Tìm kiếm
Nữ
Bài 8: Cho $x,y,z >0$ thoả mãn $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm GTNN của:
$P=x+y+z$
Đề thi thử ĐH trường THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh
Bài viết của tôi gửi
Trong chủ đề: Tính $\lim_{n\mapsto +\infty }\left (...
16-06-2013 - 08:37
Ta chứng minh$1+\ln (1+\frac{1}{2})+\ln (1+\frac{1}{3})+...+\ln (1+\frac{1}{n})< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$Do đó$\lim_{n\mapsto +\infty }\left ( 1+ \frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right )=\infty$
Cái này mới chặn trên thôi còn phải chặn dưới nữa. :3
Trong chủ đề: Tìm $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$...
14-06-2013 - 17:40
Cho hai dãy số $(u_n), (S_n)$ xác định bởi:
$u_1 = 2, u_2 = 8, u_n = 4u_{n-1} - u_{n-2}$ và
$S_n = \sum_{i=1}^{n}arccot (u^2_i)$.
Tìm $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$
Bài này có lời giải khác ra $\text{arcot} (2+\sqrt{3})=\frac{\pi}{12}$ 
Giải phương trình sai phân ta tìm được CTTQ $$u_n=\frac{1}{2} \left[(2-\sqrt{3})^n+(2+\sqrt{3})^n \right ]$$
Từ giả tiết với $n\ge 2$ thì $u_n^2-u_{n+1}.u_{n-1}=4$, suy ra $$u_k^2=\frac{\frac{u_{n+1}}{u_k}.\frac{u_k}{u_{k-1}}+1}{\frac{u_k}{u_{k-1}}-\frac{u_{k+1}}{u_k}};\;\forall k \ge 2.$$
Sử dụng công thức
$\text{arccot} \left(\frac{xy+1}{y-x} \right)=\text{arccot} x-\text{arccot}y$. Ta được
$$\begin{align*}
x_n\sum\limits_{k=1}^n \text{arcot}u_k^2&=\text{arcot}u_1^2+\sum\limits_{k=2}^n \left(\text{arcot} \frac{u_{k+1}}{u_k}-\text{arcot} \frac{u_k}{u_{k-1}} \right ) \\
&= \text{arccot} u_1^2 -\text{arcot}\frac{u_2}{u_1}+\text{arcot}\frac{u_{n+1}}{u_n}\\
&= \text{arcot}\frac{u_{n+1}}{u_n} \;\;\;\text{(Do} \; \text{arccot} u_1^2=\text{arcot} \frac{u_2}{u_1}=\text{arccot} 4)
\end{align*}$$
Ta có: $$\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(2-\sqrt{3})^{n+1}+(2+\sqrt{3})^{n+1}}{(2-\sqrt{3})^{n}+(2+\sqrt{3})^{n}} \to (2+\sqrt{3})$$
Nên $$\Rightarrow \text{arcot}\frac{u_{n+1}}{u_n}\to \text{arcot} (2+\sqrt{3})=\frac{\pi}{12}\Rightarrow \lim x_n=\frac{\pi}{12}$$
