Đến nội dung


Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 18:00
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: CMR: các hệ số của $P(x)$ đều chia hết cho 7.

19-02-2015 - 20:14

Cho đa thức $P(x)$ bậc 4 với hệ số nguyên giả sử $P(x)$ chia hết cho 7 với mọi  $x$ nguyên. CMR: các hệ số của $P(x)$ đều chia hết cho 7.

Xét đa thức: $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e;a,b,c,d\in \mathbb{R}; a\neq 0$
Do $P(x) \vdots 7 \forall x\in \mathbb{R}$
$$P(0) \vdots \Rightarrow e \vdots 7$$
$$P(1)=a+b+c+d+e \vdots 7$$
$$P(-1)=a-b+c-d+e \vdots 7$$
$$\Rightarrow P(-1)+P(1)=2a+2b+2e\vdots 7 \Rightarrow a+c\vdots 7$$
$$\Rightarrow P(1)-P(-1)=2b+2d \vdots 7 \Rightarrow b+d \vdots 7$$
$$P(2)=16a+8b+4c+2d+e \vdots 7$$
 
$$\Rightarrow 2a+b+4c+2d\vdots 7 \Rightarrow 2c+d\vdots 7$$
 
$$P(-2)=16a-8b-2d+4c+e \vdots 7$$
$$\Rightarrow P(-2)+P(2)=32a+8c+2e \vdots 7 \Rightarrow 4a+c \vdots 7$$
 
Mà $a+c\vdots 7$ 
Nên $3a \vdots 7 \Rightarrow a\vdots 7 \Rightarrow c \vdots 7 \Rightarrow d \vdots 7$
 
Vậy ta có đpcm. $\square$ 

Trong chủ đề: Báo lỗi diễn đàn

22-01-2015 - 00:28

ACP của em bị lỗi There appears to be an error with the database.

Không biết là do mạng hay gì nữa :'( 


Trong chủ đề: Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Kinh tế quốc dân HN 2015

20-01-2015 - 10:49

 

Môn GIẢI TÍCH

 

Bài 4:

Cho $f,g: \mathbb{R} \to [0;+\infty)$ là các hàm số liên tục thỏa mãn

$$\left| f(x)-x \right| \le g(x)-g(f(x)) \;, \forall x \in \mathbb{R}$$

Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có nghiệm.

 

 

Chọn $x_1\in \mathbb{R}$ và đặt $x_{n+1}=f(x_n) \;,n\ge 1$
 
Ta có: $$|f(x_n)-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+1}),\forall n\in \mathbb{N}$$
$$\Rightarrow |x_{n+1}-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+1}),\forall n\in \mathbb{N}$$
 
$\Rightarrow g(x_n)\ge g(x_{n+1})$
Do đó $(g(x_n)_n)$ là một dãy giảm và bị chặn dưới.
Đặt $l =\lim\limits_{n\to \infty} g(x_n)$.
Vì $|x_{n+1}-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+1})$ nên $|x_{n+p}-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+p}),\; \forall n,p\in \mathbb{N}$
 
Từ đó suy ra $(x_n)_n$ là dãy Cauchy.
 
Gọi $a=\lim\limits_{n\to \infty} x_n$. Dễ thấy $f(a)=a$
Vậy phương trình  $f(x)=x$ có nghiệm $\square$

Trong chủ đề: Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Kinh tế quốc dân HN 2015

20-01-2015 - 10:29

 

 

Môn GIẢI TÍCH

Bài 6:

Tìm hàm số $f(x)$ đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:


  • $f(-x)=-f(x), \; \forall x \in \mathbb{R}$


  • $f(x+1)=f(x)+1 ,\; \forall x \in \mathbb{R}$


  • $f(\frac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\; \forall x \neq 0$

  •  

 

 

 

 

Cho $x=0$ ta có $f(0)=0$.
Cho $x=-1$ ta được $f(0)=f(-1)+1 \Rightarrow -1=f(-1)$ 
Suy ra $f(x)$ là hàm lẻ.
Cho $x\neq 1$
$$f\left(\frac{1}{1-x} \right )=\frac{1}{(1-x)^2}f(1-x)=\frac{f(1)-f(x)}{(1-x)^2}\;\;(1)$$
 

$f\left(\frac{1}{1-x} \right )  =f\left(1+\frac{x}{1-x} \right )=f(1)+\frac{x}{1-x}=1+f\left(\frac{1}{\frac{1-x}{x}} \right ) $
 $=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.f\left(\frac{1-x}{x} \right )=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.f\left(\frac{1}{x}-1 \right )$
 $=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.\left[f\left(\frac{1}{x}\right )-1 \right ]=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.\left[\frac{1}{x^2}f(x)-1 \right ]$
$=\frac{1-2x+f(x)}{(1-x)^2} \;(2)$

Từ (1) và (2) ta có $f(x)=x\forall x\neq 1$.
Thử lại:....

 

Latex diễn đàn bị sao ấy :(


Trong chủ đề: Báo lỗi diễn đàn

10-01-2015 - 01:29

:)) Lỗi chậm này là do cá mập mà ra chắc chờ vài bữa nữa sửa xong AGG là ổn... Ít ra load diễn đàn vẫn nhanh hơn vô google với youtube.