Đến nội dung


Hình ảnh

Từ một hằng đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3293 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Đã gửi 23-10-2012 - 15:57

*
Phổ biến

TỪ MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC
Phạm Quang Toàn


Như các bạn đã biết đến hằng đẳng thức $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \qquad \quad (1)$$
Ta cũng có thể viết lại hằng đẳng thức này như sau $$a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \qquad \quad (2)$$
Hiển nhiên dễ thấy $2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)$ nên ta sẽ đề xuất mở rộng đầu tiên:

Ví dụ 1. Cho $x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=26,x^3+y^3+z^3=90$. Tính $A=xyz$.
Lời giải. Từ giả thiết $$\begin{aligned} x+y+z=6 & \implies (x+y+z)^2=36 \\ & \implies x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=36 \\ & \implies xy+yz+zx=5 \end{aligned}$$
Áp dụng $(1)$ thì $$\begin{array}{l} \begin{aligned} x^3+y^3+z^3-3abc & = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \\ & = 6 \cdot (26-5) \\ & = 126 \end{aligned} \\ \implies 3A=90-126 \implies A= \boxed{-12} \end{array}$$

Ví dụ 2. Cho $x,y,z$ là các số nguyên sao cho $$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=xyz$$ Chứng minh rằng $x^3+y^3+z^3$ chia hết cho $x+y+z+6$.
Lời giải. Áp dụng $(2)$ thì $$\begin{aligned} x^3+y^3+z^3 &=3xyz+ \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \\ & = 3xyz+ \frac{1}{2}(x+y+z)xyz \\ & = \frac{xyz}{2} \left( 6+x+y+z \right) \end{aligned}$$
Gỉa sử $x,y,z$ đều lẻ, khi đó $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$ chẵn, nên $xyz$ chẵn, mâu thuẫn.
Vậy $x,y,z$ phải có ít nhất một số chẵn, tức $\frac{xyz}{2} \in \mathbb{Z}$. Như vậy ta đã có đpcm.

Ví dụ 3. Tính $\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45-29\sqrt{5}}$.
Lời giải. Đặt $a=\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}, \; b= \sqrt[3]{45-29\sqrt{5}}$. Khi đó $a^3+b^3=90$ và $ab= \sqrt[3]{45^2-2 \cdot 29^2}=7$.
Ta lấy một số $c=-6$ thì $$a^3+b^3+c^3-3abc= 90-216+216=0$$ hay $$\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0$$
Hiển nhiên $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0$ nên $a+b+c=0 \implies a+b=-c= \boxed{6}$.

Ví dụ 4. Tìm các cặp số nguyên $x,y$ sao cho $$xy+ \frac{x^3+y^3}{3}=2007$$
Lời giải. Viết phương trình lại thành $$\begin{aligned} 3xy+x^3+y^3=6021 & \implies x^3+y^3-1+3xy=6020 \\ & \implies (x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)=6020=2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 43 \end{aligned}$$
Đặt $a=x+y,b=xy$ thì $$pt \iff (a-1)(a^2+a+1-3b)=2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 43$$
Đến đây thì ta xét trường hợp để tìm $a,b$ rồi tìm $x,y$.

Quay lại với hằng đẳng thức ban đầu, ta có thể rút ra hệ quả sau: $$a^3+b^3+c^3=3abc \iff \left[ \begin{array}{l} a=b=c \\ a+b+c=0 \end{array} \right.$$
Ví dụ 5. Phân tích đa thức thành nhân tử $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$.
Lời giải. Ta thấy $(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$. Do đó $$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)$$
Ta có thể nới rộng ra từ số mũ $3$ thành số mũ $5$.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng $A=(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5$ chia hết cho $5(a-b)(b-c)(c-a)$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}$.
Lời giải. (nói ngoài lề vì cách giải này không dùng hằng đẳng thức trên)
Áp dụng Fermat nhỏ thì $$\begin{cases} (a-b)^5 \equiv a-b \pmod{5} \\ (b-c)^5 \equiv b-c \pmod{5} \\ (c-a)^5 \equiv c-a \pmod{5} \end{cases} \implies (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 \equiv 0 \pmod{5}$$
Coi $A$ là đa thức biến $a$, lấy $a=b$ thì $A=0$, khi đó $A$ chứa nhân tử $a-b$.
Chứng minh tương tự $A$ cũng sẽ chứa nhân tử $b-c,c-a$.
Do đó $A=5(a-b)(b-c)(c-a) \cdot k$ với $k \in \mathbb{Z}$.
Mở rộng hơn nữa từ số mũ $5$ đến số mũ $p$ là số nguyên tố lẻ.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng với $p$ là số nguyên tố lẻ thì $(a-b)^p+(b-c)^p+(c-a)^p$ chia hết cho $p(a-b)(b-c)(c-a)$.
Chứng minh tương tự ví dụ $6$.

Quay lại hệ quả, ta có các bài toán sau:
Ví dụ 8. Chứng minh rằng nếu $x+y+z=0$ thì $$2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)$$
Lời giải. Từ gt $$\begin{aligned} x+y=z=0 & \implies x^3+y^3+z^3=3xyz \\ & \implies (x^3+y^3+z^3)(x^3+y^2+z^2)=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies x^5+y^5+z^5+x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies x^5+y^5+z^5-x^2y^2z-y^2z^2x-z^2x^2y=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies x^5+y^5+z^5-xyz(xy+yz+zx)=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies x^5+y^5+z^5+xyz \cdot \frac{x^2+y^2+z^2}{2}=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2) \end{aligned}$$
Ví dụ 9. Cho $xy+yz+zx=0$ và $xyz \ne 0$. Tính giá trị biểu thức $$A= \frac{yz}{x^2}+ \frac{zx}{y^2}+ \frac{xy}{z^2}$$
Lời giải. Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}=0$. Do đó $\frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}+ \frac{1}{z^3}= \frac{3}{xyz}$.
Khi đó $$A= \frac{xyz}{x^3}+ \frac{xyz}{y^3}+ \frac{xyz}{z^3}= xyz \left( \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}+ \frac{1}{z^3} \right) = \boxed{3}.$$
Ví dụ 10. Giải phương trình $$(x-3)^3+(x+1)^3=8(x-1)^3$$
Lời giải. Thấy $(x-3)+(x+1)=2x-2$. Do đó áp dụng bài toán $5$ thì $$\begin{aligned} pt & \iff [(3x+3)-(2x+6)]^3+[(2x+6)-(x+5)]^3+[(x+5)-(3x+3)]^3=0 \\ & \iff 3(x-3)(x+1)(2-2x)=0 \\ & \iff \left[ \begin{array}{l} x=3 \\ x=-1 \\ x=1 \end{array} \right. \end{aligned}$$

Hãy cùng tiếp tục mở rộng nào !! ^_^
"God made the integers, and else is the work of man."

#2 Zaraki

Zaraki

    Hiệp sỹ biển khơi Jinbei

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 3293 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Number Theory, Geometry

Đã gửi 23-12-2012 - 09:58

Tiếp tục ứng dụng đẳng thức trên nhé!
Ví dụ 11. Cho $x,y,z$ nguyên thỏa mãn điều kiện $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$. Chứng minh rằng $$M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$$ chia hết cho $81$.

Ví dụ 12. Chứng minh rằng nếu $x^n+y^n+z^n=a^n+b^n+c^n$ đúng với $n=1,2,3$ thì nó đúng với mọi số tự nhiên $n$.

Ví dụ 13. Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một thỏa mãn $$(x-y) \sqrt[3]{1-x^3}+(z-x)\sqrt[3]{1-y^3}+ (x-y)\sqrt[3]{1-z^3}=0.$$
Chứng minh rằng $$(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)=(1-xyz)^3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 23-12-2012 - 09:58

"God made the integers, and else is the work of man."

#3 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1038 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 23-12-2012 - 14:37

Ví dụ 1. Cho $x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=26,x^3+y^3+z^3=90$. Tính $A=xyz$.


Ta có $3\prod (x+y)=\left ( \sum x \right )^{3}-\sum x^{3}=126 \rightarrow \prod (x+y)=42$
Do đó $2xyz+\sum x^{2}y+\sum xy^{2}=42$
Mặt khác $\sum x^{^{2}}y+\sum xy^{2}=\sum x.\sum x^{2}-\sum x^{3}=66$.
Vậy $2\prod x=-24\Rightarrow \prod x=-12$. :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:

#4 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Điều hành viên THCS
  • 1298 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\heartsuit \mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}\heartsuit$ $\\$
  • Sở thích:$\heartsuit\mathbb{Geomtry,Anime}\heartsuit$

Đã gửi 27-12-2012 - 21:05

Ta có $3\prod (x+y)=\left ( \sum x \right )^{3}-\sum x^{3}=126 \rightarrow \prod (x+y)=42$
Do đó $2xyz+\sum x^{2}y+\sum xy^{2}=42$
Mặt khác $\sum x^{^{2}}y+\sum xy^{2}=\sum x.\sum x^{2}-\sum x^{3}=66$.
Vậy $2\prod x=-24\Rightarrow \prod x=-12$. :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:

Có cách nào khác không anh... em độc mà không hiểu!

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây


Hình đã gửi


Nếu không thử vì sợ thất bại thì bạn không hề tôn trọng tuổi trẻ và thời gian của mình......

Nếu cô ta tuyệt vời, cô ta sẽ không dễ dàng. Nếu cô ta dễ dàng, cô ta sẽ không tuyệt vời. Nếu cô ta xứng đáng, bạn sẽ không bỏ cuộc.
Nếu bạn bỏ cuộc, bạn không xứng đáng... Sự thật là, tất cả mọi người sẽ làm bạn tổn thương; điều quan trọng là bạn tìm ra được người đáng cho bạn chịu đựng khổ đau.....

Hãy ghé thăm blog của mình ở đây


#5 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-12-2012 - 21:17


Ta có $3\prod (x+y)=\left ( \sum x \right )^{3}-\sum x^{3}=126 \rightarrow \prod (x+y)=42$
Do đó $2xyz+\sum x^{2}y+\sum xy^{2}=42$
Mặt khác $\sum x^{^{2}}y+\sum xy^{2}=\sum x.\sum x^{2}-\sum x^{3}=66$.
Vậy $2\prod x=-24\Rightarrow \prod x=-12$. :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:

Có cách nào khác không anh... em độc mà không hiểu!

Mình dịch lại cho :P
Ta có: $3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=126$
$\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=42$
Do đó: $2xyz+x^2y+xy^2+y^2z+zy^2+z^2x+xz^2=42$
Mặt khác $x^2y+xy^2+y^2z+zy^2+z^2x+xz^2=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(x^3+y^3+z^3)=66$
Vậy $2xyz=-24$ $\Rightarrow xyz=-12$ :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2: .
__________________
p/s: thật sự thì mình không thấy cái bài này áp dụng hằng đẳng thức mà bạn Toàn đưa ra.

#6 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1038 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 27-12-2012 - 21:42

Có cách nào khác không anh... em độc mà không hiểu!


Tại mình lười gõ nên là dùng kí hiệu $\sum$ với cả $\prod$ cho nó nhanh :D

#7 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Điều hành viên THCS
  • 1298 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\heartsuit \mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}\heartsuit$ $\\$
  • Sở thích:$\heartsuit\mathbb{Geomtry,Anime}\heartsuit$

Đã gửi 27-12-2012 - 21:50

Tại mình lười gõ nên là dùng kí hiệu $\sum$ với cả $\prod$ cho nó nhanh :D

Dạ tại em chưa học mấy cái này nên không hiểu...Mong anh thứ lỗi....

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây


Hình đã gửi


Nếu không thử vì sợ thất bại thì bạn không hề tôn trọng tuổi trẻ và thời gian của mình......

Nếu cô ta tuyệt vời, cô ta sẽ không dễ dàng. Nếu cô ta dễ dàng, cô ta sẽ không tuyệt vời. Nếu cô ta xứng đáng, bạn sẽ không bỏ cuộc.
Nếu bạn bỏ cuộc, bạn không xứng đáng... Sự thật là, tất cả mọi người sẽ làm bạn tổn thương; điều quan trọng là bạn tìm ra được người đáng cho bạn chịu đựng khổ đau.....

Hãy ghé thăm blog của mình ở đây


#8 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 436 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 27-12-2012 - 23:46

Ví dụ 1. Cho $x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=26,x^3+y^3+z^3=90$. Tính $A=xyz$.
ka ka, mở rộng bài trên tính cái này thử xem:
$Q=\frac{1}{x^{4}.y^{4}}+\frac{1}{x^{4}.z^{4}}+\frac{1}{z^{4}.y^{4}}=?$
$P=\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}}=?$

Đã tính được: $xy+yz+zx=5$ và $xyz=-12$
Đặt: $a=\dfrac{1}{x^2}\quad b=\dfrac{1}{y^2}\quad c=\dfrac{1}{z^2}$
Chú ý rằng $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$$ $$\Rightarrow P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$$ Ta tính:


$A=a+b+c=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$ và $B=ab+bc+ac=\dfrac{1}{x^2y^2}+\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{z^2x^2}$


$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{(xyz)^2}$
Mà $(xy+yz+zx)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=169$
$\Rightarrow A=\dfrac{169}{144}\quad B=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{(xyz)^2}=\dfrac{26}{144}$
Từ đó tính được $P$

Vì: $Q=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=(ab+ac+bc)^2-2abc(a+b+c)$ nên cũng tính được $Q$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 28-12-2012 - 00:05

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!



Hình đã gửi$\sqrt{\text{MF}}$


#9 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-06-2013 - 00:05

Ví dụ 11. Cho $x,y,z$ nguyên thỏa mãn điều kiện $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$. Chứng minh rằng $$M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$$ chia hết cho $81$.

Ví dụ 13. Hình như đề là thế này

Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một thỏa mãn $$(y-z) \sqrt[3]{1-x^3}+(z-x)\sqrt[3]{1-y^3}+ (x-y)\sqrt[3]{1-z^3}=0.$$
Chứng minh rằng $$(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)=(1-xyz)^3$$

Tự dưng nhớ ra topic này có mấy bài chưa có ai giải  ^_^

Ví dụ 11. Dễ dàng chứng minh được $M=3(x-y)(y-z)(z-x)=3(x+y+z)$

Để chứng minh $M$ chia hết cho $81,$ ta chứng minh $x+y+z$ chia hết cho $27.$

Thật vậy, xét số dư của ba số $x, y, z$ khi chia cho $3,$ ta có:

 

Trường hợp 1: Không có ba số nào cùng số dư khi chia cho $3$

Khi đó $x-y\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ y-z\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ z-x\ \not{\vdots}\ 3$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \not{\vdots}\ 3$

Mặt khác $x+y+z\equiv 0+1+2\equiv 0\ (\bmod\ 3)$

Do đó trường hợp này không thể xảy ra.

 

Trường hợp 2: Có hai số cùng số dư khi chia cho $3$

Không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là $x$ và $y$

Khi đó $x-y\ \vdots\ 3\ ;\ y-z\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ z-x\ \not{\vdots}\ 3$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \vdots\ 3$

Mặt khác $x+y+z\ \not{\vdots}\ 3$ nên trường hợp này không xảy ra.

 

Vì vậy cả ba số có cùng số dư khi chia cho $3$

Khi đó $x-y\ \vdots\ 3\ ;\ y-z\ \vdots\ 3\ ;\ z-x\ \vdots\ 3$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \vdots\ 27$

Mà $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$ nên $x+y+z\ \vdots\ 27$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

Ví dụ 13: Bài này phân tích thành nhân tử hơi ảo  :wacko:

Từ giả thiết suy ra

$$(y-z)^3(1-x^3)+(z-x)^3(1-y^3)+(x-y)^3(1-x^3)=3(x-y)(y-z)(z-x)\sqrt[3]{(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)}$$

$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)}=\dfrac{(y-z)^3(1-x^3)+(z-x)^3(1-y^3)+(x-y)^3(1-x^3)}{3(x-y)(y-z)(z-x)}$$

Mặt khác $(y-z)^3(1-x^3)+(z-x)^3(1-y^3)+(x-y)^3(1-x^3)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1-xyz)$ $($Đoạn phân tích này chắc dựa vào đề bài nói cũng được :))$)$

Do đó $$\sqrt[3]{(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)}=1-xyz$$

Hay $$(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)=(1-xyz)^3$$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh