Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Xác định số chiều và cơ sở trong không gian vector


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 merikatoji94

merikatoji94

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 25-12-2012 - 09:50

-Cho mình hỏi về cách làm bài toán về xác định số chiều và cơ sở trong không gian vector, cụ thể là bài tập sau:
+Xác định số chiều và một cơ sở của không gian con $R^{4}$ sinh bởi các vecto sau:
(1,1,-4,-3), (2,0,2,-2), (2,-1,3,2)
-Mọi người vui lòng hướng dẫn cách trình bày dùm mình nha, mình cần nhất là cách làm về "xác đình số chiều và cơ sở", mình đang cần rất gấp vì sắp thi rồi :wacko: :wacko: , mong các bạn giúp đỡ, cám ơn rất nhiều!!! :wub: :wub: :wub:

#2 hoangcuong12a3

hoangcuong12a3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Dục Tú - Đông Anh - Hà Nội

Đã gửi 26-12-2012 - 00:35

Số chiều của hệ vecto là số vecto độc lập tuyến tính lấy ra được từ hệ vecto đó và nó = hạng của ma trận A là ma trận có các cột ( hàng) là tọa độ lần lượt của các vecto..
ta có A = $\begin{pmatrix} 1 & 1& -4&-3\\ 2 & 0& 2&-2\\ 2& -1& 3&2 \end{pmatrix}$ ..........$\begin{pmatrix} 1 & 1& -4&-3\\ 0 & -2& 10&4\\ 0& 0& -8&4 \end{pmatrix}$
=> rank(A) = 3 => số chiều = 3.. và cơ sở của hệ véc to đó là 3 vecto đó luôn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangcuong12a3: 26-12-2012 - 00:49


#3 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 543 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-12-2012 - 10:16

Bài toán cơ bản:

Trong không gian $\mathbb{R}^{n}$, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $U=Sp(v_{1},v_{2},..,v_{m})$

Cách giải:

Bước 1: Lập ma trận $A=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2}\\ ...\\ v_{m} \end{pmatrix}$

Bước 2: Biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận A về ma trận bậc thang có r hàng khác không.

Bước 3: Kết luận
  • Số chiều của U là r
  • Một cơ sở của U là r hàng khác không trong ma trận bậc thang hay r véc tơ tương ứng trong $\left \{ v_{1},v_{2},..,v_{m} \right \}$
............................................................................
Bài toán tổng quát hơn là:

Trong không gian véc tơ V, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $W=Sp(u_{1},u_{2},..,u_{m})$

Cách giải:

Vì mọi không gian véc tơ hữu hạn chiều (có số chiều bằng n) đều đẳng cấu với $R^{n}$ nên ta sẽ chuyển việc xét trong không gian V về xét trong không gian $R^{n}$ tương ứng.

+ Để xét $P_{n}[x]=\left \{ a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{n+1}=\left \{ (a_{0},a_{1},...,a_{n}):a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$

+ Để xét $M_{2}(\mathbb{R})=\left \{ \bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d \end{smallmatrix}\bigr):a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{4}=\left \{ (a,b,c,d):a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$

Vậy: Trong không gian V để tìm một cơ sở và số chiều của $W=Sp(u_{1},u_{2},..,u_{m})$ ta chuyển sang tìm một cơ sở và số chiều của $U=Sp(v_{1},v_{2},..,v_{m})$ tương ứng trong $\mathbb{R}^{n}$. Tức là chuyển về bài toán cơ bản ở trên

Ví dụ 1:

Trong $P_{2}[x]=\left \{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,2} \right \}$, xác định một cơ sở và số chiều của

$W=Sp(u_{1}=1+3x+2x^{2},u_{2}=x+3x^{2},u_{3}=x+3x^{2})$

Giải:

Xét ma trận:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 6 & 4\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ 1+3x+2x^{2},x+3x^{2} \right \}$
Và $dimW=2$

Ví dụ 2:

Trong $M_{2}(\mathbb{R})$, xác định một có sở và số chiều của không gian W sinh bởi hệ véc tơ

$\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$


Giải:

Ta có:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -4 & -5 \end{pmatrix}$

Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$

Và $dimW=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 26-12-2012 - 10:19

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh