Đến nội dung


Hình ảnh

[MO2013] Trận 13 - Toán tổ hợp, rời rạc.

mo2013 mo

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3141 Bài viết
  • -1 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-11-2012 - 15:43

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 30/11/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 13 có 24 toán thủ tham gia nên trận này không áp dụng luật loại trực tiếp.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

4) Từ trận 8, điều lệ có sự thay đổi:

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.



#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 30-11-2012 - 20:55

Trong một hình vuông có diện tích bằng $1$,ta đặt $5$ đa giác sao cho mỗi đa giác này đều có diện tích bằng $\frac{1}{2}$.Chứng minh rằng tồn tại $2$ đa giác mà có diện tích phần chung lớn hơn $\frac{1}{5}$

Toán thủ ra đề
LeHoangAnh1997

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3159 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 30-11-2012 - 20:56

BTC đã post lại đề do đề của toán thủ namheo có trong VMO.
Thời gian thi đấu tính từ 9h00 ngày 30/11
Thành thật xin lỗi các toán thủ

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#4 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 617 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \mathfrak{The} \ \mathfrak{K46} \ \mathfrak{Math} \ \mathfrak{1} \ \mathfrak{CSP}$
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 30-11-2012 - 21:56

Trước hết,mình xin nêu lên bổ đề chính là đẳng thức và BĐT "Nội suy-Ngoại suy" như sau:
$|\bigcup ^{n}_{i=1}A_{i}|=\sum ^{n}_{k=1}.(-1)^{k+1}.\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2<...<i_{k}\leqslant n}}|A_{i_{1}}\bigcap A_{i_{2}}\bigcap ...\bigcap A_{i_{k}}|$
$\sum ^{2m}_{k=1}(-1)^{k+1}.\sum _{1\leq i_1<i_2<...<i_k\leq n}|\bigcap ^k_{j=1}A_{i_j}|\leq |\bigcup ^n_{i=1}A_i|\leq \sum ^{2m+1}_{k=1}(-1)^{k+1}.\sum _{1\leq i_1<i_2<...<i_k\leq n}|\bigcap ^k_{j=1}A_{i_j}|$.
$\Rightarrow |\bigcup ^n_{i=1}A_i|\geq \sum ^n_{i=1}|A_i|-\sum _{1\leq i< j\leq n}|A_i\cap A_j|$
Cái này mình đã từng post lên diễn đàn trong Box THPT.Các bạn có thể tham khảo.
Quay trở lại bài toán:
Đặt $M_1;M_2;M_3;M_4;M_5$ là tập hợp phần diện tích của $5$ đa giác trên.
Đặt $S_k=\sum _{1<i_1<i_2<...<i_k\leq 5}|M_{i_1}\cap M_{i_2}\cap ...\cap M_{i_k}|$ với $1\leq k\leq 5$

Ta lại đặt:
$M_1\cap M_i=M_{1i}$ với $i=\overline{2;5}$
Ta có,các $M_{1i}\subset M_1$ và $M_{12}\cup M_{13}\cup M_{14}\cup M_{15}=M_1$
Áp dụng BĐT "Nội suy-Ngoại suy" nêu ở trên,ta có:
$|\bigcup ^5_{i=2}M_{1i}|\geq \sum _{i\geq 2}|M_1\cap M_i|-\sum _{2\leq i<j\leq 5}|M_1\cap M_i\cap M_j|+\sum _{2\leq i<j<k\leq 5}|M_1\cap M_i\cap M_j\cap M_k|-|M_1\cap ...\cap M_5|$
Tương tự với $M_2;M_3;M_4;M_5$,rồi cộng các vế của BĐT cùng chiều và thay bằng $S$,ta thu được:
$\sum ^5_{i=1}M_1\geq 2S_2-3S_3+4S_4-5S_5\Rightarrow S_1\geq 2S_2-3S_3+4S_4-5S_5$

Vì các đa giác $M_i$ được đặt trong hình vuông diện tích bằng $1$ nên
$1\geq |M_1\cup ...\cup M_5|$
Áp dụng đẳng thức Inclusion-Exclusion ta có:

$1\geq |M_1\cup ...\cup M_5|=S_1-S_2+S_3-S_4+S_5$ (Cái này em viết hơi tắt tí)
$\Leftrightarrow 3S_2\geq 3S_1+3S_3-3S_4+3S_5-3$
Từ đây,$\Rightarrow 3S_2+S_1\geq 3S_1+2S_2+3S_3+S_4-2S_5-3$ (do $
S_1\geq 2S_2-3S_3+4S_4-5S_5$)
$\Rightarrow S_2\geq (2S_1-3)+(S_4-2S_5)$
$\Rightarrow S_2\geq (2.5.\frac{1}{2}-3)+(S_4-2S_5)$
$\Rightarrow S_2\geq 2+(S_4-2S_5)$

Ta có:
$S_4=C^4_5.S_5$ do định nghĩa của $S$
$\Rightarrow S_4-2S_5>0$
$\Rightarrow S_2>2 $
Từ đây:
$\Rightarrow$tồn tại $p,q\in \left \{ 1;2;3;4;5 \right \}$ để $C^2_5|M_p\cap M_q|>2\Rightarrow 10.|M_p\cap M_q|>2$
$\Rightarrow |M_p\cap M_q|>\frac{1}{5}$
Vậy $|M_p\cap M_q|>\frac{1}{5}$
Vậy nên tồn tại $2$ đa giác có phần chung có diện tích lớn hơn $\frac{1}{5}$
Ta có đpcm.
____________
P/s:Lần này may quá.Vừa đọc đề bài thì thấy quen quen,hóa ra lần trước đã làm trong phần BT của Inclusion-Exclusion.Rất may mắn! :icon6:
_____________________
*Lưu ý:
- Không dùng phông chữ quá to (mất thẩm mỹ)
- Một vài chỗ vẫn còn lỗi $\LaTeX$
Điểm bài làm: $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=55$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 05-12-2012 - 14:43
Chấm điểm

Hình đã gửi


#5 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3141 Bài viết
  • -1 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-12-2012 - 09:03

Trận đấu đã kết thúc!
Mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau.

#6 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3141 Bài viết
  • -1 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-12-2012 - 14:49

Có vẻ như doxuantung97 và LeHoangAnh1997 học chung lớp với nhau hay sao mà đáp án và lời giải của doxuantung97 giống nhau đến 95% :))

Trận này có duy nhất một bài làm và không có mở rộng nào (dù đề tương đối mở)

Điểm cho toán thủ ra đề:

$D_{rd}=4\times 1+3\times 22+2\times 0+30=100$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh