Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Một số bài tập về tích phân loại 1 và 2.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Baby Xù

Baby Xù

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 05-06-2013 - 11:01

Mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Mà thầy cũng không giảng. Nên chả bik làm thế nào.

 

1, $\int_{AB} (x-y)ds$; AB là đoạn thẳng nối hai điểm $A(0,0) B(4,3)$
2, $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ
3, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$

 

4, $I=\int_{L} xyz ds$; L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

 

 
5, $I=\int_{L} (x^2 - y^2)dx$; là đường cung của parapol $y=x^2$ với x trong khoảng $x=0$ đến $x=2$

 

Mọi người giúp em nhá. Em sắp thi cuối kì. Mà phần này em không hiểu rỏ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 07-06-2013 - 14:27


#2 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 533 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-06-2013 - 15:40

Dù hơi bị bận rộn một chút nhưng tôi cũng cố gắng giải thích giúp bạn một số ý chính.

.......................................................

 

1) Tích phân dường loại 1 trong mặt phẳng.

 

$I=\int_{L}f(x,y)ds$

 

  1. Nếu $L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ t\in \left [ a,b \right ] \end{matrix}\right.$ thì $I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t) \right ).\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}dt$
     
  2. Nếu $L:\left\{\begin{matrix} y=y(x)\\ x\in \left [ a,b \right ] \end{matrix}\right.$ thì $I=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+\left ( y'(x) \right )^{2}}dx$
     
  3. Nếu $L:\left\{\begin{matrix} x=x(y)\\ y\in \left [ a,b \right ] \end{matrix}\right.$ thì $I=\int_{a}^{b}f(x(y),y)\sqrt{\left ( x'(y) \right )^{2}+1}dx$

Ví dụ 1:

$I_1=\int _{AB}(x-y)ds$ với AB là đoạn thănngr nối 2 điểm A(0,0) và B(4,3).

Giải:

 

Ta biết rằng $f(x,y)=x-y$ và L là đoạn thẳng AB.

 

Như tóm tắc lý thuyết đã nêu trên thì ta cần biết dạng biểu diễn (phương trình biểu diễn) của đoạn thẳng AB. Như trên thì ta có 3 cách biểu diễn của đoạn AB. Và ở đây tôi cũng xin làm theo cả ba cách để bạn có thể nắm bắt tốt nó.

 

Cách 1: Ta biểu diễn doạn AB theo phương trình tham số.

 

Ta có:

 

$AB:\left\{\begin{matrix} x=4t\\ y=3t\\ t\in \left [ 0,1 \right ] \end{matrix}\right.$

 

Khi đó

 

$I_1=\int_{0}^{1}\left [ (4t)-(3t) \right ]\sqrt{4^2+3^2}dt=5\int_{0}^{1}tdt=\frac{5}{2}$

 

.............................................

Phương trình tham số của doạn AB ta lấy ở đâu ra? Xin thưa rằng nó nằm trong chương trình lớp 10. Nhưng ở đây tôi cũng xin nhắc lại một số kết quả để chúng ta tiện sử dụng.

 

  • Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$.

    Khi đó phương trình tham số đoạn AB là: $\left\{\begin{matrix} x=x_A+(x_B-x_A).t\\ y=y_A+(y_B-y_A).t\\ t\in \left [ 0,1 \right ] \end{matrix}\right.$
     
  • Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình $(x-a)^2+(y-b)^2=R$.

    Khi đó phương trình tham số của $\left ( C \right )$ là: $\left\{\begin{matrix} x=a+R\cos t\\ y=b+R\sin t\\ t\in \left [ 0,2\pi \right ] \end{matrix}\right.$

.........................................................

 

Cách 2:

 

Ta có phương trình đường thẳng AB là $3x-4y=0$. Từ đây suy ra $y=\frac{3}{4}x$.

 

Nhưng phương trình đoạn AB thì sao?

 

Đó là $AB:\left\{\begin{matrix} y=\frac{3}{4}x\\ x\in \left [ 0,4 \right ] \end{matrix}\right.$

 

Khi đó

 

$I_1=\int_{0}^{4}\left [ x-\left ( \frac{3}{4}x \right ) \right ]\sqrt{1+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}dx=\frac{5}{32}\int_{0}^{4}xdx=\frac{5}{2}$

 

Cách3:

 

Giống như cách 2 ta cũng có $\left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{3}y\\ y\in \left [ 0,3 \right ] \end{matrix}\right.$

 

Khi đó

 

$I_1=\int_{0}^{3}\left [ \left ( \frac{4}{3}y \right )-y \right ]\sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^{2}+1}dy=\frac{5}{9}\int_{0}^{3}ydy=\frac{5}{2}$

 

2) Tích phân đường loại 1 trong không gian

 

$I=\int_{L}f(x,y,z)ds$

 

Ta biểu diễn $L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\\ t\in \left [ a,b \right ] \end{matrix}\right.$

 

Khi đó $I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t),z(t) \right )\sqrt{\left ( x'(t) \right )^{2}+\left ( y'(t) \right )^{2}+\left ( z'(t) \right )^{2}}dt$

 

Ví dụ 2: Câu 4 của bạn.

 

$I_2=\int_{L}xyzds$ với $L:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}\\ z=\frac{t^{2}}{2}\\ t\in \left [ 0,1 \right ] \end{matrix}\right.$

 

Khi đó

 

$I_2=\int_{0}^{1}t.\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}.\frac{t^{2}}{2}.\sqrt{1^2+\left ( \sqrt{2t} \right )^{2}+t^{2}}.dt$

 

    $=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}\sqrt{1+2t+t^2}.dt=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}(1+t)dt=\frac{16\sqrt{2}}{143}$

 

..................................................

Hai ví dụ trên hy vọng có thể giúp bạn phần nào.

Lần sau phải tập trung nghe giảng trên lớp nha! hihi

Tối minh đăng phần tiếp. hi

 


Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#3 Baby Xù

Baby Xù

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 07-06-2013 - 22:56

Em làm được rồi ạ. Cảm ơn anh nha. Nhưng còn bài 2 em chưa giải được. Nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ là sao ạ. Xin anh chỉ giáo.

 

 

...........................................................................

@vo van duc: Góp ý. Điều này giành cho nhiều thành viên khác nữa.

  1. Nếu không có gì cần thiết thì chúng ta cũng nên hạn chế trích dẫn lại nguyên một bài viết dài. Vì như vậy sẽ làm cho diễn đàn ta nặng nề vì những thứ linh tinh mà ở đây chúng ta có thể gọi là rác. Chúng ta chỉ trích dẫn phần cần thiết thôi.
     
  2. Phải giữ gìn sự trong sáng của tiếng Việt. Chú ý viết hoa đầu câu. Không viết tắt.... 
     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 08-06-2013 - 12:26


#4 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 533 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2013 - 13:14



2, $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ

 

Bạn có hỏi về câu "L là cung parapol $y=2x-x^2$ nằm trên trục Ox theo chiều kim đồng hồ." là như thế nào.

 

Theo quan điểm của tôi thì câu này là tối nghĩa.

 

Ở đây có từ "trên" chúng ta cần phân tích. Có nhiều cách hiểu từ này tùy vào cấu trúc câu và ngữ cảnh. Có thể hiểu là "ở/nằm trên" đồng nghĩa với "thuộc", ví dụ "Hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left [ a,b \right ]$" thì ta hiểu hàm f(x) liên tục tại các điểm "thuộc" đoạn $\left [ a,b \right ]$, hay một ví dụ khác là "Trên đường tròn tâm O, bán kính R lấy điểm M" thì ta hiểu điểm M thuộc đường tròn.

 

Từ "trên" này còn đóng vai trò là một danh từ chỉ vị trí trong gian. Chúng ta có các cặp danh từ như là: trong - ngoài, trước - sau, trên - dưới, ở giửa - chung/xung quanh hay cũng có thể là một liên từ biểu thị mối quan hệ về vị trí của hai  đối tượng. Vị trí ở đây có thể là vị trí trong không gian hay có thể hiểu rộng hơn như là thứ bậc, vai vế,...

 

Xét vai trò là liên từ thì có chức năng nối 2 vế trong câu. Ví dụ một cấu trúc đơn giản là "A + trên + B" thì từ "trên" biểu thị mối quan hệ về vị trí trong không gian của A và của B, A "ở bên trên" hay "ở phía trên" so với B.

 

Với sự phức tạp của từ "trên" mà hiện nay trong giới ngôn ngữ học vẫn còn đang tranh cải thì trong ngữ cảnh này tôi xin phép sửa lại cái đề cho sáng nghĩa hơn như sau: "L là phần cung parapol $y=2x-x^2$, nằm phía trên trục Ox, theo chiều kim đồng hồ".

 

...................................................

Hơi lan man. Bây giờ trở lại bài toán của bạn.

 

do thi.jpg

Ta có

 

$\overset{\frown }{OA}:\left\{\begin{matrix} y=2x-x^2\\ x:0\rightarrow 2 \end{matrix}\right.$

 

Khi đó

 

$I=\int_{0}^{2}\left \{ \left ( 2x-x^2 \right )-\left [ (2x-x^2)+x^2 \right ].(2-2x) \right \}dx=\int_{0}^{2}(3x^3-2x^2)dx=4$

 

Tới đây là được rồi nhỉ. hi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 08-06-2013 - 14:10

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#5 Baby Xù

Baby Xù

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 08-06-2013 - 18:21

Cám ơn nhiều nha. Nhưng nếu nó nằm trên trục oy thì cho x=0 phải ko. hay phải vẽ đồ thị. Cái này nằm trên trục ox nên mình cho y=0. phải vậy ko


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 12-06-2013 - 12:42


#6 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 533 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2013 - 22:12

Xem ra bạn vẫn chưa nắm bắt vấn đề.

1) Đồ thị parapol này ta dùng trục Ox cắt ra thì nó bị đứt thành 3 phần, có 2 phần nằm bên dưới trục Ox (trên hình vẽ tôi không vẽ) và 1 phần nằm phía trên trục Ox (như hình vẽ). Như đề cho nên cung lấy tích phân là như hình vẽ. Cận lấy tích phân bản chất thì không hẳn là chỉ giải phương trình $y=0$ đâu.

2) Hình vẽ trên chúng ta đã nói lên tất cả. Tôi không cần phải nói gì thêm mà chỉ viết vài dòng như vậy là đủ. Hình vẽ này cho biết mức độ hiểu vấn đề của bạn đó. Đây cũng là điều tôi rút ra khi trao đổi với một số giáo viên của trường tôi.

3) Trục Oy là trục thẳng đứng nên không có khái niệm "phía trên" "phía dưới" mà chỉ có "bên trái" hay "bên phải".

4) Bạn đã bỏ qua phần góp ý của ĐHV. Tôi nâng từ góp ý lên nhắc nhở việc bạn trích dẫn nguyên văn một bài viết mà điều này là không cần thiết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 09-06-2013 - 11:02

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh