Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi môn Toán Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh 2013-2014 (Chuyên)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 421 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K13 - THPT Mai Thúc Loan - Lộc Hà - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán!

Đã gửi 16-06-2013 - 19:34

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                      KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH

                HÀ TĨNH                                                                   NĂM HỌC 2013 - 2014

                                                                                                  MÔN: TOÁN (Chuyên)

        ĐỀ CHÍNH THỨC                                                             Thời gian làm bài: 120 phút

                                                                                                 (Đề thi có 01 trang, 5 câu)

 

 

Câu 1.

a. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{4}{y^2}=4\\ x-\frac{2}{y}-\frac{4x}{y}=-2 \end{matrix}\right.$

b. Giải phương trình $(3\sqrt{x}-\sqrt{x+8})(4+3\sqrt{x^2+8x})=16(x-1)$

Câu 2.

a. Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6\\ (x-1)^3+(y-2)^3+(z-3)^3=0 \end{matrix}\right.$

Tính giá trị của biểu thức $F=(x-1)^{2013}+(y-2)^{2013}+(z-3)^{2013}$

b. Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2}=2$.

Chứng minh rằng $x^2-4xy+6y^2+2x\geq 6$

Câu 3. Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^2+b^2+c^2$ là số nguyên tố.

Câu 4. Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC=a$, góc $\widehat{BAC}=120^o$. Ký hiệu $(A;AB)$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $AB$. Các tiếp tuyến của $(A;AB)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $D$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(A;AB)$ ($M$ khác $B,C$). Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(A;AB)$ cắt $DB,DC$ lần lượt tại $E,F$. Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $AE,AF$ với đường thẳng $BC$.

a. Chứng minh $ABEQ$ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn và các đường thẳng $AM,EQ,FP$ đồng quy.

b. Xác định vị trí của $M$ trên cung nhỏ $BC$ của $(A;AB)$ để diện tích tam giác $APQ$ nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo $a$.

Câu 5. Từ một đa giác đều $15$ đỉnh, ta chọn ra $7$ đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có $3$ đỉnh trong số các đỉnh đã chọn là $3$ đỉnh của một tam giác cân.

 

- Hết -

 

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

Giám thị không giải thích gì thêm

 

Họ và tên thí sinh..............................................................................Số báo danh................................

 



#2 naruto10459

naruto10459

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-06-2013 - 20:20

làm được bài 5 hok?



#3 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1042 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Ôm ai đó và ngủ

Đã gửi 16-06-2013 - 20:24

Câu 2.

a. Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=6\\ (x-1)^3+(y-2)^3+(z-3)^3=0 \end{matrix}\right.$

Tính giá trị của biểu thức $F=(x-1)^{2013}+(y-2)^{2013}+(z-3)^{2013}$

a. Áp dụng HĐT $\left\{\begin{matrix} a+b+c=0 & & \\ a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc & & \end{matrix}\right.$

Ta có $(x-1)+(y-2)+(z-3)=0\Rightarrow (x-1)^{3}+(y-2)^{3}+(z-3)^{3}=0\Rightarrow 3(x-1)(y-2)(z-3)=0\Rightarrow x=1;y=2;z=3\Rightarrow F=0$

 


 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-06-2013 - 20:29

Tin tao đi. Nếu được chọn lại, tao cũng không muốn phải đau đớn như thế này nữa....
Welcome to My Facebook !


#4 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1042 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Ôm ai đó và ngủ

Đã gửi 16-06-2013 - 20:38

 

Câu 3. Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là số hữu tỉ và $a^2+b^2+c^2$ là số nguyên tố.

 

$\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}=k\in Q\Rightarrow a-kb=(b-kc)\sqrt{5}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=kb & & \\ b=kc & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2}=ac & & \\ a=k^{2}c & & \end{matrix}\right.$

Khi đó $A=a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+ac+c^{2}=c^{2}(k^{4}+k^{2}+1)$

A nguyên tố thì $c^{2}=1\vee k^{4}+k^{2}+1=1\Rightarrow c=1\vee k=0$

Nếu k = 0 thì a = 0 (vô lí vì a nguyên dương), do đó c = 1. Suy ra a = b = c

Khi đó $A=3a^{2}\vdots 3\Rightarrow A=3\Rightarrow a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-06-2013 - 20:39

Tin tao đi. Nếu được chọn lại, tao cũng không muốn phải đau đớn như thế này nữa....
Welcome to My Facebook !


#5 Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 361 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Lâm Thao - Phú Thọ

Đã gửi 16-06-2013 - 20:48

 

Câu 1.

a. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{4}{y^2}=4\\ x-\frac{2}{y}-\frac{4x}{y}=-2 \end{matrix}\right.$

b. Giải phương trình $(3\sqrt{x}-\sqrt{x+8})(4+3\sqrt{x^2+8x})=16(x-1)$

 

Bài 1a) Cộng 2 PT ta có: $\left ( x-\frac{2}{y} \right )^2+(x-\frac{2}{y})-2=0$

Đặt ẩn phụ $x-\frac{2}{y}=a\Rightarrow a^2+a-2=0$

$\Leftrightarrow a=1\vee a=-2$

Thay x theo y vào PT 2 và dùng Viete.

b) $PT\Leftrightarrow 8\left ( \frac{x-1}{3\sqrt{x}+\sqrt{x+8}} \right )(4+3\sqrt{x^2+8x})=16(x-1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 16-06-2013 - 20:49

:)


#6 ngocduy286

ngocduy286

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 16-06-2013 - 20:54

Câu 2 b.

$ x^2-4xy+6y^2+2x=(x-2y)^2+2x+2y^2 \geq 2x+2y^2 $

xét

$P=x+y^2 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + y^2 \geq 3 \sqrt[3]{ \frac{1}{4}x^2y^2}$

$P^3  \geq \frac{27}{4}x^2y^2 = \frac{27}{16}x^2y^2( \frac{4}{x^2}+ \frac{1}{y^2} )^2 \geq  \frac{27}{16}x^2y^2 \frac{16}{x^2y^2}=27$

$\Rightarrow P \geq 3$

$ x^2-4xy+6y^2+2x \geq 6 $

dấu bằng khi $x=2, y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocduy286: 16-06-2013 - 21:09


#7 binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
  • Sở thích:làm các dạng toán bất đẳng thức; cực trị

Đã gửi 16-06-2013 - 21:05

sai rồi ngọc duy



#8 ngocduy286

ngocduy286

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết
  • 0 points

Đã gửi 16-06-2013 - 21:08

sai rồi ngọc duy

sai gì thế bạn

sai gì thế bạn

bạn sửa rồi à. lúc nãy bạn chưa sửa thì mình thấy bạn sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 16-06-2013 - 21:45


#9 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1042 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Ôm ai đó và ngủ

Đã gửi 16-06-2013 - 21:11



Câu 2 b.

$ x^2-4xy+6y^2+2x=(x-2y)^2+2x+2y^2 \geq 2x+2y^2 $

xét

$P=x+y^2 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + y^2 \geq 3 \sqrt[3]{ \frac{1}{4}x^2y^2}$

$P^3  \geq \frac{27}{4}x^2y^2 = \frac{27}{16}x^2y^2( \frac{4}{x^2}+ \frac{1}{y^2} ) \geq  \frac{27}{16}x^2y^2 \frac{16}{x^2y^2}=27$

$\Rightarrow P \geq 3$

$ x^2-4xy+6y^2+2x \geq 6 $

dấu bằng khi $x=2, y=1$

Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = 2, y = 1

$2=\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{4}{xy}\Rightarrow xy\geq 2$

Theo AM-GM : $x+y^{2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y^{2}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{x^{2}y^{2}}{4}}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{4}{4}}=3\Rightarrow x^{2}-4xy+6y^{2}+2x\geq 6$

 

Mình yếu toán tổ hợp lắm ! Mấy bạn giải giùm bài cuối đi !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-06-2013 - 21:15

Tin tao đi. Nếu được chọn lại, tao cũng không muốn phải đau đớn như thế này nữa....
Welcome to My Facebook !


#10 Katyusha

Katyusha

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bóng đá, DOTA, chém gió.

Đã gửi 16-06-2013 - 22:43

Câu 4a.

 

Ta có $\angle EAQ=\angle EAM+\angle MAQ=\dfrac{1}{2}\angle BAM+\dfrac{1}{2}\angle MAC=\dfrac{1}{2}\angle BAC=60^{\circ}$.

 

Mặt khác $\angle DBC=\dfrac{1}{2}\angle BAC=60^{\circ}$

 

Suy ra $\angle EAQ=\angle EBQ$ nên $ABEQ$ nội tiếp. Do đó $\angle AQE=90^{\circ}$.

 

Chứng minh tương tự ta cũng có $ACFP$ nội tiếp và $\angle APF=90^{\circ}$.

 

Vậy $AM,EQ,FP$ lần lượt là ba đường cao trong $\triangle AEF$ nên chúng đồng quy.

 

//------------------------

 

Ai giúp mình câu 4b với :(

 



#11 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:nếu như có thể thức đêm vì một trận bóng đá, thì đối với toán học sẽ là cả cuộc đời đam mê

Đã gửi 17-06-2013 - 12:19

Câu 2b:

Theo cô si ta có:

$x+x+\frac{8}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{x.x.\frac{8}{x^2}}=6$

$2y^2+\frac{2}{y^2}\geq 2\sqrt{2y^2.\frac{2}{y^2}}=4$

Suy ra:

  $2x+2y^2+\frac{8}{x^2}+\frac{2}{y^2}$ $\geq 10$

hay $2y^2+2x+4\geq 10$

  $2y^2+2x+(x-2y)^2$$\geq 6$

hay dpcm



#12 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:nếu như có thể thức đêm vì một trận bóng đá, thì đối với toán học sẽ là cả cuộc đời đam mê

Đã gửi 17-06-2013 - 22:14

Câu5:

Từ đa giác đều 15 đỉnh đã cho ta tạo ra được 3 ngũ giác mà 5 đỉnh của ngũ giác thuộc 5 đỉnh của đa giác trong đó 3 ngũ giác đều ko có đỉnh chung.

Nhận thấy từ 3 đỉnh bất kỳ của một ngũ giác đều luôn tạo thành một tam giác cân.

lại có: 7=2.3+1

nên trong 3 ngũ giác có ít nhất 1 ngũ giác chứa ít nhất 3 đỉnh.

Từ trên suy ra: ĐPCM



#13 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:nếu như có thể thức đêm vì một trận bóng đá, thì đối với toán học sẽ là cả cuộc đời đam mê

Đã gửi 17-06-2013 - 22:25

Câu 4b:

Bổ đề: Nếu một chu vi tam giác ABC không đổi và góc CAB không đổi thì BC nhỏ nhất khi AB=AC.

Việc chứng xin dành cho các bạn..

Áp dụng bổ để ta có: EF nhỏ nhất khi DE=DF

                                                    $\Leftrightarrow$ M nằm chính giữa cung BC.       (1)

Lại có diện tích AEF min khi EF min        (2)

Từ (1)(2) suy ra: diện tích AEF min khi M nằm chính giữa cung BC.

kẻ AI vuông góc với BC ta có $\frac{AI}{AM}=\frac{1}{2}$

Lại có: $\bigtriangleup APQ$ đồng dạng với $\bigtriangleup AFE$ (g-g);

 

 

đến đó các bạn tự làm nhé.... mình bận quá... xin lỗi nhiều...



#14 tunglubelu

tunglubelu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tịnh

Đã gửi 18-06-2013 - 20:22

BÀi dirichle 
nhóm 1 cho 5 điểm A1,A2,A3,A4,A5 sao cho mỗi điểm cách nhau 2 đỉnh thi bất kì 3 điểm luôn tao dc 1 tam giac can .co 3 nhom nhu vay ma co 7 diem nen it nhat 1 nhom co 3 diem , 3 diem nay tao thanh 1 tam giac can



#15 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 204 Bài viết
  • 0 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 22-06-2013 - 08:32

Câu 5. Từ một đa giác đều $15$ đỉnh, ta chọn ra $7$ đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có $3$ đỉnh trong số các đỉnh đã chọn là $3$ đỉnh của một tam giác cân.

Đây là bài toán chứng minh tồn tại, như vậy ta sẽ nghĩ đến nguyên lý Diriclet đầu tiên. Theo đó ta phân tích một số mối liên hệ giữa các con số, cụ thể 15=5*3, 7=2*3+1 và 15=7*2+1 Ta cần chia các đỉnh của đa giác đều thành các “lồng” để nhốt thỏ, thường thì “lồng” đều nhau do tính chất đối xứng và 15=5*3 nên ta dự đoán có 3 hoặc 5 “lồng”, trong đó mỗi “lồng” là tập hợp “một số đỉnh” thỏa mãn điều kiện chung gì đấy. Theo tính chất đối xứng, ta dự đoán mỗi “lồng” là một đa giác đều 3 cạnh hoặc 5 cạnh. Tuy nhiên tam giác đều là một mô hình quá cụ thể không bao quát tam giác cân nên ta dự đoán không nên chọn “lồng” tam giác đều. Vậy có 3 “lồng” đan xen nhan, mỗi “lồng” là một ngũ giác đều. Để cho tiện hình dung ta dùng ba màu đỏ xanh và tím để tô xen kẽ các đỉnh của đa giác đều tạo thành 3 “lồng” xen kẽ nhau gồm “lồng đỏ”, “lồng xanh” và “lồng tím”. Có “lồng” rồi, việc còn lại là đi đi xác định “thỏ”. Các “thỏ” ở đây chính là 7 điểm mà ta chọn ngẫu nhiên. “Nhét” 7 “thỏ” vào 3 “lồng” thì ắt có một lồng có ít nhất 3 “thỏ”. Giả sử đó là “lồng đỏ”, ta chỉ cần chỉ ra 3 đỉnh trong 5 đỉnh của một ngũ giác đều luôn tạo thành một tam giác cân nữa là xong, mà điều này hiển nhiên đúng. Phép chứng minh bài toán được hoàn tất.



#16 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3119 Bài viết
  • 1000 points
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 30-06-2013 - 07:43

Đáp án chính thức:  File gửi kèm  CHUYEN HA TINH 2013-2014.doc   294K   692 Số lần tải 

Nguồn: thầy Nguyễn Ngọc Hùng

 


1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
5) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh