Đến nội dung


Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 17:29
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Báo lỗi diễn đàn

22-01-2015 - 00:28

ACP của em bị lỗi There appears to be an error with the database.

Không biết là do mạng hay gì nữa :'( 


Trong chủ đề: Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Kinh tế quốc dân HN 2015

20-01-2015 - 10:49

 

Môn GIẢI TÍCH

 

Bài 4:

Cho $f,g: \mathbb{R} \to [0;+\infty)$ là các hàm số liên tục thỏa mãn

$$\left| f(x)-x \right| \le g(x)-g(f(x)) \;, \forall x \in \mathbb{R}$$

Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có nghiệm.

 

 

Chọn $x_1\in \mathbb{R}$ và đặt $x_{n+1}=f(x_n) \;,n\ge 1$
 
Ta có: $$|f(x_n)-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+1}),\forall n\in \mathbb{N}$$
$$\Rightarrow |x_{n+1}-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+1}),\forall n\in \mathbb{N}$$
 
$\Rightarrow g(x_n)\ge g(x_{n+1})$
Do đó $(g(x_n)_n)$ là một dãy giảm và bị chặn dưới.
Đặt $l =\lim\limits_{n\to \infty} g(x_n)$.
Vì $|x_{n+1}-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+1})$ nên $|x_{n+p}-x_n|\le g(x_n)-g(x_{n+p}),\; \forall n,p\in \mathbb{N}$
 
Từ đó suy ra $(x_n)_n$ là dãy Cauchy.
 
Gọi $a=\lim\limits_{n\to \infty} x_n$. Dễ thấy $f(a)=a$
Vậy phương trình  $f(x)=x$ có nghiệm $\square$

Trong chủ đề: Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Kinh tế quốc dân HN 2015

20-01-2015 - 10:29

 

 

Môn GIẢI TÍCH

Bài 6:

Tìm hàm số $f(x)$ đơn điệu tăng trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:


  • $f(-x)=-f(x), \; \forall x \in \mathbb{R}$


  • $f(x+1)=f(x)+1 ,\; \forall x \in \mathbb{R}$


  • $f(\frac{1}{x})=\dfrac{f(x)}{x^2},\; \forall x \neq 0$

  •  

 

 

 

 

Cho $x=0$ ta có $f(0)=0$.
Cho $x=-1$ ta được $f(0)=f(-1)+1 \Rightarrow -1=f(-1)$ 
Suy ra $f(x)$ là hàm lẻ.
Cho $x\neq 1$
$$f\left(\frac{1}{1-x} \right )=\frac{1}{(1-x)^2}f(1-x)=\frac{f(1)-f(x)}{(1-x)^2}\;\;(1)$$
 

$f\left(\frac{1}{1-x} \right )  =f\left(1+\frac{x}{1-x} \right )=f(1)+\frac{x}{1-x}=1+f\left(\frac{1}{\frac{1-x}{x}} \right ) $
 $=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.f\left(\frac{1-x}{x} \right )=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.f\left(\frac{1}{x}-1 \right )$
 $=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.\left[f\left(\frac{1}{x}\right )-1 \right ]=1+\frac{x^2}{(1-x)^2}.\left[\frac{1}{x^2}f(x)-1 \right ]$
$=\frac{1-2x+f(x)}{(1-x)^2} \;(2)$

Từ (1) và (2) ta có $f(x)=x\forall x\neq 1$.
Thử lại:....

 

Latex diễn đàn bị sao ấy :(


Trong chủ đề: Báo lỗi diễn đàn

10-01-2015 - 01:29

:)) Lỗi chậm này là do cá mập mà ra chắc chờ vài bữa nữa sửa xong AGG là ổn... Ít ra load diễn đàn vẫn nhanh hơn vô google với youtube.


Trong chủ đề: VMO 2015

09-01-2015 - 12:21

NGÀY 2
Bài 5: (7,0 điểm) Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi:
$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$ với mọi $n\ge 2$. 
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x$.
 
Bài 6 (7 điểm). Với $a,n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x,y,z)$.
 
Bài 7 (6 điểm) Cho $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m,n\ge 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tai Liên hoan song ca, mỗi buổi biểu diễn văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song cả chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau cỏ thế có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh X nếu như hủy tất cả các bài song ca mà X tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào X thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.