Đến nội dung


MIM

Đăng ký: 26-10-2011
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:38
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Cho S.ABCD có ABCD là hình thoi

24-04-2013 - 18:39



1. Cho S.ABCD có ABCD là hình thoi, I là giao điểm của AC với BD, SI vuông góc với mp (ABCD), SI=a$\sqrt{3}$, AC=4a, BD=2a

a) tính d (B; (SAD))

b) tính d (B; (SAC))

c) Gọi M trung điểm SC. Tính d (SA; MB)

 

1.d18775c4d6c150c9fe3bc4a3d476adc8_5509242

 

Ta có: $V_{SDAB}=\frac{1}{3}.SI.S_{\bigtriangleup DAB}$

$=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}.2a.2a=\frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}$

 
Do $SI\perp (ABCD)$ nên $SI\perp DI,SI\perp IA$
 
Vì vậy:
 
$SD=\sqrt{SI^2+ID^2}=2a,SA=\sqrt{SI^+IA^2}=a\sqrt{7},AD=\sqrt{ID^2+IA^2}=A\sqrt{5}$
 
Trong tam giác $SDA,$ kẻ $SH\perp AD,$ khi đó:
 
$cos(\widehat{SDA})=\frac{SA^21+DA^2-SA^2}{2.SD.AD}=...=\frac{1}{2\sqrt{5}}$
 
Mặc khác, $cos(\widehat{SDA})=cos(\widehat{SDH})=\frac{DH}{DS}\Rightarrow DH=\frac{2a}{2\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$
 
$\Rightarrow SH=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{5}}=a\sqrt{\frac{19}{5}}$
 
$S_{\bigtriangleup SDA}=\frac{1}{2}.SH.DA=\frac{a^2\sqrt{19}}{2}$
 
Mà $V_{BSDA}=V_{SBD}\Rightarrow \frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}d(B,(SAD)).\frac{a^2\sqrt{19}}{2}\Rightarrow d(B,(SAD))=...$
 

b)$d (B; (SAC))$
Ta có $BI\perp AC,BI\perp SI\Rightarrow BI\perp (SAC)$
$\Rightarrow d (B; (SAC))=BI=a$
 
c)$d (SA; MB)$
8910c5e8fb1390b7c2876c1f783e3c4a_5509300

 

Nhận thấy $MI//SA$ suy ra $(MIB)//(SA)\Rightarrow d (SA; MB)=d(A;(MIB))$
Tới đây tính $d(A;(MIB))$ tương tự câu $a)$

 

 

2.19562c296ed2a54dc391b5cb603c7db4_5509454

 

$a)d (S; (ABCD))$
 
$SABCD$ là chóp đều nên $SO\perp (ABCD)\Rightarrow SO=d (S; (ABCD))$
 
Kẻ $MO\perp AD(M \in AD),$ khi đó $M$ là trung điểm $AD$ và $\widehat{SMO}=60^{\circ}$
 
$MO=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$
 
$tan\widehat{SMO}=\frac{SO}{MO}\Rightarrow SO=MO.tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
 
$b)d(AC;SB)$
 
Ta có $SO\perp AC, DB\perp AC\Rightarrow (SDB)\perp AC$
 
Trong $(SBD),$ kẻ $ON \perp SB(N\in SB),$ khi đó $ON$ cũng vuông góc với $AC.$
 
Vì vậy $d(AC;SB)=ON$
 
Trong tam giác vuông $SOB:$
 
$OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
 
Do $ON$ là đường cao ứng với $SB$ nên:
 
$\frac{1}{ON^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{10}{3a^2}\Rightarrow ON=d(AC,SB)=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

 


Trong chủ đề: hình học không gian với hình chóp có đáy là tam giác vuông

23-04-2013 - 18:50

d63200997102ea3a3aa9346da021f861_5506463

 

$a)$ Ta có: $\left\{\begin{matrix} SA\perp BC\\ AB\perp BC \end{matrix}\right.\Rightarrow (SAB)\perp BC\Rightarrow SB\perp BC$ 
 
nên $SBC$ vuông tại $B.$
 
$b)$ $\left\{\begin{matrix} AC\perp BH\\ SA \perp BH\end{matrix}\right.\Rightarrow BH\perp (SAC)$
Mà $BH\subset (SBH)$ nên $(SAC)\perp (SBH)$
 
$c)$ Trong tam giác vuông $ABC,$ $BH$ là đường cao nên
$\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{5}{4a^2}$
 
$\Rightarrow BH=\frac{2a}{\sqrt{5}}$
 
Trong tam giác vuông $BHC,$ $HC=\sqrt{BC^2-HB^2}=\frac{4a}{\sqrt{5}}$
 
$S_{\bigtriangleup BHC}=\frac{1}{2}BH.HC=\frac{4a^2}{5}$
 
$V_{SHBC}=\frac{1}{3}SA.S_{\bigtriangleup BHC}=\frac{1}{3}.3a.\frac{4a^2}{5}=\frac{4a^3}{5}$
 
Trong tam giác vuông $SAB:$ $SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{10}$
 
$S_{\bigtriangleup SBC}=\frac{1}{2}.SB.BC=a^2\sqrt{10}$
 
$V_{HSCB}=\frac{1}{3}.d(H,(SBC)).S_{\bigtriangleup SBC}=\frac{a^2.d(H,(SBC))\sqrt{10}}{3}$
 
Mà $V_{SHBC}=V_{HSCB}\Rightarrow \frac{4a^3}{5}=\frac{a^2.d(H,(SBC))\sqrt{10}}{3}$
 
$\Rightarrow d(H,(SBC))=\frac{12a}{5\sqrt{10}}$
 

 


Trong chủ đề: Chứng minh $ 1+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sqrt[n]{n...

22-04-2013 - 17:30

Cho $n \in Z^+ $
Chứng minh: $1+\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \sqrt[n]{n}$

 

$\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\frac{\sqrt{n}}{2}.\frac{\sqrt{n}}{2}.2.2.1...1}\leq \frac{\frac{\sqrt{n}}{2}+\frac{\sqrt{n}}{2}+2+2+1+...+1}{n}$
$=\frac{\frac{\sqrt{n}}{2}+\frac{\sqrt{n}}{2}+4+n-4}{n}=\frac{\sqrt{n}+n}{n}=1+\frac{1}{\sqrt{n}}$

 


Trong chủ đề: Tính độ dài MN và khoảng cách giữa MN và BC

19-04-2013 - 16:57


Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$. SB vuông góc với đáy, $BC=a$, $SB=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,SC$. Tính độ dài đoạn $MN$ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng $MN$ và $SC$.

(Thử sức trước kì thi lần 1 - Tạp chí THTT)

 

 

bf6531b941591a6347664cdc1d7e9d5a_5495982

 

$SB\perp AC,AB\perp AC\Rightarrow (SBA)\perp AC\Rightarrow SA\perp AC$

Dễ dàng tính được $BN=\frac{a\sqrt{5}}{2},AN=\frac{a\sqrt{5}}{2},AB=\frac{a}{\sqrt{2}}$
Suy ra tam giác $NBA$ cân tại $N$ và tính được $MN=\frac{3a}{2}$
Tưởng đề là tính $d(MN,BC)$ chứ, $MN$ cắt $SC$ thì tính $d(MN,SC)$ bằng niềm à yahoo_78.gif

Trong chủ đề: Tính khoảng cách 2 đường chéo nhau !

19-04-2013 - 16:21

Kẻ $MN//SC(N\in SD).$
a229dd2565202104d9cc03bb1aaa96af_5495841

 

Khi đó $SC//(MNB)\Rightarrow d(BM,SC)=d(SC/(MNB))=d(C,(MNB))$
(Do đề không nhắc tới độ dài của hình vuông đáy nên mình nghĩ là bạn chép thiếu đề, ở đây mình lấy cạnh hình vuông độ dài là $a$)
Ta có $BM=\sqrt{MC^2+BC^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$
$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{SA^2+AD^2+DC^2}$
$=\sqrt{4a^2+2a^2}=a\sqrt{6}$
Mà $MN=\frac{SC}{2}\Rightarrow MN=\frac{A\sqrt{6}}{2}$
Trong tam giác $SBD:$
46f7a137c8ba8cfce55eaf1ce03cec1b_5495841

 

$SB=SD=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt{5},BD=a\sqrt{2}$
Kẻ $BH\perp SD(H\in SD)$
$cos(\widehat{SDB})=\frac{SD^2+BD^2-SB^2}{2SD.BD}$
$=\frac{5a^2+2a^2-5a^2}{2.a\sqrt{5}.a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$
Trong tam giác $DNB:$
$cos(\widehat{SDB})=cos(\widehat{NDB})=\frac{\frac{5a^2}{4}+2a^2-NB^2}{2.\frac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow NB=\frac{3a}{2}$

 

Xét tam giác $NBM$ có $MN=\frac{a\sqrt{6}}{2},MB=\frac{a\sqrt{5}}{2},NB=\frac{3a}{2}$

Kẻ $MK\perp NB$
6918756b5aba9186de31cbaa9d6ff66c_5495875

 

$cos(\widehat{BNM})=\frac{NB^2+NM^2-MB^2}{2NM.NB}=\frac{5}{3\sqrt{6}}$
$cos(\widehat{KNM})=cos(\widehat{BNM})=\frac{NK}{MN}=\frac{5}{3\sqrt{6}}$
$\Rightarrow NK=\frac{5a}{6}$
$MK=\sqrt{MN^2-NK^2}=\frac{a\sqrt{29}}{6}$
$S_{\bigtriangleup NMB}=\frac{MK.NB}{2}=\frac{a^2\sqrt{29}}{8}$
$S_{\bigtriangleup MBC}=\frac{a^2}{4}$
$\Rightarrow V_{N.MBC}=\frac{1}{3}.\frac{SA}{2}.S_{\bigtriangleup MBC}$
$=\frac{a^3}{12}$
Mặc khác: $V_{C.NMB}=\frac{1}{3}.d(C,(MNB)).S_{\bigtriangleup MNB}$

 

 

$\Rightarrow d(C,(MNB))=\frac{2a}{\sqrt{29}}$
Vậy $\boxed{d(BM,SC)=\frac{2a}{\sqrt{29}}}$