Đến nội dung


Hình ảnh

Công thức Newton-tổng lũy thừa bậc k và đa thức đối xứng sơ cấp


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Điều hành viên Đại học
  • 311 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 26-12-2012 - 15:26

Cho $n$ số bất kỳ (kể cả phức) $x_i \;, i \in \{1;...;n\}$

Đa thức đối xứng sơ cấp thứ $k$ của $n$ số $x_i$ (elementary symmetric polynomials), ký hiệu $E_k(x_1,...,x_n)=\sum_{1\le i_1<...<i_k\le n}x_{i_1}...x_{i_k} $

Tổng lũy thừa bậc $k$ của $n$ số $x_i$ : $S_k(x_1,...,x_n)=x_1^k+x_2^k+...+x_n^k $

Theo định lý Viète , $n$ số $x_i$ là nghiệm của phương trình :

$X^n+a_1X^{n-1}+...+a_{n-1}X+a_n=0 $ , trong đó $a_i=(-1)^i E_i(x_1,...,x_n) \;\;, i \in \{1,...,n\} $

Công thức Newton (Newton's formula) :

$$\boxed{ \begin{matrix} \forall k \in \{1,...,n\} ,\;\; S_k+a_1S_{k-1}+...+a_{k-1}S_1+ka_k=0 \\ \\ \forall p>n ,\;\; S_p+a_1S_{p-1}+...+a_nS_{p-n}=0\end{matrix} }$$

Nếu viết dưới dạng đa thức đối xứng sơ cấp thì ta có:

$\sum_{i=0}^{k-1} (-1)^iE_iS_{k-i}+(-1)^kkE_k=0=\sum_{i=1}^{k} (-1)^iE_{k-i}S_i+kE_k=0 \;\; \forall 1 \le k \le n $

(Đây cũng chính là công thức đã được chứng minh ở đây .)

$\sum_{i=0}^n (-1)^iE_iS_{p-i}=\sum_{p-n}^p (-1)^{p-i}E_{p-i}S_i=0 $


Ta có một cách chứng minh rất hay bằng công cụ giải tích sau đây ( trích trong một file đính kèm bên dưới) :

Để tổng quát, ta định nghĩa tổng lũy thừa bậc $k$ của $n$ biến $x_i \;\;, i \in \{1,...,n\} $ mở rộng :

$$s_{k}(x_1,...,x_n) \begin{cases} x_1^k+x_2^k+...+x_n^k \;\;\;, k>0 \\ n \;\;\;\;, k=0\\ 0 \;\;\;\;,k<0 \end{cases} $$

Đa thức sơ cấp thứ $k$ mở rộng

$$e_k(x_1,...,x_n)= \begin{cases} \sum_{1 \le i_1<...<i_k\le k} x_{i_1}...x_{i_k} \;\;\;, 1 \le k \le n \\ 1 \;\;\; , k=0 \\ 0 \;\;\;, k<0 \vee k>n \end{cases} $$


Xét $f(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i)=\sum_{i=0}^n(-1)^ie_ix^{n-i}=\sum_{i \in \mathbb{Z}} (-1)^ie_ix^{n-i}$

$f'(x)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} (-1)^i(n-i)e^ix^{n-i-1}$

$\Rightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{x-x_i} $

Lại có : $\dfrac{1}{x-r}=\sum_{j=0}^{\infty} \dfrac{r^j}{x^{j+1}}$

Cho nên :$ f'(x)=f(x) \dfrac{f'(x)}{f(x)}=f(x) \sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^{\infty} \dfrac{x_i^j}{x^{j+1}}$

$=g(x)\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i^j}{x^{j+1}}=g(x)\sum_{j \in \mathbb{Z}} \dfrac{s_j}{x^{j+1}}$


$=\sum_{i,j \in \mathbb{Z}} (-1)^i e_i s_jx^{n-i-j-1} $

$=\sum_{j \in \mathbb{Z}} ( \sum_{i \in \mathbb{Z}} (-1)^ie_is_{j-i}) x^{n-j-1} $ ( thay $j$ bởi $i+j$ )


So sánh hệ số của $f'(x)$ được tính bằng 2 cách cho ta đẳng thức :

$\sum_{i=0}^{j-1} (-1)^ie_is_{j-i}+(-1)^je_jn=(-1)^je_j(n-j) $

$\Leftrightarrow \sum_{i=0}^{j-1}(-1)^ie_is_{j-i}+(-1)^jje_j=0$

$\Leftrightarrow \sum_{i=1}^k (-1)^ie_{k-i}s_i +ke_k=0 $ ( thay $i$ bởi $j-i$ , thay $j$ bởi $k$, sau đó chia cho $(-1)^k$ )


Công thức Newton ở trên rất mạnh trong việc tạo ra các đẳng thức đẹp, từ đó có thể sáng tạo ra bất đẳng thức, giải hệ phương trình, giải phương trình bậc cao...

Một vài bài tập khá hay xin trích trong một số tài liệu kèm bên dưới:

1) Cho $P_n=a^n \sin(nA)+b^n \sin(nB)+c^n \sin(nC) \;\;\;, (a,b,c,A,B,C) \in \mathbb{R}^6$ , $A+B+C$ là bội của $\pi$

Giả sử $P_1=P_2=0$ , chứng minh $P_n=0 \;\;,\forall n \in \mathbb{N} $

2) Tìm $a$ sao cho tất cả nghiệm của phương trình sau đều là số thực:

$ x^6+3x^5+(6-a)x^4+(7-2a)x^3+(6-a)x^2+3x+1=0 $

3) Biết rằng các nghiệm của phương trình sau tạo thành một cấp số cộng (đều là nghiệm thực)

$x^5-5x^4-35x^3+mx^2+nx+p=0$ với $m,n,p$ là các hằng số thực.

Tìm các nghiệm đó.


P/s: Càng đọc sách nước ngoài thì càng thấy mình ngu ra và cảm giác học Toán ở Việt Nam còn quá tụt hậu ! Hic, cố gắng đọc nhiều tài liệu nước ngoài để mở rộng hiểu biết , ít ra cũng tránh bị rơi xuống giếng !

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-12-2012 - 15:28

Phủ định của giới hạn 84.gif

Đó duy sáng tạo ! 53.gif

 

https://phudinhgioihan.wordpress.com/


#2 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Điều hành viên Đại học
  • 311 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 26-12-2012 - 22:56

em à.chúng ta cần phải làm cho anh rõ, anh vẩn chưa xác định được công thức lop chuẩn dưới tồn tại trong 5 tài liệu em đã post lên diễn đàn, bây giờ để giúp chúng ta rõ ràng, em hãy chụp lại cái vị trí trong 5 tài liệu đó vào đăng lên, anh sẽ giải thích tại sao nó không phải là công thức lop chuẩn dưới.

làm phiền em một chúc. công thức trong đó không phải là công thức lop chuẩn dưới. anh đã tìm trong 5 tài liệu . có giống vài công thức nhưng nó không phải là công thức lop chuẩn dưới, nên phiền em giúp anh làm sáng tỏ

trong công thức lop chuẩn dưói nó tồn tại 2 biến n và k. hãy chỉ rõ vị trí nằm trên tài liệu . bằng cách chụp hình lại và post lên, nằm ở trang mấy của tài liệu trên

nếu từ công thức lop chuẩn dưới . ta lấy n=k thì nó thành công thức lop chuẩn, nên anh chỉ nhìn thấy công thức lop chuẩn trong tài liệu chứ không tìm thấy công thức lop chuẩn dưới., vì công thức lop chuẩn có có hình dạng giống công thức lop chuẩn dưới, nhưng chỉ được 1 biến n mà thôi.

vì khả năng áp dụng công thức lop chuẩn dưới rất mạnh, nên anh nghĩ không có lý do nào nó tồn tại mà ít ứng dụng, và không được trường đại học chú ý


Em có viết rành rành trong bài viết trên rồi, phần đóng khung to đùng!

Một phần quan trọng, $lop(m,1,n)=E_{m,n}$ , tất cả công thức của $lop$ hiện giờ chỉ có ở $lop(m,1,n)$ , mà như đã có ở trên, công thức Newton ! Với $lop(m,k,n)$ thì anh có thể xem về Schubet Polinomials

Ứng dụng của công thức Newton rất nhiều, trong file đính kèm có một số đề USAMO, những vấn đề liên quan hầu như đã hoàn thiện. Do đó, cũng không lý do gì mà ĐH lại đi nghiên cứu cái mà tiền nhân đã làm rồi, hơn nữa, ĐH VN thì anh biết, nghiên cứu rất ít, hầu hết đi sau nhân loại cả chặng đường dài, những gì mình có thì Tây, Tàu nó có cả rồi ! Sách tiếng Việt cũng có đề cập tới công thức Newton, cái này em không nhớ nó tên gì, nhưng chắc chắn có ! Có thể anh chưa được tiếp cận với nền Toán học đã quá phát triển của thế giới nên còn nhiều thứ chưa biết !


Về phần dãy lop thì đó hoàn toàn của anh, ít ra là tên gọi! Tuy nhiên, bản chất nó là biểu diễn hình thức cho các đối xứng sơ cấp, hình thức mà không ruột thì rỗng toét ạ.

Phần giải đáp thắc mắc đã xong, chắc em không cần chụp hình, anh chịu khó xem lại ạ !

Phủ định của giới hạn 84.gif

Đó duy sáng tạo ! 53.gif

 

https://phudinhgioihan.wordpress.com/


#3 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Điều hành viên Đại học
  • 311 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 26-12-2012 - 23:32

trời ơi, anh đã tìm trong 5 tài liệu đó rồi ,không có cái nào như cái đóng khung của em viết ở trên hết, đã tìm hết rồi là không có.trường đại học nó có cho anh học về vấn đề này,nhưng không bao giờ có sử dụng công thức như vậy


Trong introductions to symmetric polynomials and symmetric function trang 16 (file này anh đọc kỹ, khá đầy đủ về đa thức đối xứng sơ cấp, anh sẽ bắt gặp lop trong đó chẳng hạn Example 3.2)

trong tài liệu chỉ tìm thấy chỗ khoanh tròn màu đen tương đương với công thức lop chuẩn .còn công thức lop chuẩn dưới chưa tìm thấy:


À, anh xem kỹ, nó ghi là

$S_1+c_1=0$

$S_2+c_1S_2+2c_2=0$

$S_3+c_1S_2+c_2S_1+3c_3=0$
....

$S_n+c_1S_{n-1}+...+c_{n-1}S_1+nc_n=0 $

Phần ... chính là nó lược bỏ $S_k+c_1S_{k-1}+...+c_{k-1}S_1+kc_k=0 $ đó ạ, nó có liệt kê 3 tổng đầu rồi. Hơn nữa, anh tìm trong introductions to symmetric polynomials and symmetric function trang 16 có đủ, hay symmetric polinomials trang 6.

Bài viết của em, em viết theo lối em hiểu và đã thu gọn lại cho tổng quát nên tất nhiên nó không giống 100% như trong các tài liệu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 26-12-2012 - 23:35

  • NLT yêu thích

Phủ định của giới hạn 84.gif

Đó duy sáng tạo ! 53.gif

 

https://phudinhgioihan.wordpress.com/


#4 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Điều hành viên Đại học
  • 311 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 26-12-2012 - 23:53

Rồi, mọi chuyện đã sáng tỏ, anh thành thật cảm ơn em nhiều, và rất nhiều, anh đã thoã mãn mọi điều,
nhưng vẩn còn cái thằng phương trình bậc 4 vẩn chưa tìm thấy, vẫn chưa thoả mãn, lúc trước nesbit có nói tìm giúp, mà cuối cùng đi đâu mất rồi,

Anh vẩn còn hy vọng cuối cùng trong phép biện luận nghiệm phương trình bậc 4, anh mong còn có 1 cái không trùng khớp, tất nhiện phương trình bậc 4 được người ta giải nhưng cách phân tích của anh là độc quyền, điều hy vọng thêm 1 điều nưa là anh sẽ cố gắng tìm lại 1 con số trong số học, số đó được anh tìm ra giống sô PI vậy ,nhưng có ứng dụng . anh đã quên rồi, mong rằng có 2 điều không bị trùng khớp


Em cũng cảm ơn anh rất nhiều vì sự sáng tạo đó cũng đáng cho em học hỏi và xin tuyên dương tinh thần sáng tạo của anh ạ. Về phần phương trình bậc 4, để em thử tìm xem, vấn đề là search google bằng từ khóa gì, search tiếng Việt thì không ra, tiếng anh thì không biết dùng từ gì cho đúng nữa @@. Mong rằng còn số tựa như Pi sẽ sớm được công bố. Chúc anh thành công !
  • NLT yêu thích

Phủ định của giới hạn 84.gif

Đó duy sáng tạo ! 53.gif

 

https://phudinhgioihan.wordpress.com/





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh