Đến nội dung


Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 23:46
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Chứng minh hệ có 2 nghiệm thỏa mãn x,y > 0.

20-04-2014 - 22:33

Chứng minh rằng hệ:

$\left\{\begin{matrix} &e^{x}=2010-\frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}} & \\ &e^{y}=2010-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} & \end{matrix}\right.$

 

có đúng 2 nghiệm thỏa mãn $x>0,y>0$.

Ta có: $e^x-e^y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}$

$f(t)=e^t$ là hàm tăng trên ; $g(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}$ là hàm giảm tên $|t|\ge 1$. Thật vậy $g'(t)=\frac{-1}{(t^2-1)^{3/2}}<0 ; |t|>1$

Từ đó ta có $x=y$ nên ta có $e^x=2010-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

Xét  $h(x)=e^x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-2010 (|x|>1)$
Nếu $x<-1$ thì $h(x)<0$ hệ vô nghiệm.
Nếu $x>1$ thì $h'(x)=e^x-(e^x-1)^{-3/2}$
$h''(x)=e^x+\frac{3x}{(x^2-1)^{3/2}}>0$

Mà $\lim\limits_{x\to 1^+}=+\infty; \lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=+\infty$
Vậy $h(x)$ liên tục và có đồ thị là dường cong lõm trên $(1;+\infty)$.
Do đó $\exists \epsilon$ đủ lớn sao cho $f(\epsilon)>0$
Mà $f(2)<0$
Nên theo định lý Bolzano-Cauchy $\exists x_0 \in (2;a)$ sao cho $f(x_0)=0$.
Suy ra phương trình có đúng 2 nghiệm $x_1,x_2>1$.
Suy ra đpcm.
 


Trong chủ đề: Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ A có phương trình : 3x-y+5=0.T...

20-04-2014 - 22:10

 

Bài 2 : Cho tam giác ABC có A(1;5) B thuộc d1:2x+y+1=0. Chân đường cao kẻ từ B thuộc d2: 2x+y-8=0 . M(3;0) là trung điểm của BC . Tìm B, C

Do $AC$ vuông góc $d_2$ nên ta viết được phương trình $AC: x-2y+9=0$

$\Rightarrow C(c;2c-9)$

$B\in d_1:2x+y+1=0$ nên $B(b;-1-2b)$

Do $M(3;0)$ là trung điểm $BC$ nên ta có hệ $a+b=6 \vee 2c-9-1-2b=0 $

Giải hệ này tìm được $B,C$.


Trong chủ đề: $\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}...

18-04-2014 - 23:12

Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^2\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \right )$

Giả sử $a\ge b\ge c \Rightarrow \frac{a}{b+c}\ge \frac{b}{a+c}\ge \frac{c}{a+b}$
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có $$VT \ge \left(\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \right ) \left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \right )$$
Mà $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$

Vậy ta có đpcm.


Trong chủ đề: Tìm GTLN của: $P=ab+3ac+5bc$

18-04-2014 - 23:07

Cho các số thực không âm thoả mãn: $a+b+c=1$. Tìm GTLN của: $P=ab+3ac+5bc$

Nếu $b\le c$ thì $ab+3ac\le 4ac\le 5ac$
Nếu $b\ge c$ thì $ab+3ac\le 4ab\le 5ab$
Do đó $ab+3ac+5bc\le \max\{5ac;5ab\}+5bc=\max\{5c(a+b);5b(a+c)\}$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$$P\le \frac{5(a+b+c)^2}{4}=\frac{5}{4}$$
Dấu "=" xảy ra khi $a=0;b=c=\frac{1}{2}$.


Trong chủ đề: Chào mừng 60 năm Chiến thắng Điện Biên Phủ

16-04-2014 - 22:22

attachicon.gifTổng hợp BĐT trên VMF.doc
Là như thế này phải không??

Làm như vầy đúng rồi mà nên gõ latex cho chuẩn tý, không cần xuất sang pdf đâu.