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $\frac{|x-2|}{x+1} =m \ \ \ \ (2.5)$.
Giải
a) Đồ thị
vd2-5a.png
b) Đặt $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$. Ta có:

$$g(x)=\frac{|x-2|}{x+1}=\left\{\begin{matrix}f(x)& \textrm{khi }x \geq 2\\- f(x)& \textrm{khi }x < 2\\ \end{matrix}\right.$$
Từ đó, để vẽ đồ thị $y=g(x)$, ta làm như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị $\left ( C \right )$ ở bên phải đường thẳng $x=2$
- Lấy đối xứng phần đồ thị $\left ( C \right )$ ở bên trái đường thẳng $x=2$ qua $Ox$
- Xóa bỏ phần đồ thị $\left ( C \right )$ ở bên trái đường thẳng $x=2$
Đồ thị hàm số $y=g(x)$ chính là đường cong màu xanh trong hình vẽ
vd2-5b.png

Số nghiệm của phương trình $(2.5)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=g(x)$ và đường thẳng $y=m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1: Nếu $m < - 1$ hoặc $m\geq 1$ thì phương trình $(2.5)$ có 1 nghiệm.
* TH2: Nếu $-1 \leq m <0$ thì phương trình vô nghiệm
* TH3: Nếu $2 \leq m < 1$ thì phương trình có 2 nghiệm


1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#5 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-09-2012 - 14:58

Bài tập tự luyện
2.1) A- 2006. Cho hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-4$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm $m$ để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
$$3|x|^3 - 9x62 + 12|x| = m$$

2.2) B-2009. Cho hàm số $y=2x^4-4x^2$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm $m$ để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
$$x^2|x^2-2|=m$$

2.3) A-2002. Cho hàm số $y=-x^3+3mx^2+ 3(1-m^2)x+m^3-m^2$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m=1$
b) Tìm $k$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
$$-x^3+3x^2+k^3-3k^2=0$$

2.4)Tìm $m$ để phương trình $(x^2+1)(x+\sqrt{3})|x-\sqrt{3}|=m$ có đúng 3 nghiệm.

2.5) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: $x+1=m|2x-1|$ thoả mãn điều kiện $|x|>=1$

2.6) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: $|-|x|+2|=m|x|+m$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QUY ĐỊNH VỀ THẢO LUẬN

  • Tuân thủ Nội quy diễn đàn.
     
  • Khi hỏi bài tập cần nêu rõ nguồn (đề thi, bài trên lớp, trong sách...) và trình bày những suy nghĩ của mình về bài toán đó (đã làm được đến đâu, đề có chỗ nào chưa hiểu, chưa xử lí được điều kiện nào).
     
  • Khi giải bài (giúp các bạn khác) cố gắng đưa ra lời hướng dẫn hoặc đường hướng giải quyết bài toán hay phân tích rõ các giả thiết của bài toán và sử dụng các giả thiết ấy như thế nào... 

    Khuyến khích cả các bạn chưa có lời giải cuối cùng cũng tham gia thảo luận (chẳng hạn như "mình nghĩ phải làm thế này thế này, nhưng chỉ làm được đến đây thì chịu...", hay "BĐT ấy mình đánh giá được đến đây rồi bạn nào giúp mình đánh giá tiếp với...").
     
  • Bên cạnh các bài tập tự luyện, khuyến khích các bạn gửi những bài toán hay (kể cả các bạn đã làm được và chưa làm được) trong quá trình ôn tập mà các bạn gặp phải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:17

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#6 MrVirut

MrVirut

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-09-2012 - 21:24

Cho em hỏi phần nhận xét so sánh nghiệm phương trình bậc 2 có được dùng trong kì thi địa học ko ah ? em thấy phần này hình như đã đc bỏ , ngoài ra chúng ta có thể xử lí bằng đạo hà em nghĩ là 1 cách hay hơn ( tất nhiên rườm rà phức tạp hơn

***

Hãy theo đuổi sự ưu tú - thành công sẽ theo đuổi bạn

Hình đã gửi


#7 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 21-09-2012 - 21:45

Cho em hỏi phần nhận xét so sánh nghiệm phương trình bậc 2 có được dùng trong kì thi địa học ko ah ? em thấy phần này hình như đã đc bỏ , ngoài ra chúng ta có thể xử lí bằng đạo hà em nghĩ là 1 cách hay hơn ( tất nhiên rườm rà phức tạp hơn

Cảm ơn câu hỏi của em. Ta cần chú ý rằng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai đã bị bỏ khỏi SGK. Tuy nhiên ở đây, tôi đã cố gắng ko dùng định lý này mà diễn giải bằng cách khác. Ví dụ, nếu $x_1 < \alpha < x_2$ thì $(x_1 - \alpha)(x_2 - \alpha)<0$ (nếu sử dụng định lý đảo thì phải là $a.f(\alpha)<0$

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#8 tkf

tkf

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 22-09-2012 - 01:35

Ví dụ 1.6. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0$ cắt $Ox$ tại $3$ điểm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ điểm có hoành độ âm.
Giải
Yêu cầu của bài toán tương đương với Tìm $m$ phương trình
$$x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0 \ \ \ \ (1.6)$$
có $3$ nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ nghiệm âm.

Ta có:
$$y'=3x^2-6(m+1)x+3m; y = \frac{1}{3}y'(x-m-1)-2(m^2+m+1)x+m^2+1$$
$y'$ là tam thức bậc hai có:
$$\Delta = 9(m^2+m+1)>0$$
Vậy phương trình $y'=0$ luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$

Điều kiện cần và đủ để phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm phân biệt là
$$y(x_1).y(x_2) < 0 \Leftrightarrow (m+1)(m^3-m^2-m-3) > 0 \ \ \ (1.6a)$$
Với điều kiện $(1.6a)$, phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm không âm khi và chỉ khi:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y(0) \leq 0}\\{{x_1}.{x_2} > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- m + 1 \leq 0\\m > 0\\2\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \geq 1\\m > 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \geq 1\]
Vậy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:
$$\left\{\begin{matrix} m &< 1\\ (1.6a) \end{matrix}\right. \ \ \ (1.6b)$$
Xét hàm số $g(m) = m^3-m^2-m-3$, bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số:
$$\begin{array}{|c|ccccccccc|}
\hline
m & -\infty & \; & - \dfrac{1}{3} & \; & \; & 1 &\; &\; +\infty\\
\hline
g'\left( m \right) & \; & + & 0 & - & \; & 0 \; & + &\; \\
\hline
& \;& \; & \; - \frac{{76}}{{27}} & \; & \; & \; & \; & \; +\infty \\
g\left( m \right) & \; & \nearrow& \; & \searrow & \; & \; & \nearrow & \; \\
& -\infty\; & \; & \; & \; & \; & -4 & \; \\
\hline
\end{array}$$
ta có:
$$g(m) < 0, \forall m \leq 1$$
Từ đó, ta có
$$(1.6b) \Leftrightarrow -1 < m < 1$$


Em chưa rõ về đoạn có dòng chữ xanh này, anh giúp em với.
Nếu lấy biểu thức y theo y' ở dòng (chữ xanh) trên thế vào biểu thức $$y(x1)y(x2)$$ ở dưới thì vẫn còn x1,x2. Nhưng dòng (chữ xanh) dưới lại không có x(1),(x2), chỉ có m ?
Anh giải thích hộ em đoạn này nhé.

#9 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 22-09-2012 - 18:24

$$y = \frac{1}{3}y'(x-m-1)-2(m^2+m+1)x+m^2+1$$
Dòng này có được nhờ việc ta chia $y$ cho $y'$. Hi vọng là em còn nhớ cách chia đa thức


$$y(x_1).y(x_2) < 0 \Leftrightarrow (m+1)(m^3-m^2-m-3) > 0 \ \ \ (1.6a)$$
Cái này có thể giải thích kĩ như sau:
$$y(x_1).y(x_2) = \left [\frac{1}{3}y'(x_1)(x-m-1)-2(m^2+m+1)x_1+m^2+1 \right ].\left [\frac{1}{3}y'(x_2)(x-m-1)-2(m^2+m+1)x_2+m^2+1 \right ]=A$$

Nhưng do $x_2,x_2$ là nghiệm của $y'=0$ nên $y'(x_1)=y'(x_2)=0$. do đó
$A= \left [-2(m^2+m+1)x_1+m^2+1 \right ].\left [-2(m^2+m+1)x_2+m^2+1 \right ]$
$=4(m^2+m+1)^2x_1x_2-2(m^2+m+1)(m^2+1)(x_1+x_2)+(m^2+1)^2$
mà $y'=3x^2-6(m+1)x+3m$ nên Áp dụng định lý Vi-et, ta có:
$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 2(m+1); x_1.x_2 = \frac{c}{a}=m$$
Do đó
$A=4(m^2+m+1)^2m-2(m^2+m+1)(m^2+1)(m+1)+(m^2+1)^2$
Đến đây, chắc là em hiểu rồi

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#10 jyo120

jyo120

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 23-09-2012 - 21:08

Ví dụ 1.7. Cho đường thẳng $(d):y=x+m$ và đồ thị $(G):y=\frac{2x+1}{x-1}$
a) CMR: Với mọi $m$,$(d)$ luôn cắt $(G)$ tại 2 điểm phân biệt $E,F$.Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn $EF$ khi $m$ thay đổi
b) Xác định $m$ để đoạn $EF$ ngắn nhất

Phân tích:
a) Ta chỉ cần chứng minh phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt là xong
b) Ta sẽ biểu diễn độ dài $EF$ qua $m$. Muốn vậy, cần dùng định lý Vi-et

Giải
a) Hoành độ giao điểm (nếu có) của $(G)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình:
$$\dfrac{2x+1}{x-1} = x+m,\,\,\,\, (1.7a)$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq 1\\x^2+(m-3)x-m-1=0,\,\,\, (1.7b)\end{matrix}\right.$$
Ta có:
$$\Delta = m^2-2m+10>0$$
Nên phương trình $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt. Dễ thấy $x=1$ không phải là nghiệm của $(1.7b)$. Từ đó, phương trình $(1.7a)$ có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $(G)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt:
$$E\left ( e;e+m \right ),F\left ( f;f+m \right )$$
trong đó $e,f$ là các nghiệm của $(1.7b)$. Ta có:
$$e+f=-m+3$$
Trung điểm của $EF$ là: $H\left ( \frac{e+f}{2}; \frac{e+f}{2}+m \right )$ hay: $H\left ( \frac{3-m}{2}; \frac{m+3}{2}\right )$. Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng: $y=3-x$



cho em hỏi rõ hơn phần in đậm làm sao để tìm ra được như thế ạ :lol:

#11 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5528 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 23-09-2012 - 21:22

cho em hỏi rõ hơn phần in đậm làm sao để tìm ra được như thế ạ :lol:


Bạn có thể hiểu như thế này.

Ta tìm được tọa độ trung điểm $H$ của đoạn $EF$ là $H\left( {\frac{{3 - m}}{2};\frac{{m + 3}}{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{3 - m}}{2}\\
{y_M} = \frac{{m + 3}}{2}
\end{array} \right.$.

Ta có: ${y_M} = \frac{{m + 3}}{2} = \frac{{6 - \left( {3 - m} \right)}}{2} = 3 - \frac{{3 - m}}{2} = 3 - {x_M}\,\,\,(*)$.

Tọa độ của điểm $H$ thỏa mãn $(*)$ với mọi $m$ hay quỹ tích là đường thẳng $y = 3 - x$.

#12 jandithuhoai25

jandithuhoai25

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nowhere

Đã gửi 28-09-2012 - 23:09

thầy ơi em thấy ở ví dụ 3 điều kiện để pt có 2 nghiệm: x1 + x2 > 2 và x1.x2 > 1 hình như có vấn đề thì phải. Thử đơn giản lấy 2 số 1/2 và 4 chẳng hạn. Tuy đáp ứng đ/k x1 + x2 > 2 và x1.x2 > 1 nhưng không thõa mãn pt có 3 ngiệm lớn hơn 1. Em nghĩ phải là thế này: $\bigtriangleup$' > 0 : a.f(1) > 0; -b/2a > 1
mong mọi người xem lại thử có đúng không :mellow: :icon6:

Cho tôi lần thứ 2 


#13 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 29-09-2012 - 00:07

Cảm ơn nhận xét của bạn
Mình đã sửa lại như trên

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#14 talaai01

talaai01

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 17-10-2012 - 21:04

Cho hàm số y=$x^{3}-3x^{2}-9x+m (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cống
Mong mọi người cho e ý kiến e mới học nên còn chưa hiếu lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi talaai01: 17-10-2012 - 21:07


#15 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5528 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 17-10-2012 - 21:09

Cho hàm số y=$x^{3}-3x^{2}-9x+m (Cm)$
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cống
Mong mọi người cho e ý kiến e mới học nên còn chưa hiếu lắm


Em xem Ví dụ 1.4 ở trên Bài giảng nhé. Nếu có gì thắc mắc thì em cứ nêu ra.


II – Các dạng toán thường gặp
1. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định
Ví dụ 1.4. Cho hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x$ có đồ thị là $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.



Chúc em học tốt.

#16 giunda

giunda

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:http://trochoipro.com
  • Sở thích:chơi game

Đã gửi 01-03-2013 - 10:17

Dạng toán này cơ bản là vẽ đồ thị phải không ạ, em gài emất kém và yếu về phần tượng hình, nên mỗi khi vướng dạng này dù em nghĩ nó rất dễ, em gái em vẫn rất sợ và không thể suy nghĩ được gì, không biết có bạn nào biết cách để em gái mình không còn sợ dạng toán đồ thig nữa?

Cùng thư giãn và giải trí với những trò chơi game đặc sắc tại website game to mau  , tro choi ban bong  và hinh anh nen dep

 

 


#17 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 441 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 01-03-2013 - 12:44

Dạng toán này cơ bản là vẽ đồ thị phải không ạ, em gài emất kém và yếu về phần tượng hình, nên mỗi khi vướng dạng này dù em nghĩ nó rất dễ, em gái em vẫn rất sợ và không thể suy nghĩ được gì, không biết có bạn nào biết cách để em gái mình không còn sợ dạng toán đồ thig nữa?


Mình nghĩ, vấn đề là em ấy sợ quá nên không đụng vào dẫn đến là không biết làm thôi, còn còn về mặt lí thuyết mà nói thì cái gì có thể biểu diễn bằng hình ảnh thì bao giờ cũng trực quan và dễ hiểu hơn
Ý kiến chủ quan của mình thế này, đầu tiên hãy tập cho em ấy vẽ đồ thị, bằng cách làm thật cẩn thận các bài toán khảo sát trong các đề thi ấy (vừa kết hợp ôn tập luôn) nhớ là phải làm thật cẩn thận, mỗi dạng đồ thị chỉ cần làm khoảng 3 bài thôi

Hàm số và đồ thị chẳng qua là hai cách thể hiện của cùng một vấn đề, cũng giống như việc đưa tin, cùng một tin nhưng đài phát thanh thì dùng lời nói, còn đài truyền hình thì dùng hình ảnh!

Vì vậy giữa hàm số và đồ thị có mối liên hệ với nhau!
Hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C_1)$
Hàm số $y=g(x)$ có đồ thị $(C_2)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $f(x)=g(x)\quad (1)$
Số nghiệm của $(1)$ là số giao điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$ và nghiệm của $(1)$ là hoành độ giao điểm và ngược lại !

Tùy mức độ nhận thức của em mà giải thích hay cho em ghi nhớ điều này (vì mục đích học thi)

Sau khi đã hiểu về các vấn đề trên lại cho em học đến các cách vẽ các đồ thị của hàm số: $y=|f(x)|$ và $y=f(|x|)$
Mỗi dạng cũng luyện tập 3, 4 bài thì em sẽ hiểu và nhớ thôi!

Cứ kiên trì thì sẽ không vấn đề gì cả :D
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!



Hình đã gửi$\sqrt{\text{MF}}$


#18 anhoangqn

anhoangqn

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 22-04-2014 - 23:17

cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x+\frac{8}{3}$
vấn đề đặt ra:
Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị © tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).
giải chi tiết giùm em, tại đáp án có chổ khó hiểu nên cần bản chi tiết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhoangqn: 22-04-2014 - 23:18


#19 BinhSon

BinhSon

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 15-07-2014 - 22:06

dạ cho em hỏi ở chỗ 1.7 

$$EF=\sqrt{2(e-f)^2}=\sqrt{2(e+f)^2-8ef} = \sqrt{2(3-m)^2+8(m+1)}=\sqrt{2(m^2-2m+13}$$

 

Vậy
$$minEF=\sqrt{24} \Leftrightarrow m = 1$$

b) 

thầy tính ntn mà ra minEF ạ em hơi chậm mong thầy giải thích rõ cho em hiểu ạ 



#20 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 15-07-2014 - 23:50

 

thầy tính ntn mà ra minEF ạ em hơi chậm mong thầy giải thích rõ cho em hiểu ạ 

Trong căn thức là một tam thức bậc hai có hệ số a dương nên giá trị nhỏ nhất của nó đạt tại đỉnh của parabol đó em


1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh